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確率･統計Ⅰ
第3回 確率変数の独立性 ／ 確率変数の平均
ここです！
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確率論とは
確率変数、確率分布
確率変数の独立性 ／ 確率変数の平均
確率変数の平均（続き）、確率変数の分散
確率変数の共分散、チェビシェフの不等式
ベルヌイ試行と二項分布
二項分布（続き）、幾何分布など
二項分布の近似、ポアソン分布、正規分布
正規分布とその性質
i.i.d.の和と大数の法則
中心極限定理
統計学の基礎1（母集団と標本、確率論との関係）
統計学の基礎2（正規分布を用いた推定・検定）
確率変数の独立性 ／
確率変数の平均
1. ２つの確率変数の同時分布
2. 確率変数の独立性
3. 確率変数の平均の定義
4. 確率変数の平均の性質(1)(2)(3)
2つの確率変数の同時分布（離散
型）
P( X = xi , Y = yk ) = rik
y1
y2
y3
y4
x1
r 11
r 21
r 31
r 41
x2
r 12
r 22
r 32
r 42
x3
r 13
r 23
r 33
r 43
x4
r 14
r 24
r 34
r 44
…
…
…
…
…
Y
X
同時分布
…
…
…
…
…
2つの確率変数の同時分布（離散
型）
P( X = xi ) = ai （Xだけの分布）
P( Y = yi ) = bi （Yだけの分布）
x2
r 12
r 22
r 32
r 42
x3
r 13
r 23
r 33
r 43
x4
r 14
r 24
r 34
r 44
…
…
…
…
計
a1
a2
a3
a4
…
計
…
b1
b2
b3
b4
…
…
…
…
y1
y2
y3
y4
x1
r 11
r 21
r 31
r 41
…
X
Y
周辺分布
…
1
連続確率変数の場合
同時分布密度 r(x, y)
P(( X , Y )  D)   r( x, y)dxdy
D
X の分布密度 f (x)
Y の分布密度 g (y)

f ( x)   r ( x, y)dy

（周辺分布）
（周辺分布）

g ( y)   r ( x, y)dx

確率変数の独立性 ／
確率変数の平均
1. ２つの確率変数の同時分布
2. 確率変数の独立性
3. 確率変数の平均の定義
4. 確率変数の平均の性質(1)(2)(3)
2つの確率変数の独立（離散型）
確率変数 X, Y が独立 とは
P( X = xi , Y = yk ) = P( X = xi ) P( Y = yk )
rik = ai・ bk
2つの確率変数の独立（離散型）
X と Y が独立 の場合の分布表
x2
a 2b 1
a 2b 2
a 2b 3
a 2b 4
x3
a 3b 1
a 3b 2
a 3b 3
a 3b 4
x4
a 4b 1
a 4b 2
a 4b 3
a 4b 4
…
…
…
…
計
a1
a2
a3
a4
…
計
…
b1
b2
b3
b4
…
…
…
…
y1
y2
y3
y4
x1
a 1b 1
a 1b 2
a 1b 3
a 1b 4
…
X
Y
…
（n個の確率変数の独立）
確率変数 X1, X2, …, Xn が独立 とは
P( Xi = xi , Xj = xj , …, Xk =
xk )
= P( Xi = xi ) P( Xj = xj ) … P( Xk =
xk )
が 任意の m 個 (≦n) に対して成り立つこと
連続確率変数の場合
XとYが独立
⇔同時分布密度 r(x, y) = f (x) g(y)
P(( X , Y )  D)   f (x) g( y)dxdy
D
（周辺分布）

f ( x)   f ( x) g ( y)dy


g ( y)   f ( x) g ( y)dx

独立試行と数学定義
本質の抽出
偶然現象
（硬貨投げな
ど）
実験と比較
×
A（1回目が表）と
表の出る確率は1/2
B（2回目が表）は無関係
（偶然の中の法則性）
（直観的事実）
直観 ×
数学
定理・結論
（数学的結論）
証明
確率空間
P(A∩B)=P(A)P(B)
（数学モデルにおける
（数学モデル）
「独立」の定義）
確率変数の独立性 ／
確率変数の平均
1. ２つの確率変数の同時分布
2. 確率変数の独立性
3. 確率変数の平均の定義
4. 確率変数の平均の性質(1)(2)(3)
離散型確率変数の平均
X の確率分布を P( X = xi ) = pi としよう。
X の平均 E(X) =
x  p
i
i
期待値の略
i
離散型確率変数の平均
X の平均 E(X) =
x
k
 P( X  xk )
k
連続型確率変数の平均
E(X) =



x  P( X  dx)

  x  f ( x)dx

確率密度
確率変数の独立性 ／
確率変数の平均
1. ２つの確率変数の同時分布
2. 確率変数の独立性
3. 確率変数の平均の定義
4. 確率変数の平均の性質(1)(2)(3)
平均の性質(1)
特に、 X の一次式で与えられる確率
変数の平均については、次の式が成
り立つ：
E(aX  b)  aE( X )  b
平均の性質(1)の証明
X の確率分布を P( X = xi ) = pi としよう。
E(aX+b) = Σ(axi+b) pi
= aΣxi pi + bΣpi
= aE(X) + b
平均の性質(1)
例： サイコロを1回投げ、(出た目の数×2)－3 を Y とする。
Y の平均 E(Y) を求めよ。
Y
-1
確率 1/6
1
3
5
7
9
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
を使わなくても、出た目X の平均 E(X)=3.5 を用いて
E(Y )  E(2 X  3)
 2E( X )  3  3.5 2  3  4
平均の性質(2)
2つの確率変数 X と Y の和 X+Y の
平均について、次の式が成り立つ：
E( X  Y )  E( X )  E(Y )
平均の性質(2)
したがって、n個の確率変数 X1,…Xn
の和 の平均については、
E( X1  X 2   X n )
 E ( X 1 )  E ( X 2 )   E ( X n )
平均の性質(2)
例： サイコロを10回投げ、出た目の数の和 を Y とす
る。Y の平均 E(Y) を求めよ。
i 回目に出る目の値を Xi とすると、 E( Xi )=3.5 だから、
E(Y )  E( X1  X 2   X10)
 E( X1 )  E( X 2 )   E( X10)
 3.510  35
平均の性質(2)の証明
2つの確率変数を同時に考える場合でも、
E(X) は X の分布 ai からΣxi ai のように
計算してよい。
x1 倍 x2 倍
x2
r 12
r 22
r 32
r 42
…
= Σxi ai
y1
y2
y3
y4
x1
r 11
r 21
r 31
r 41
…
= Σxi Σrik
X
…
E(X) = ΣΣxi rik
Y
計
a1
a2
a1x1
…
…
…
…
…
…
a2x2
平均の性質(2)の証明
E(X+Y) = ΣΣ(xi+yk) rik
= ΣΣxi rik + ΣΣyk rik
= Σxi Σrik + Σyk Σrik
= Σxi ai +Σyk bk
= E(X) + E(Y)
平均の性質(3)
X,Y が独立ならば
E(XY) = E(X) E(Y)
証明
E(XY) = ΣΣ(xi yk) rik
= ΣΣ xi yk ai bk
= Σxi ai Σyk bk
= E(X) E(Y)
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