Transcript （P ∪ Q） ≡ （～P） ∩ （～Q） ～（P ∩ Q）

２．論理表現の基礎知識
命題論理(Propositional Calculus)
と
述語論理(Predicate Calculus)
2.1 命題論理 (Propositional Calculus)
基本単位：意味のある言明→命題
↓
（通常、自然言語の１文に相当）
命題が真か偽かのみ
に言及する
命題自身を更に分析
することはしない。
真理値
真 ： True
T
1
偽 ： False
F
0
命題に関する演算
反対命題
～Ｐ ： Ｐではない
（例）
Ｐ
： 徳川綱吉は戌年生ま
れである。
～Ｐ ： 徳川綱吉は戌年生ま
れでない。
真理値表
Ｐ
～Ｐ
０
１
１
０
複合命題
連結詞によって複数の命題をつなぐ
Ｐ∩Ｑ Ｐ かつ Ｑ
Ｐ∪Ｑ
Ｐ または Ｑ
Ｐ→Ｑ Ｐ ならば Ｑ
Ｐ≡Ｑ Ｐ と Ｑ は等価
Ｐ
Ｐ
if
Ｐ
and Ｑ
or Ｑ
Ｐ then Ｑ
equal Ｑ
（Ｐ→Ｑ かつ Ｑ→Ｐ）
Ｐ／Ｑ
Ｐ さもなくば Ｑ
Ｐ exclusive Or Ｑ
表記法のバラエティ
•
•
•
•
∩，∧，＆
∪，∨，｜
⊃，→
≡，＝
• ／，∨
連言，論理積， Ａｎｄ，かつ
選言，論理和， Ｏｒ，または
含意，Ｉｍｐｌｉｅｓ，ならば
等価，同値，
Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ，のときだけ
排他的論理和，
Ｅｘｃｌｕｓｉｖｅ Ｏｒ， さもなくば
自然言語の連結詞の不確かさ
そして、および、または、ならびに、もしくは…
そして ∩ →
および ∩ ∪ （ならびに）
または ∪ ／ （もしくは）
不確かさの例
｛この家は、駅に近く、そして日当りが良い｝
∩の意味
｛太郎は悪戯をした。そして母親に叱られた｝
∩ではなく、→
｛法律および政令には全て主任の国務大臣が署名する｝
法律 ∪ 政令には、全て主任の国務大臣が署名する
｛明日、雨天または強風ならば、花見中止｝
雨天であり、強風のとき、花見は中止
｛優勝者には、車１台または賞金２００万円が贈られる｝
車１台かつ賞金２００万円が贈られることはない
複合命題の真理値表
Ｐ
１
１
０
０
Ｑ
１
０
１
０
Ｐ∩Ｑ
１
０
０
０
Ｐ∪Ｑ
１
１
１
０
Ｐ→Ｑ
１
０
１
１
Ｐ
１
１
０
０
Ｑ
１
０
１
０
～Ｐ
０
０
１
１
～Ｐ∪Ｑ
１
０
１
１
Ｐ→Ｑ
１
０
１
１
Ｐ≡Ｑ
１
０
０
１
Ｐ／Ｑ
０
１
１
０
比較
Ｐ→Ｑ≡～Ｐ∪Ｑ
演習
任意の演算のうち適当な２種類で他を定義でき
ることを真理値表で確かめよ。
（ヒント：以下は～と∩で他演算を定義している式の展開である）
Ａ∪Ｂ ： ～（～Ａ∩～Ｂ）
Ａ≡Ｂ ： （Ａ→Ｂ）∩（Ｂ→Ａ）
シェファー(Sheffer)の棒（↑）
Ｐ↑Ｑ≡～（Ｐ∩Ｑ）
～Ｐ
Ｐ∩Ｑ
Ｐ∪Ｑ
Ｐ→Ｑ
Ｐ≡Ｑ
Ｐ／Ｑ
