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計測工学6
最小二乗法
最小二乗法の考え方
誤差を含む実験データに、どのように直線を引くべきか？
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最小二乗法の考え方
実験データをつなぐ→×直線でない
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最小二乗法の考え方
最初の２個のデータを通る→×最初の２個だけとる根拠なし
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最小二乗法の考え方
最初と最後のデータを通る→×根拠は？
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最小二乗法の考え方
この辺を通る→△この辺とは？
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最小二乗法の考え方
この辺を通る→△この辺とは？
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残差viの二乗和を最小にする
Σvi2→最小
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例）平均値の最小二乗法的理解
• データx1 , x2 , ・・・ , xn
• このデータに対する二乗誤差最小となる値Ａ
は？
– （ Σ（xi-A）2を最小）
• 二乗誤差のAに対する偏微分＝０
– （極値）
（ə／ əA）（ Σ（xi-A）2）= -2 Σ（xi-A）=0
Σ（xi-A）=0
Σxi - ΣA = Σxi - nA = 0
nA= Σxi
A= （1／n）Σxi
→これは平均値のこと
• つまり平均値は二乗誤差最小の値である
実験式を１次式で近似する
•
•
•
•
•
変数の個数：m
測定回数：n（n>m）
測定値：M , Mi
未知量：xi
１次方程式
ax1+bx2+・・+lxm=M
実験式を１次式で近似する
（１）測定方程式
ai, bi・・・, liは測定または
設定されている
a1x1+b1x2+・・+l1xm=M1
a2x1+b2x2+・・+l2xm=M2
・・・・・・・・・・・
anx1+bnx2+・・+lnxm=Mn
m個の未知量に対して
n個の方程式
• 例えば
未知量の数m=2, biが全て1の場
合
一次方程式は
x1a+x2=M
の直線（傾きx1、
切片x2 ）となる
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M3
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a
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実験式を１次式で近似する
（１）測定方程式
未知量の数m=2
方程式（実験データ）の数
n=2 (n=m)
未知量の数m=2
方程式（実験データ）の数
n=1 (n<m)
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M 3
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M 3
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a
方程式は解けない
→データを通る線がいくつも
引ける
未知量の数m=2
方程式（実験データ）の数
n=4 (n>m)
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M 3
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a
方程式は解ける
→データを通る線が一本確
定する
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a
方程式は解けない
→二乗誤差最小の線が引け
る