Transcript 複素数と図形（PowerPoint ファイル） - MACS

数学Ⅲ
複素数平面④
複素数と図形
線分の内分点、外分点
𝒚
線分の内分点
𝐵(𝛽)
𝑑
𝑛
𝛾
𝑚
𝐴(𝛼)
𝑏
𝑶
𝑎
𝛼 = 𝑎 + 𝑏𝑖,
𝛽 = 𝑐 + 𝑑𝑖
𝛾は𝛼と
𝛽を結ぶ線分を
𝑚: 𝑛に内分する点
𝒙
𝑚
𝑛 𝑐
𝑛𝑎 + 𝑚𝑐 𝑛𝑏 + 𝑚𝑑
𝑛𝛼 + 𝑚𝛽
𝛾=
+
𝑖=
𝑚+𝑛
𝑚+𝑛
𝑚+𝑛
内分点、外分点
𝐴 𝛼 , 𝐵(𝛽)とする。
1. 線分 AB を m: n に内分する点を表す複素数は
2. 特に線分 AB の中点を表す複素数は
𝑛𝛼+𝑚𝛽
𝑚+𝑛
𝛼+𝛽
2
3. 線分 AB を m: n に外分する点を表す複素数は
−𝑛𝛼+𝑚𝛽
𝑚−𝑛
練習問題２２
次の 𝛼, 𝛽 について、
２点 𝐴 𝛼 , 𝐵 𝛽 を結ぶ線分𝐴𝐵 を
4: 3に内分する点、外分する点を表す複素数を、
それぞれ求めよ。
1 𝛼 = 1 + 5𝑖, 𝛽 = 3 2 𝛼 = 5 − 𝑖, 𝛽 = −2(1 − 3𝑖)
練習問題２２
1 𝛼 = 1 + 5𝑖, 𝛽 = 3
3 1 + 5𝑖 + 4 ⋅ 3 15 + 15𝑖
内分点：
=
4+3
7
−3 1 + 5𝑖 + 4 ⋅ 3
外分点：
= 9 − 15𝑖
4−3
練習問題２２
2 𝛼 = 5 − 𝑖, 𝛽 = −2(1 − 3𝑖)
3 5 − 𝑖 − 4 ⋅ 2(1 − 3𝑖) 7 + 21𝑖
内分点：
=
= 1 + 3𝑖
4+3
7
−3 5 − 𝑖 − 4 ⋅ 2(1 − 3𝑖)
外分点：
= −23 + 27𝑖
4−3
三角形の重心
3点 𝛼, 𝛽, 𝛾を頂点とする
三角形の重心 𝛿
について、次の等式を
証明せよ。
𝛼+𝛽+𝛾
𝛿=
3
𝜷
𝜹
𝜶
𝟐
𝟏
𝜸
三角形の重心（証明）
証）
𝛼+𝛽
𝛼, 𝛽 の中点は
と表される。
2
𝛿 はこの中点と 𝛾 を 1: 2 に内分する点であるから、
𝛼+𝛽
2⋅
+1⋅𝛾 𝛼+𝛽+𝛾
2
𝛿=
=
1+2
3
□
複素数と図形
方程式の表す図形
円の方程式
𝒚
𝑧
𝑟 は正の実数とする。
点 𝛼を中心とする半径 𝑟
の円は、次の方程式を
満たす点 𝑧 全体である。
𝒓
𝛼
O
𝑧−𝛼 =𝑟
𝒙
練習問題２３
次の方程式を満たす点 𝑧 全体は、どのような図形か。
1 𝑧 =1 2 𝑧−1 =2 3 𝑧−1+𝑖 =3
1 原点を中心とする半径 1 の円
2 点 1 を中心とする半径 2 の円
3 点 1 − 𝑖 を中心とする半径 3 の円
例題（アポロニウスの円）
方程式 𝒛 + 𝟔 = 𝟐 𝒛 を満たす点 𝒛 全体は、どのような図形か。
方程式の両辺を２乗すると 𝑧 + 6 2 = 4 𝑧 2
よって 𝑧 + 6 (𝑧 + 6) = 4𝑧𝑧
ゆえに 𝑧 + 6 (𝑧 + 6) = 4𝑧𝑧
左辺を展開して整理すると 𝑧𝑧 − 2 𝑧 + 𝑧 = 12
よって 𝑧 − 2 𝑧 − 2 = 16
すなわち 𝑧 − 2 2 = 42
ゆえに |𝑧 − 2| = 4
したがって、求める図形は点 2 を中心とする半径 4 の円
アポロニウスの円
先の例題の円は
２点 𝐴 −6 と 𝑂(0)
からの距離の比が
2: 1 である点 𝑧
全体である。
このような円を
アポロニウスの円
という。
𝒚
𝐴
−6
2