：
：
：
：
：
：
Ｐ↑Ｐ
（Ｐ↑Ｑ）↑（Ｐ↑Ｑ）
（Ｐ↑Ｐ）↑（Ｑ↑Ｑ）
Ｐ↑（Ｑ↑Ｑ）
（Ｐ↑Ｑ）↑｛ （Ｐ↑Ｐ）↑（Ｑ↑Ｑ）｝
｛Ｐ↑（Ｑ↑Ｑ）｝↑｛Ｑ↑（Ｐ↑Ｐ）｝
シェファー(Sheffer)の棒（↓）
Ｐ↓Ｑ≡～（Ｐ∩Ｑ）
～Ｐ
Ｐ∩Ｑ
Ｐ∪Ｑ
Ｐ→Ｑ
Ｐ≡Ｑ
Ｐ／Ｑ
：
：
：
：
：
：
Ｐ↓Ｐ
（Ｐ↓Ｐ）↓（Ｑ↓Ｑ）
（Ｐ↓Ｑ）↓（Ｐ↓Ｑ）
｛（Ｐ↓Ｐ）↓Ｑ｝↓｛（Ｐ↓Ｐ）↓Ｑ）｝
｛Ｐ↓（Ｑ↓Ｑ）｝↓｛Ｑ↓（Ｐ↓Ｐ）｝
（Ｐ↓Ｑ）↓｛ （Ｐ↓Ｐ）↓（Ｑ↓Ｑ）｝
演習
① シェファーの２つの棒（↓，↑）での∩と∪、
および≡と／の演算を比較せよ。
② 適当なひとつの演算を選び、真理値表で確
認せよ。
命題論理とブール代数との対比
Ｕ ：全体集合
Ａ，Ｂ，ＣがＵの部分集合であるとき
許される
Ｕ
許されない
Ｕ
Ａ
Ａ
命題論理とブール代数との考え方の違い
命題論理 ブール代数
基本単位 命題
演算
集合
Ｔ
全体集合Ｕ
Ｆ
空集合Φ
（なし）
部分集合
∩（連言）
∩（共通部分集合）
∪（選言）
∪（合併集合）
～（否定） ～（補集合）
→（含意） ⊂（部分集合）
Ａ∪Ｂ
Ａ
～Ａ
Ａ
Ａ∩Ｂ
Ｂ
Ａ
Ｂ
Ａ⊂Ｂ
Ａ
（Ａ → Ｂ と Ａ ⊂ Ｂ
の関係について注
意）
Ｂ
論理型知識での推論規則
（式の変形で行われる）
変形方法：書き換え規則
（基本）
（交換律）
（分配律：連結詞が異なる）
０ ∩ Ｐ
≡ ０
Ｐ ∩ Ｑ ≡
Ｑ ∩ Ｐ
０ ∪ Ｐ
≡ Ｐ
Ｐ ∪ Ｑ ≡
Ｑ ∪ Ｐ
１ ∩ Ｐ
≡ Ｐ
（結合律：連結詞が同じ）
１ ∪ Ｐ
≡ １
Ｐ ∩ （Ｑ ∩ Ｒ）
Ｐ ∩ ～Ｐ ≡ ０
Ｐ ∪ ～Ｐ ≡ １
～（～Ｐ）
≡ Ｐ
（巾等律）
Ｐ ∩ Ｐ
≡ Ｐ
Ｐ ∪ Ｐ
≡ Ｐ
≡
（Ｐ ∩ Ｑ） ∩ Ｒ
Ｐ ∩ （Ｑ ∩ Ｒ）
≡
（Ｐ ∩ Ｑ） ∩ Ｒ
Ｐ ∩ （Ｑ ∪ Ｒ）
≡
（Ｐ ∩ Ｑ） ∪ （Ｐ ∩ Ｒ）
Ｐ ∪ （Ｑ ∩ Ｒ）
≡
（Ｐ ∪ Ｑ） ∩ （Ｐ ∪ R）
（ド・モルガンの補助定理）
Ｐ ∩ （～Ｐ ∩ Ｑ）
≡
０
Ｐ ∪ （～Ｐ ∩ Ｑ）
≡
１
（吸収律）
（ド・モルガンの定理）
Ｐ ∩ （Ｐ ∪ Ｑ）
～（Ｐ ∪ Ｑ） ≡
（～Ｐ） ∩ （～Ｑ）
～（Ｐ ∩ Ｑ） ≡
（～Ｐ） ∪ （～Ｑ）
≡
Ｐ ∪ （Ｐ ∩ Ｑ）
ド・モルガンの定理を真理値表で確認
Ｐ
１
１
０
０
Ｑ ～Ｐ ～Ｑ
１
０
０
０
０
１
１
１
０
０
１
１
Ｐ∩Ｑ
１
０
０
０
～（Ｐ∩Ｑ）
０
１
１
１
（～Ｐ）∪（～Ｑ）
０
１
１
１
［演習］
真理値表により、～（Ｐ∪Ｑ）と（～Ｐ）∩（～Ｑ）が等価であることを
確認せよ。
式の書き換え例
（例１）
～（Ｐ∪Ｑ）→（～Ｐ）∩（～Ｑ）
～（～（Ｐ∪Ｑ））∪（（～Ｐ）∩（～Ｑ））
（Ｐ∪Ｑ）∪（（～Ｐ）∩（～Ｑ））
分配律から
（（Ｐ∪Ｑ）∪（～Ｐ））∩（（Ｐ∪Ｑ）∪（～Ｑ））
