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『アインシュタインの物理』でリンクする研究・教育拠点研究会 １１日 １０月 2008 於 大阪市立大学 ボース・アインシュタイン凝縮体 での時空アナロジー 栗田泰生 (関西学院大学) 共同研究者の皆様: 小林未知数 (東大理)、 坪田誠 (大阪市立大学) 石原秀樹 (大阪市立大学)、 森成隆夫 (京大基研) 研究背景 曲がった時空上の物質場の量子論 非自明な重力場 特徴： 時空がダイナミカルに変化 ⇒ 粒子生成 WMAPによるＣＭＢ 例 ・インフレーションなどの宇宙膨張 ・重力崩壊によるブラックホール形成 Hawking 輻射 （ブラックホールから熱輻射が出る！） 曲がった時空上の場の理論が検証されたことは一度もない • インフレーション理論 ⇒ 量子揺らぎの生成 ⇒ CMBのゆらぎ 曲った時空上の場の理論的効果 （別なことで検証されるべき） • 宇宙に存在すると考えられるブラックホールの 熱輻射は、とらえることが絶望的． 軽いブラックホールの方が温度は高いが、太陽質量程度でも （加速器で観測できたら素晴らしい） Unruh PRL (1981) 流体上の時空アナロジー • 流体上を伝播するフォノンは、時空上を伝播する場とみなせる． Curved spacetime （gravitational field） Quantum field (quantum) Fluid flow phononic field (phonon) 曲った時空上の場の理論は、流体上のフォノンに適用できる！ 目的: アナロジーを用いて曲った時空上の場の量子効果を調べたい 流体を用いたアナロジー • 流体（空気）上の場（音波）の伝播： ） ） 音波（速度ポテンシャル）が従う式： ） 曲った時空上スカラー場のE.O.M. • 一般の時空の計量： • この時空上のスカラー場の作用： Equation of motion on curved spacetime 流体を用いたアナロジー • 流体（空気）上の場（音波）の伝播： ） ） 音波（速度ポテンシャル）が従う式： アナロジー時空計量 ） 流体を用いたアナロジー • 「曲がった時空上の場の量子論」という理論的枠組みは、流体 上を伝わる場の量子論にも適用できる． 時空 流体 場（光） 場（音波） • 流体上の音波（励起）も 時空上の場 と同じ形の方程式に従う． 完全流体の場合( 流体の密度、速度場などに依存 は音速） 通常の流体で量子効果 を見ることは難しい。 冷却原子気体 Bose-Einstein condensates • ボース粒子たちは、同じ量子状態を占めることができる. • 閉込ポテンシャル中では超低温で, 多くのボ－ス粒子が基底状態 ⇒ condensate! • 冷却原子気体BECは実験的に実現している. • Gross-Pitaevskii (GP) 方程式 に定量的に従う. Trapping potential Atomic interaction • GP 方程式を解くことで凝縮体のダイナミクスがわかる. 400nK, 200nK, 50nK BEC上の励起場 • BEC上の励起場は、Bogoliubov-de Gennes (BdG) 方程式に従う． • BdG方程式： 場を展開 ただし 係数関数が満たすべき方程式： としましょう。 BEC上の励起場 • BEC上の励起場は、Bogoliubov-de Gennes (BdG) 方程式に従う． • 励起場の量子論は知られている。 • BdG方程式： （Bogolibov-de Gennes 理論） • 場はハミルトニアンを対角化する生成・消滅演算子 場を展開 で展開される。 としましょう。 ただし ⇒ 量子（Bogoliubov準粒子）の生成・消滅演算子 係数関数が満たすべき方程式： • 低エネルギー励起はフォノン的 Analogy in BEC：E.O.M. • 凝縮体波動関数： • 励起場： • 場の再定義： Gross-Pitaevskii 方程式 Bogoliubov-de Gennes (BdG) 方程式 • BdG方程式から相対論的波動方程式が導かれる．(流体近似の下で.) 流速： 音速： アナロジー 時空計量 凝縮体の情報で決まっている！ Analogy in BEC：E.O.M. • 凝縮体波動関数： Gross-Pitaevskii 方程式 • 励起場： 細かい部分は省略しまして、 • 場の再定義： Bogoliubov-de Gennes (BdG) 方程式 音波の速度ポテンシャルに対して • BdG方程式から相対論的波動方程式が導かれる．(流体近似の下で.) 流速： 音速： アナロジー 時空計量 凝縮体の情報で決まっている！ Analogy in BEC: operators BEC上量子の 生成・消滅演算子 • 場の展開: • 展開関数系： satisfy (1) E.O.M. BdGの直交性 (2) Orthonormal relation 曲った時空上のQFTと同じ量子化： Bogoliubov 準粒子 一個 ～ 曲った時空上の量子一個. Analogy in BEC: operators • Normalized field : BEC上と曲った時空上の粒子生成には、理論上ほぼ 完全な対応がある。 • Field expansion: （量子論レベルのアナロジーとして非常に良い） • The coefficient functions Bogoliubov準粒子の理論 satisfy～ (1) 曲った時空上のスカラー場の理論 E.O.M. (2) orthonormal relation 上手に規格化すると、 曲った時空上のQFTと同じ量子化： Bogoliubov 準粒子 一個 ～ 曲った時空上の量子一個. アナロジーと粒子生成を 具体例で考えましょう。 膨張・収縮するBEC （１）振動数who = whoi の 凝縮体の大きさ 閉込めポテンシャルで 定常状態を用意 （２） t = 0 において whof = 0.707 whoi として BECを膨張・収縮 パラメーター：87Rb GP方程式を解いた！ 膨張・収縮宇宙のアナロジー 膨張BECは膨張宇宙に対応 音波で測った時空の大きさ が大きくなる： このBECは非一様な膨張・収縮宇宙に対応 この膨張BEC（膨張宇宙）での 粒子生成は？ Bogoliubov 準粒子 励起場に対する方程式 （Bogoliubov-de Gennes) The BdG Hamiltonian の対角化 ・準粒子状態はエネルギー固有状態 ・生成消滅演算子は、ハミルトニアンを対角化 準粒子の生成・消滅演算子 Bogoliubov 準粒子 励起場に対する方程式 （Bogoliubov-de Gennes) 凝縮体の量 The BdG Hamiltonian の対角化 ・準粒子状態はエネルギー固有状態 ・生成消滅演算子は、ハミルトニアンを対角化 時間発展する BEC • 初期にハミルトニアンを対角化する生成消滅演算子は、時間発展後のハ ミルトニアンを一般には対角化しない • 時間発展後のハミルトニアンは、別な演算子たちで対角化される. • つまり、準粒子を定義する演算子が変わる！ Mechanism of particle creation 二つの演算子たちは線形変換で結ばれる: 初期に準粒子状態は真空だったとしましょう： 時間発展後の粒子数期待値: Particle creation! 時間発展 BdG方程式を解くことで、求めることができる。 曲った時空での粒子生成も基本的に同じメカニズム 膨張BEC（膨張宇宙）での粒子生成 初期時刻 に粒子（フォノン）は存在しなかったとしても Number Number では粒子が生成されている。 5 20 10 温度： = 5 nK 100 粒子生成は場の理論的効果 • 粒子生成は場の理論的効果である。 • 例として球対称な凝縮体（時空）の変化を考えましょう！ 量子力学的な遷移 ⇒ 球対称な励起 場の理論における粒子生成 ⇒ 球対称も非球対称もすべてのモードが励起 例： 球対称重力崩壊で形成されたブラックホールからの Hawking 輻射 物理過程として純粋に面白い まとめ • 曲った時空上の場の量子論は、BEC上の励起場の量子論と非常に良く 似ている。 • BECを用いて曲った時空上の場の量子論的効果を検証できると期待。 • BEC上の励起場に対する時間発展Bogoliubov-de Gennes方程式を解 くことでBEC上の粒子生成スペクトルが計算可能。 • 非一様膨張宇宙に対応する膨張BECでの粒子生成スペクトルを計算し た。実験で到達可能と考えられる。 • 観測方法は要検討 • 次の方向： Hawking 輻射、 BECへの反作用、 粒子の定義問題、 等等。