1
−2
1
O 2
2
6
𝒙
垂直二等分線
𝒚
方程式 𝑧 − 1 = 𝑧 − 𝑖
を満たす点 𝑧 全体は、
２点 𝐴 1 と 𝐵 𝑖
から等距離にある点 𝑧
全体で、線分𝐴𝐵の
垂直二等分線である。
𝒛
𝐵(𝑖)
𝐎
𝐴(1)
𝒙
練習問題２４
𝒚
方程式 𝑧 + 𝑖 = 𝑧 − 3𝑖
を満たす点 𝑧 全体を、
図示せよ。
２点 𝐴 −𝑖 と 𝐵 3𝑖
から等距離にある点
全体で、線分𝐴𝐵の
垂直二等分線である。
𝐵(3𝑖)
𝒛
𝒊
𝐎
𝐴(−𝑖)
𝒙
例題
点 𝑧 が、原点 𝑂 を中心とする半径 2 の円上を動くとき、
点 − 4と点𝑧 を結ぶ線分の中点𝑤 は、どのような図形を描くか。
点 𝑧 は原点中心、半径 2 の円上にあるから 𝑧 = 2
𝑧−4
𝑤=
であるから 𝑧 = 2 𝑤 + 2
2
よって、 2 𝑤 + 2 = 2
ゆえに |𝑤 + 2| = 1
したがって、求める図形は点 − 2 を中心とする半径 1 の円
例題（別解）
点 𝑧 が、原点 𝑂 を中心とする半径 2 の円上を動くとき、
点 − 4と点𝑧 を結ぶ線分の中点𝑤 は、どのような図形を描くか。
𝑧
𝑤 = − 2 であるから、
2
1
求める図形は、 𝑧 = 2 を原点を中心として 倍に縮小し、
2
実軸方向に − 2 だけ平行移動したものである。
したがって、求める図形は点 − 2 を中心とする半径 1 の円
練習問題２５
点 𝑧 が、原点 𝑂 を中心とする半径 2 の円上を動くとする。
𝑤 = 1 − 𝑖𝑧 のとき、点 𝑤 は、どのような図形を描くか。
点 𝑧 は原点中心、半径 2 の円上にあるから 𝑧 = 2
𝑤−1
𝑤 = 1 − 𝑖𝑧 であるから 𝑧 =
−𝑖
𝑤−1
よって、
=2
−𝑖
ゆえに 𝑤 − 1 = 2 (∵ −𝑖 = 1)
したがって、求める図形は点 1 を中心とする半径 2 の円
半直線のなす角
𝐶(𝛾)
𝐴 𝛼 ,𝐵 𝛽 ,𝐶 𝛾
を異なる３点とするとき、
半直線 𝐴𝐵 から半直線 𝐴𝐶
までの回転角を、
∠𝛽𝛼𝛾と表す。
∠𝛽𝛼𝛾
𝐴(𝛼)
𝐵(𝛽)
半直線のなす角
点 𝛼 が点 0 に移るような平行移動で、点 𝛽 が点 𝛽 ′ に、
点 𝛾 が点 𝛾 ′ に移るとすると
𝛽′ = 𝛽 − 𝛼, 𝛾 ′ = 𝛾 − 𝛼
また ∠𝛽𝛼𝛾 = ∠𝛽′ 0𝛾 ′
= arg 𝛾 ′ − arg 𝛽′
𝛾′
= arg ′
𝛽
したがって、異なる３点 𝛼, 𝛽, 𝛾 に対して
𝜸−𝜶
∠𝜷𝜶𝜸 = 𝐚𝐫𝐠
𝜷−𝜶
例題（半直線のなす角）
𝛼 = 1 − 2𝑖, 𝛽 = −𝑖, 𝛾 = 1 + 3 − 2 − 3 𝑖とする。
−𝜋 < ∠𝛽𝛼𝛾 ≦ 𝜋 の範囲で考えると
𝛾−𝛼
3 + 3𝑖
=
= − 3𝑖
𝛽−𝛼
−1 + 𝑖
𝜋
𝜋
= 3 cos − + 𝑖 sin −
2
2
𝛾−𝛼
𝝅
よって ∠𝛽𝛼𝛾 = arg
=−
𝛽−𝛼
𝟐
練習問題２６
𝛼 = 1 − 2𝑖, 𝛽 = −𝑖, 𝛾 = 1 + 3 − 2 − 3 𝑖とする。
∠𝛼𝛽𝛾 の値を求めよ。ただし、 − 𝜋 < ∠𝛼𝛽𝛾 ≦ 𝜋 とする。
1+ 3 − 1− 3 𝑖
𝛾−𝛽
=
= 1 + 3𝑖
𝛼−𝛽
1−𝑖
𝜋
𝜋
= 2 cos + 𝑖 sin
3
3
𝛾−𝛽 𝝅
よって ∠𝛼𝛽𝛾 = arg
=
𝛼−𝛽 𝟑