（（～Ｐ∪Ｐ）∪Ｑ）∩（Ｐ∪（Ｑ∪～Ｑ））
↓
↓
１
１
（１∪Ｑ） ∩ （Ｐ∪１）
１ ∩ １ ≡ １
（例２）
～（Ｐ∩Ｑ）→（～Ｐ）∪（～Ｑ）
～（～（Ｐ∩Ｑ））∪（（～Ｐ）∪（～Ｑ））
（Ｐ∩Ｑ）∪（（～Ｐ）∪（～Ｑ））
結合律から
（（Ｐ∩Ｑ）∪（～Ｐ））∪（～Ｑ）
（（～Ｐ∪Ｐ）∩Ｑ）∩（～Ｑ））
↓
１
（１∩Ｑ） ∩ （～Ｑ）
Ｑ ∩ ～Ｑ ≡ １
2.2 論理型知識の内容と利用の概要
• 知識の格納
知識の妥当性、矛盾のなさ
• 推論
既に格納されている知識を利用して他の
結論を導く。
結論の評価 ＝ 根拠となる主張の適切さ ＋ 導出の適切さ
根拠となる主張の適切さ
＝ 命題そのもの
知識ベースの内容
導出の適切さ
＝ 推論の実行
推論エンジンの機能
根拠となる主張の適切さ
（１）意味規定
①辞書的規定
： 一般に認められている意味規定
②一時的規定
： 与えられた状況に限定した一時的な意味規定
③提案的規定
： 辞書的規定に替わる一般的意味規定の提案
（２）事実認識
①個別的主張
： 個々の事実を示す主張
②一般的主張
： 一般的な事柄に対する主張
Ａ：一般化に関する主張
Ｂ：法則の主張
Ｃ：存在の主張
（３）価値評価
： 価値・規範を共有している相手との間での価値・規範の評価
①良悪・善悪評価
②選択的評価
根拠の例
（１）意味規定
①辞書的規定
： 海藻は海の植物である。
②一時的規定
： ここでは、ソフトウェア科学は自然科学に含めないこととする。
③提案的規定
： 「善悪」とは、結局社会に受け入れられる行為であるかどうかで
ある。
（２）事実認識
①個別的主張
： 「Ｐｒｏｌｏｇの技芸」の著作者はＳｈａｐｉｒｏである。
②一般的主張
Ａ：一般化の主張
： 関西の人は、納豆嫌いである。
Ｂ：法則の主張
： 酒を呑んで山に入ると、やぶ蚊に刺される。
Ｃ：存在の主張
： この山のどこかに、大鷲が棲んでいるはずだ。
（３）価値評価
①良悪・善悪評価
： このワインはとても美味しい。
②行動の選択的評価 ： 夏休みには、ぜひ海に行くべきだ。
根拠の確認
（１）意味規定
①辞書的規定
： 一般的に認められている意味かどうかを確認
②一時的規定
： その状況の中で、規定に従った結果、矛盾が生じないかを検証
③提案的規定
： 提案を受け入れるか拒否するか意思決定することが必要
（２）事実認識
①個別的主張
： 事実であるかどうかを確認
②一般的主張
Ａ：一般化の主張
： 厳密には全てを調査する。統計的に傾向を調べて一般化が妥
当かどうかを調べる。
Ｂ：法則の主張
： 反復現象に対する調査や因果関係の調査が必要
Ｃ：存在の主張
： 事実の調査や、目撃か単なる伝聞か等の情報源の妥当性を確
認。
（３）価値評価
： 価値・規範の基準が共有されていることが必要。相手が異なる
価値・規範を持っていたとしても否定はできない。評価が独断的
であることを示したり、他の評価が客観的であることを示すこと
