Transcript 曲がった時空上の場の量子論とのアナロジー

ボース・アインシュタイン凝縮体(BEC)
における粒子生成：
曲った時空上の場の量子論とのアナロジー
栗田泰生（関学理工）
共同研究者
小林未知数（東大理）
森成隆夫（京大基研）
石原秀樹（阪市理)
坪田誠（阪市理）
市大コロキウム 2008年5月23日
目次
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•
•
曲がった時空上の場の量子論（粒子生成）
時空のアナロジーとは何か？
ボース・アインシュタイン凝縮体（BEC)
BECを用いたアナロジー
実験による検証を目指して
まとめ
1. Introduction
研究背景
曲った時空上の場の量子論
特徴： 時空がダイナミカルに変化 ⇒ 粒子生成
例１
・インフレーションなどの宇宙膨張
⇒ 量子ゆらぎの生成
例２
・星の重力崩壊でブラックホール形成
⇒ Hawking 輻射
WMAPによるＣＭＢ
曲がった時空上の場の理論が検証されたことは一度もな
い。
Introduction
Hawking 輻射
• 古典的にはブラックホールからは外へは何も出てこない。
• 量子論的には、熱輻射が出てくることがある。（Hawking 輻射）
• 輻射の温度は、 (Hawking 温度)
（
はブラックホール表面での重力加速度）
で与えられる。
重力崩壊などのダイナミカルな過程で静的なブラックホールが形成されたとすると、
そのブラックホールは熱的なスペクトルの輻射（Hawking 輻射）を放出します。
Introduction
Hawking 温度
典型的な Hawking 温度
太陽質量
ブラックホール質量
実際に宇宙にあると考えられているブラックホールはもっと重い。
CMBの温度よりもずっと低い!
• 天文学的ブラックホールからの Hawking 輻射を見ることは絶望的
曲がった時空上の場の理論が検証されたことは一度もな
い。
Introduction
アナロジー
Unruh PRL (1981)
• 曲った時空上の場は、流体上の励起場（音波）と似ている。
• 調べてみると、従う方程式も同様である。
• したがって、曲った時空上の場の理論の予言は、流体上の音波にも当て
はまると期待される。
⇒ 流体を用いて、曲った時空上の場の量子論を検証しよう！
ブラックホール熱力学
Classical
• 一般相対論を用いて調べると、ブラックホールは熱力学法則に類似した
性質を持つ．
(0): ブラックホールの表面重力加速度 は、horizon上で一定．
(1):
(2): ブラックホールhorizonの面積
は減少しない．
Quantum
• 曲った時空上の場の量子論
Hawking 輻射
: ブラックホールエントロピー
ブラックホールは熱的！
粒子生成について：１
スカラー場
の運動方程式：
方程式の解の中で
Klein-Gordon 内積に関して正規直交となる関数系
時空の情報が必要
を用意する。
Klein-Gordon 内積：
量子場をモード関数
で展開
展開係数が生成・消滅演算子
粒子生成について：２
初期の時空
時空がダイナミカルに時間発展
最終的な時空
時間発展により時空計量は変化する
初期の真空状態：
一般に終状態での number op.の期待値は
ゼロではない。
⇒ 解の自然な完全系も変わる。
粒子生成について：３
終時刻での完全系で初期の完全系を展開：
Bogoliubov coefficients
初期真空状態：
Number op.
このように終状態では粒子が生成される！
２．アナロジー
analogy
完全流体でのアナロジー
• 完全流体の式(渦なし)：
Unruh PRL (1981)
摂動場
背景流体
• 摂動場が従う方程式：
音速
音波（摂動場）は、曲った時空上の波動方程式に従うと見ることができる。
analogy
流体を用いたアナロジー
• 曲がった時空上の場は、流体上を伝わる励起場（音波）と類似．
時空（重力場）
流体
物質場（光など）
励起場（音波など）
• 流体上の音波（励起） と 時空上の場 は同様の方程式に従う．
流体上の音波は、曲がった時空上の場とみなせる。
曲がった時空上の場の理論的効果は、
流体上の励起場でも起こると期待される
analogy
超音速面がある場合
•
亜音速と超音速が共にあるような
流れを考えます。
Unruh (1981)
•
PRL46 (1981) 1351
Analogy of Hawking radiation in perfect fluids (without vortex).
perturbation
Background
•
音波は、超音速面を超えて
上流に伝わることが出来ません。
•
この音波の因果構造は
ブラックホールに似ています。
• このとき、超音速面は時空の意味で
の horizon に対応します。
アナロジー時空計量 :
•
Perturbed field of velocity potential obeys
Local velocity of sound
Field equation on spacetime with the metric
Sonic horizon
analogy
Unruh (1981)
Assumption
for the state
• 超音速面がある流体で、流体と共に超音速面に流れ落ちる観測者が場
の状態を真空状態とみるような量子状態が実現したとすると、超音速面
から熱輻射が放出される.
