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計測工学6
最小二乗法
最小二乗法の考え方
誤差を含む実験データに、どのように直線を引くべきか?
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最小二乗法の考え方
実験データをつなぐ→×直線でない
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最小二乗法の考え方
最初の2個のデータを通る→×最初の2個だけとる根拠なし
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最小二乗法の考え方
最初と最後のデータを通る→×根拠は?
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最小二乗法の考え方
この辺を通る→△この辺とは?
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最小二乗法の考え方
この辺を通る→△この辺とは?
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残差viの二乗和を最小にする
Σvi2→最小
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v1
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例)平均値の最小二乗法的理解
• データx1 , x2 , ・・・ , xn
• このデータに対する二乗誤差最小となる値A
は?
– ( Σ(xi-A)2を最小)
• 二乗誤差のAに対する偏微分=0
– (極値)
(ə/ əA)( Σ(xi-A)2)= -2 Σ(xi-A)=0
Σ(xi-A)=0
Σxi - ΣA = Σxi - nA = 0
nA= Σxi
A= (1/n)Σxi
→これは平均値のこと
• つまり平均値は二乗誤差最小の値である
実験式を1次式で近似する
•
•
•
•
•
変数の個数:m
測定回数:n(n>m)
測定値:M , Mi
未知量:xi
1次方程式
ax1+bx2+・・+lxm=M
実験式を1次式で近似する
(1)測定方程式
ai, bi・・・, liは測定または
設定されている
a1x1+b1x2+・・+l1xm=M1
a2x1+b2x2+・・+l2xm=M2
・・・・・・・・・・・
anx1+bnx2+・・+lnxm=Mn
m個の未知量に対して
n個の方程式
• 例えば
未知量の数m=2, biが全て1の場
合
一次方程式は
x1a+x2=M
の直線(傾きx1、
切片x2 )となる
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M3
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a
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実験式を1次式で近似する
(1)測定方程式
未知量の数m=2
方程式(実験データ)の数
n=2 (n=m)
未知量の数m=2
方程式(実験データ)の数
n=1 (n<m)
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M 3
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0
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M 3
2
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a
方程式は解けない
→データを通る線がいくつも
引ける
未知量の数m=2
方程式(実験データ)の数
n=4 (n>m)
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M 3
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a
方程式は解ける
→データを通る線が一本確
定する
0
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a
方程式は解けない
→二乗誤差最小の線が引け
る