等の手続きが必要。
導出の適切さ
① 意味に関わるもの→演繹
言語規則に正しく従っているかどうかによる。誤解や規
則違反を犯したとき誤謬が生じる。
② 事実に関わるもの→推測
ある事実に基づいて、事実から含意されないような他
の事実の成立を結論する。
Ａ：背景法則に基づく推測
Ｂ：仮説形成による推測
Ｃ：帰納法による推測
導出の例
演繹
●蛙は哺乳類ではない。何故なら卵を産むからね。
●彼は、今日は自宅かアルバイト先にいると言ってたけど、自宅にいな
いから、きっとアルバイト先だと思う。
●近頃の学生はまじめだ。従って今度の新入生もまじめである。
推測
●彼は昨夜徹夜で勉強していた。だから、きっと疲れているに違いない。
●彼は二日酔いだそうだ。彼は、いつも近くのスナックに通っているから、
昨夜はいつものスナックで飲んだのだろう。
●今まで３回も見合いをして全て断られた。だから今度の見合いもどう
せ駄目だろう。
導出＝推論
よく使われる三段論法（ＭｏｄｕｓＰｏｎｅｎｓ）
風が吹く
砂ほこりが立つ
盲人が多くなる
三味線が売れる
猫が殺される
ねずみが増える
桶をかじる
→
→
→
→
→
→
→
砂ほこりがたつ
盲人が多くなる
三味線が売れる
猫が殺される
ねずみが増える
桶をかじる
桶屋が儲かる
∴風が吹く
→
桶屋が儲かる
三段論法とは
Ｐ∩（Ｐ→Ｑ）→Ｑ
真理値表
Ｐ
Ｑ
Ｐ→Ｑ
Ｐ∩（Ｐ→Ｑ）
１
１
０
０
１
０
１
０
１
０
１
１
１
０
０
０
Ｐ∩（Ｐ→Ｑ）→Ｑ
１
１
１
１
論理における推論（その１）
①連言
ゆえに
②簡約
ゆえに
③簡約
ゆえに
④付加
ゆえに
⑤付加
ゆえに
⑥後件の簡約
ゆえに
⑦前件の簡約
ゆえに
今日は雨が降る
今日は寒い
今日は雨が降り、寒い
東京は日本の首都で人口１千万以上である
東京は日本の首都である
Ａ君は技術者を志望してＫ大学を受験するか
または歯医者志望してＳ大学を受験する
Ａ君はＫ大学を受験するかＳ大学を受験する
Ａ君は胃がんである
Ａ君は胃がんか胃潰瘍である
Ａ君は数学が得意でない
Ａ君は数学と物理学両方ともに得意ということはない
僕はＡ大学に入学すれば
油絵を続けると共に数学を勉強する
僕はＡ大学に入学すれば、数学を勉強する
明日雨が降るか、大雨が吹くなら登山は中止する
明日雨が降れば、登山は中止する
Ｐ
Ｑ
∴Ｐ∩Ｑ
Ｐ∩Ｑ
∴Ｐ
（Ｐ∩Ｑ）∪
（Ｒ∩Ｓ）
∴Ｑ∪Ｓ
Ｐ
∴Ｐ∪Ｑ
～Ｐ
∴～（Ｐ∩Ｑ）
Ｐ→Ｑ∩Ｒ
∴Ｐ→Ｑ
（Ｐ∪Ｑ）→Ｒ
∴Ｐ→Ｒ
論理における推論（その２）
⑧肯定式
（単純三段論法）
ゆえに
⑨否定式
三角形ＡＢＣでＡＢ＝ＡＣならば、角Ｂ＝角Ｃである
三角形ＡＢＣでＡＢ＝ＡＣである
三角形ＡＢＣで角Ｂ＝角Ｃである
Ｓさんがおじさんなら、Ｓさんは男である。
Ｓさんは男ではない
ゆえに
Ｓさんは、おじさんではない。
⑩選言三段論法 Ａ君は大学院に進むか、就職する
Ａ君は大学院に進まない