• 期待される輻射の温度;
超低温!
系の典型的なスケール
古典流体では観測不可能
と思われる。
BECを考えよう！
３. Bose-Einstein 凝縮体
（BEC）
BEC
冷却原子 Bose-Einstein 凝縮体
• 複数のボース粒子は同じ状態を占めることができる。
• 閉じ込めポテンシャルを用意して、束縛状態を作ると低温では多くのボー
ス粒子が、基底状態に入る。 ⇒ 凝縮
• 1995年頃から、希ガス原子を冷却して凝縮体を実験的に作る技術が開
発・進展し続けている。
今では、百万個単位の原子を
凝縮可能。
また温度も 1nK以下まで
到達できそう。
400nK, 200nK, 50nK
BEC
Gross-Pitaevskii 方程式
ボース粒子の
消滅演算子
ボース場を凝縮体部分とその他に分解：
凝縮体のダイナミクスを記述する方程式：
Trapping
potential
Atomic
interaction
とすると
連続の式
オイラー型の式
ここで
凝縮体の位相が速度ポテンシャル
BEC
Gross-Pitaevskii 方程式
ボース粒子の
消滅演算子
ボース場を凝縮体部分とその他に分解：
凝縮体のダイナミクスを記述する方程式：
Trapping
potential
Atomic
interaction
とすると
連続の式
オイラー型の式
ここで
凝縮体の位相が速度ポテンシャル
凝縮が起こったとき、
が満たされて、完全流体と同様になることがわかる。
BEC
BEC上の励起場
• BEC上の励起場は、Bogoliubov-de Gennes (BdG) 方程式に従う．
• BdG方程式：
の解で完全性
を満たす完全系で場を展開
より
凝縮体上に励起する場の量子論が構成される。
Bogoliubov準粒子のスペクトル
• 凝縮体が定常なときに励起場のスペクトルを調べると、
Excitation spectrum for initial state
800
700
低エネルギー励起は、フォノン的！
600
Ei
500
Bogoliubov 準粒子
400
小さなスケールで分散関係が変更
されるような理論になっている。
300
200
100
0
0
100 200 300 400 500 600
i
4. Analogy in BEC
Analogy in BEC
Bogoliubov準粒子の場の理論
• 流体上に生成・消滅する Bogoliubov 準粒子の場の理論を、
曲った時空上のスカラー場の理論のように書き換えることができる。
凝縮体波動関数：
Gross-Pitaevskii 方程式
励起場：
場の再定義：
流速：
音速：
Bogoliubov-de Gennes (BdG) 方程式
有効時空の計量
凝縮体の情報で決まっている！
Analogy in BEC
Bogoliubov 準粒子の場の理論２
• 注目する場をBogoliubov 準粒子の生成消滅演算子を respect して展開
このとき展開関数は、Klein-Gordon 内積に関して正規直交になる！
の完全性と対応
Bogoliubov 準粒子は、曲った時空上の量子とみなすことが出来る。
（生成・消滅演算子レベルで対応）
Analogy in BEC
Bogoliubov 準粒子の場の理論２
• • 注目する場をBogoliubov
準粒子の生成消滅演算子を
respect して展開
「BEC上のフォノン」 ～
「アナロジー時空上の量子」
（生成消滅演算子を対応させることが出来る）
• それぞれの理論がほぼ同じ．
(BdG方程式 ⇔ 曲った時空上の場の運動方程式)
内積に関して正規直交になる！
• このとき展開関数は、Klein-Gordon
曲がった時空上QFTで知られている粒子生成の計算が可能
（粒子生成が実際に起こると期待）
Bogoliubov 準粒子は、曲った時空上の量子とみなすことが出来る。
（生成・消滅演算子レベルで対応）
Analogy in BEC
ＢＥＣでの粒子生成
• 注目する量子場を時間発展の前後で展開：
Bogoliubov 変換
initial
final
• 相対論的な内積の下で完全系：
Analogy in BEC
最後のハミルトニアン対角化
終状態
B-dGを解くと時間発
展がわかる。
dynamical evolution
初期状態
初期のハミルトニアン対角化
終時刻で
と
の内積を計算 ⇒ 粒子生成
ここで
終時刻での Klein-Gordon 内積
５．実験による検証に向けて
我々の戦略
• 冷却原子ＢＥＣを膨張
⇒ 超音速面(ホライズン)が形成． Kurita, Morinari PRA 76 (2007) 053603
• 超音速面から熱的なスペクトルのフォノンが生成と予想．
• この熱輻射を冷却原子ＢＥＣを用いて検証するという実験提案
をしたい。
• 膨張BEC中で生成されるフォノンのスペクトルを求めよう！.