ゆえに
Ａ君は就職する
⑪条件三段論法 風が吹けば盲人が増える
盲人が増えれば三味線が売れる
ゆえに
風が吹けば三味線が売れる
⑫選言・三段論法 Ａ君は大学院に進むか、就職する
Ａ君は大学院に進むなら、Ｓ大学大学院に進む
ゆえに
Ａ君はＳ大学大学院に進むか、就職する
⑬ジレンマ
重盛は父の命令に従うなら不忠である
重盛は父の命令に従わないなら親不孝である
ゆえに
重盛は不忠であるか、親不孝である
Ｐ→Ｑ
Ｐ
∴Ｑ
Ｐ→Ｑ
～Ｑ
∴～Ｐ
Ｐ∪Ｑ
～Ｐ
∴Ｑ
Ｐ→Ｑ
Ｑ→Ｒ
∴Ｐ→Ｒ
Ｐ∪Ｑ
Ｐ→Ｒ
∴Ｒ∪Ｑ
Ｐ→Ｑ
～Ｐ→Ｒ
∴Ｑ∪Ｒ
演習：以下の導出を演繹と推測に区別せよ
①ツルは天然記念物である。だから、むやみに捕獲したら罰せられる。
②今まで馬券を買って当たったことがない。だから買ってもどうせはず
れるさ。
③ジョーカを君が持ってるはずないさ。だって、僕の手元にあるもの。
④彼女、マスクをかけていたけど、スギ花粉症かな。
⑤ペンギンは哺乳類ではない。なぜならペンギンは鳥類だからさ。
⑥昨夜、彼は得意先の接待だったから、今朝は疲れているに違いない。
⑦コンピュータ室の鍵は鈴木君か木村君が持ってるけど、鈴木君は今
日いないから、木村君に借りてくれ。
⑧今までに付き合った男は、みんなずるかった。だから男はみんなずる
いものよ。
⑨どんな男だってずるいものよ。だから君もずるいに決まってるわ。
推測ということ
①背景法則に基づく推測（背景法則が確からしいものでなければならない）
（例）彼は昨日遅くまで呑んでいた。だから、きっと二日酔いだろう。
（背景法則）遅くまで呑んでいれば、二日酔いになるはずだ。
②仮説形成（証拠となる事実が説明できるか、他の有力な仮説がないか）
（例）彼をよくパチンコ屋で見かけるけど、パチンコが好きなのかな。
仮説：彼はパチンコが好きだ
→ 説明項
仮説形成 ↑
↓ 説明
証拠：彼をよくパチンコ屋で見かける ← 被説明項
③帰納法（サンプルの適切さが必要
（例）今まで付き合った男は、みんなずるかった。だから今度の彼もずるい
だろう。
（個別の事例を証拠として、一般的主張を結論） ⇔ 演繹
仮説形成での補助前提と消去条件
①補助前提
証拠
補助前提
仮説
②消去条件
：Ａのシャツに血痕があった。
：被害者は刺されていた。
：Ａは犯人である。
仮説
仮説形成↑
証拠＋補助前提
仮説＋補助前提
↓説明
証拠
証拠
補助前提
消去条件
仮説
：Ａのシャツに血痕があった。
：被害者は刺されていた。
：血痕は被害者の血液型と異なる。
：Ａは犯人ではない。
仮説
仮説形成 ↑
証拠＋補助前提＋消去条件
2.3 述語論理による推論
第１階述語論理（First-order Predicate calculus）
命題論理
述語論理
Ｐ１：つばめは鳥である。
鳥（つばめ）
Ｐ２：すずめは鳥である。
鳥（すずめ）
Ｐ３：こまどりは鳥である。
鳥（こまどり）
述語記号
：鳥
定数記号
：つばめ、すずめ、こまどり
素命題
：鳥（つばめ）、鳥（すずめ）、鳥（こまどり）
集合の定義域 ：｛つばめ，すずめ，こまどり｝
全称記号
：∀ｘ ｛ 鳥（ｘ） → 死ぬ（ｘ） ｝
： ｘは変数
存在記号
：∃ｘ ｛ 鳥（ｘ） → 飛ぶ（ｘ） ｝
関数記号
：Friendly(Child(x), Neighbor(y))
Child, Neighbor を関数記号と呼ぶ
（例１）
•
•
•
•
全てのリンゴは赤い
リンゴはサクランボより大きい
花崗岩は白っぽい
厠橋変電所の地盤は沖積シルトである
：
：
：
：
•
•
•
全ての人間は動物である
全ての女性は人間である
本みかげは花崗岩である
： ∀ｘ 人間（ｘ）→動物（ｘ）
： ∀ｘ 女性（ｘ）→動物（ｘ）
： ∀ｘ 本みかげ（ｘ）→花崗岩（ｘ）
•
•
•
美しい女性もいる
冬眠する哺乳動物もいる
地盤凍結して凍結土層を形成することがある
： ∃ｘ 女性（ｘ）→美しい（ｘ）
： ∃ｘ 哺乳動物（ｘ）→冬眠（ｘ）
： ∃ｘ 地盤凍結→凍結土層形成（ｘ）
赤い（リンゴ）
大きい（リンゴ，サクランボ）
白っぽい（花崗岩）
地盤（厠橋変電所，沖積シルト）
（例２）
全ての ………………………………………………………………… である
個体（ｘ）に対して ｘが本みかげ
ならば ｘは花崗岩
∀ ｘ
本みかげ（ｘ）
→
花崗岩（ｘ）
ある …………………………………………………………………… ことがある
個体（ｘ）に対して ｘが地盤凍結する
ならば ｘは凍結土層を形成
∃ ｘ
地盤凍結（ｘ）
→
凍結土層形成（ｘ）
節形式の必要性
推論規則
∀ｘ Φ（ｘ）のとき
任意の個体Ａに対して
Φ（Ａ）とすることができる
（例）
∀ｘ 人間（ｘ）→動物（ｘ）
個体“淳子”に対して
人間（淳子）→動物（淳子）
とすることができる
節（Clause）形式
• リテラル(Literal) :素命題または素命題の否定
• 節(Clause)
:リテラルまたはリテラルの選言
（例） P(x)∪～Q（ｘ，ｆ（ｘ））∪R（ｘ，ｙ）
• 節形式の命題 :
（例） （∀ｘ１）（∀ｘ２）……（ ∀ｘｎ ）［ Ｃ１∩Ｃ２∩……Ｃｎ ]
• 否定形式
:
（例） ～｛（∀ｘ）Ｐ（ｘ）｝≡ （∃ｘ）～Ｐ（ｘ）
～｛（∃ｘ）Ｐ（ｘ）｝≡ （∀ｘ）～Ｐ（ｘ）
｛全ての鳥（ｘ）が飛べる｝わけではない≡飛べない鳥（ｘ）が存在する
｛冬眠する犬（ｘ）が存在する｝わけがない≡全ての犬（ｘ）は冬眠しない
任意の式の節形式への変換
①P→Qを～P∪Qに、A≡Bを（～A∪B）∩（～B∪A）に変換。
②変数の標準化
（例）（∀ｘ）［～Ｐ（ｘ）∪（∃ｘ）Ｑ（ｘ）］における∀ｘ と ｘ の ｘ は別の変数を表している
ので、例えば（∀ｘ）［～Ｐ（ｘ）∪（∃ｙ）Ｑ（ｙ）］とする。
③否定の範囲を縮小
（例）～（∀ｘ）［Ｐ∩～（Ｑ∩Ｒ）］を（∃ｘ）［～Ｐ∪（Ｑ∩Ｒ）］とする。
④存在記号を除去