数値計算のセットアップ
簡単のため擬一次元系を考える
(ディスク型BEC)
(1) who = whoi にて定常状態を用意
(2) t = 0 において whof = 0.707 whoi としてBECを膨張・収縮
シミュレーションパラメー
ター：87Rb原子気体BEC
物理量のユニット
Kurita, Morinari PRA 76 (2007) 053603
膨張BECでの超音速面の形成
凝縮体の大きさ
（１）振動数who = whoi の
閉込めポテンシャルで
定常状態を用意
（２） t = 0 において
whof = 0.707 whoi として
BECを膨張・収縮
音速
超音速面の位置
粒子生成（数値計算結果）
初期状態には励起（フォノン）はなかった。
時間発展後、フォノンが生成される
preliminary
の時
プランク分布でフィットすると
1.4 nK の輻射
Hawking 温度
• Hawking輻射の温度（アナロジー時空での公式）
BEC上フォノンにとっての有効計量の言葉では
超音速面の位置
アナロジー時空（凝縮体）が準静的な場合の近似式
粒子生成のスペクトル再び
preliminary
粒子生成のスペクトル再び
Hawking 温度と一致
preliminary
まとめ１
• 曲った時空の場の量子論の検証という目的で、流体を用い
たアナロジーを考えることができる。
• 量子効果に興味がある場合、量子流体 ⇒ ＢＥＣは有望
• ＢＥＣは実験技術的にも進歩が目覚しく、実際に実験できそ
う。（ＢＥＣ中のフォノンは観測できる！）
まとめ２
•
•
ＢＥＣを膨張 ⇒ 超音速面(ホライズン)が形成．
曲がった時空上QFTとのアナロジーにより準静的な
超音速面から熱的な輻射が放出されると期待．
研究の現状
• 「曲がった時空上の量子」と「Bogoliubov準粒子」の対応関
係を明確に定式化．
⇒ BdG方程式を解くことで粒子生成の計算が可能に.
• 数値シミュレーションにより粒子生成を計算している段階
• 今のところ、プランク分布でフィットしたときの温度が、
Hawking温度と一致している．
今後
• 膨張ＢＥＣは、膨張宇宙のモデルにもなるので、膨張宇宙で
の粒子生成を議論できる。
• BECの言葉で、Hawking 輻射とはどのような現象であるの
か？について基礎研究ができないか？ （微視的な理論がわ
かっている。）
• 関連したエントロピーの起源は？
数値計算法
１次元シミュレーション：
数値計算法：
全格子点数：1024
空間刻み： Dx = 0.0625時
間刻み： Dt = 1×10-8
空間：エリアジング完全除去の元での
チェビシェフ－ガラーキン法
（境界条件：ディリクレ境界条件）
時間：４次のルンゲ－クッタ法
チェビシェフ多項式波動関数の基
底とし、２０４８個のチェビシェフ多
項式で波動関数を展開する。その
うち１０２４個を実際の計算に用い、
残り１０２４個をエリアジング除去に
用いる。ハミルトニアンを対角化す
る際にも２０４８個の基底を用いる
境界条件を満たすチェビシェフ多項式
analogy
Case 1: 流速がない場合
• 部屋の空気を流体と
して考えましょう。
）
））
音波（速度ポテンシャル）が
従う式：
：sound velocity
計量（
）で表さ
れる時空上の波動
方程式
2階対称テンソル
アナロジー時空
は平坦時空
アナロジー時空計量
analogy
Case 2: 流速がある場合
• 風（流速）がある状況を考えます。
）
）
）
音波（速度ポテンシャル）が従う式：
：horizon
アナロジー時空計量
初期状態について
preliminary
• BEC をダイナミカルにするために
系のハミルトニアンを少し変更した。
• 曲った時空上の場合、理論を
変更しない。
• ところで膨張・収縮 BECの場合、
系はほぼ周期的で一周期後の状態は
ポテンシャルを変更する前の状態に
非常に近い。
• 初期に用意した真空と一周期後の
の状態はほぼ同じ。
初期状態として一周期後の状態を選べば、
真空に近い状態から出発して、理論を変えずに議論できる。
膨張・収縮するBEC
凝縮体の大きさ
（１）振動数who = whoi の
閉込めポテンシャルで
定常状態を用意
（２） t = 0 において 、
閉じ込めポテンシャルの
振動数を
whof = 0.707 whoi
と変更