（例）（∀ｘ）（∃ｙ）Ｐ（ｘ，ｙ）は、いかなるｘに対しても、ｘが決まればＰ（ｘ，ｙ）を満足す
る ｙ が存在するという意味であるため、 ｙはｘの関数とみなすことができる。
従って（∀ｘ）Ｐ（ｘ，ｆ（ｘ））と書き直す。
⑤全称記号を前に出す
（例）（∀ｘ）［Ｐ（ｘ）∪（∀ｙ）～Ｑ（ｙ）］を、 （∀ｘ） （∀ｙ） ［Ｐ（ｘ）∪～Ｑ（ｙ）］とする。
⑥連言標準形に変換
（例）（Ａ∩Ｂ）∪（Ｂ∩Ｃ）は、（Ａ∪Ｂ）∩（Ｂ∪Ｃ）∩ Ｂ ∩（Ａ∪Ｃ）、
すなわち（Ａ∪Ｂ）∩（Ｂ∪Ｃ）∩（Ａ∪Ｃ）とする
演習
• 次の命題を節形式に直せ
（∀ｘ）（∃ｙ）Ｐ（ｘ，ｙ）∩（∀ｙ）（∀ｚ）［Ｐ（ａ，ｙ）→～Ｑ（ｙ，ｚ）］
→（∀ｕ）（∃ｗ）Ｑ（ｕ，ｗ）
①～（（∀ｘ）（∃ｙ）Ｐ（ｘ，ｙ）∩（∀ｙ）（∀ｚ）［～Ｐ（ａ，ｙ）∪～Ｑ（ｙ，ｚ）］）∪（∀ｕ）（∃ｗ）Ｑ（ｕ，ｗ）
②～（∀ｘ）（∃ｙ）Ｐ（ｘ，ｙ）∪～（∀ｙ）（∀ｚ）［～Ｐ（ａ，ｙ）∪～Ｑ（ｙ，ｚ）］∪（∀ｕ）（∃ｗ）Ｑ（ｕ，ｗ）
③（∃ｘ）（∀ｙ）～Ｐ（ｘ，ｙ）∪（∃ｙ）（∃ｚ）｛～［～Ｐ（ａ，ｙ）∪～Ｑ（ｙ，ｚ）］｝∪（∀ｕ）（∃ｗ）Ｑ（ｕ，ｗ）
④（∃ｘ）（∀ｙ）～Ｐ（ｘ，ｙ）∪（∃ｙ）（∃ｚ）［Ｐ（ａ，ｙ）∩Ｑ（ｙ，ｚ）］｝∪（∀ｕ）（∃ｗ）Ｑ（ｕ，ｗ）
⑤～Ｐ（ｂ，ｙ）∪［Ｐ（ａ，ｃ）∩Ｑ（ｃ，ｆ（ｃ））］｝∪Ｑ（ｕ，ｇ（ｕ））
⑥［～Ｐ（ｂ，ｙ）∪Ｐ（ａ，ｃ）∪Ｑ（ｕ，ｇ（ｕ））］∩［ ～Ｐ（ｂ，ｙ）∪Ｑ（ｃ，ｆ（ｃ））］｝∪Ｑ（ｕ，ｇ（ｕ））］
一階述語論理
(Lower Predicate Calculus)
• 変数の出現を述語の引数にしか認めない
述語変数を認める（例∀ｐ ｐ（Ａ））ものを２階述語論理、ｎ階の述
語論理を許す論理をｎ＋１階述語論理と呼ぶ。
• 関数の考え方
引数に対して「関数」を適用させ、結果を返す。
人間（父（淳子））
→ 動物（父（淳子））
関数 父（淳子） の結果が貞夫である場合
人間（貞夫）
→ 動物（貞夫）
• 等価の述語（個体間の関係での等価）
全ての述語に対して
Ｐ（Ｘ） ≡
Ｐ（Ｙ）
ｆ（Ｘ）
≡
ｆ（Ｙ）
のときに限り
Ｘ＝Ｙ とみなす。
色々な論理
•
•
•
•
•
•
•
命題論理と述語論理
古典論理と直感主義理論（Ｐ∪～Ｐは必ずしもそうではない）
様相論理（Modal Logic : 可能性や必然性を示す論理記号を導入）
非単調論理（Non-monotonic Logic : 不完全な情報に対応）
時相論理（Temporal Logic : 時間の経過の表現）
多ソート論理（Many Sorted Logic : 述語論理に概念間の階層構造）
多層論理（Many Layered Logic : 多ソート論理に巾集合の概念を導入）
巾集合 ： ある集合の全ての部分集合の集合
（例）全ての点の集合の巾集合は線分の集合
• 多値論理（真偽の２値に未知を加えて3値にしたもの、０から１の間
の任意の値をとるファジー論理）