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円運動 円周上の運動
等速円運動 速さが一定の円運動
円の半径 r
中心角 q
円弧 x = r q
角速度
単位時間に進む中心角
角速度 w
速さ v = r w
単位時間当りの回転数 f
周期 T
Tf= 1
速さ v = 2pr /T = 2prf
rw = 2prf
角速度 w = 2pf
時刻t
x 単位
q
r
時間
w
v
半径r 角速度w 速さv = rw
円の半径 r
中心角 q
円弧 x = r q
角速度
単位時間に進む中心角
角速度 w
速さ v = r w
単位時間当りの回転数 f
周期 T
Tf= 1
速さ v = 2pr /T = 2prf
角速度 w = 2pf
等速円運動物体の加速度
半径r 角速度w 速さv = rw
等速円運動物体の加速度
半径r 角速度w 速さv = rw
運動に伴って速度ベクトルも
方向が変わる
速度
ベクトル
半径r 角速度w 速さv = rw
等速円運動物体の加速度
運動に伴って速度ベクトルも
方向が変わる
速度ベクトルの
変化を見るため
始点を一点に集めてみよう。
このような図をホドグラフという。
ホドグラフ
速度ベクトル
の始点を
一点に集め
たもの
速度
ベクトル
等速円運動物体の加速度
半径r 角速度w 速さv = rw
速度
ベクトル
物体が一周する間に
ホドグラフのベクトルも
一回転する。
ホドグラフ
速度ベクトル
の始点を
一点に集め
たもの
等速円運動物体の加速度
半径r 角速度w 速さv = rw
速度
ベクトル
物体が一周する間に
ホドグラフのベクトルも
一回転する。
同時に見ると
ホドグラフ
速度ベクトル
の始点を
一点に集め
たもの
半径r 角速度w 速さv = rw
等速円運動物体の加速度
速度の変化の割合 =加速度
加速度の大きさ
2 /r
2 = vv
a = v w = rww
単位
時間
w
v
w
r
a = vw
ホドグラフ
速度ベクトル
の始点を
一点に集め
たもの
a
wv
半径r 角速度w 速さv = rw
等速円運動物体の加速度
速度の変化の割合 =加速度
加速度の大きさ
a = v w = rw 2 = v 2 /r
加速度ベクトルa a ⊥ v ⊥r
a//r
位置ベクトルr
向心加速度 a = - rw2
ホドグラフ
速度ベクトル
の始点を
一点に集め
たもの
単位
時間
w
v
w a
r
a
a
v⊥ r
a⊥ v
wv
等速円運動物体の加速度
半径r 角速度w 速さv = rw
速度の変化の割合 =加速度
加速度の大きさ
a = v w = rw 2 = v 2 /r
w
w a
加速度ベクトルa a ⊥ v ⊥r
a//r
位置ベクトルr
向心加速度 a = - rw2
例 速さv=10m/sの自動車が
半径r=20mのカーブを走る。
角速度 w = v /r = 0.5/s
向心加速度 a =
v2/r
=5.0m/s2
r
向心加速度
a
角速度 w
単位
時間
v
等速円運動物体の加速度
速度の変化の割合 =加速度
加速度の大きさ
a = v w = rw 2 = v 2 /r
加速度ベクトルa a ⊥ v ⊥r
a//r
位置ベクトルr
向心加速度 a = - rw2
例 速さv=10m/sの自動車が
半径r=20mのカーブを走る。
角速度 w = v /r = 0.5/s
向心加速度 a =
v2/r
=5.0m/s2
半径r 角速度w 速さv = rw
向心加速度 a=-rw2
a=vw=rw2=v2/r
v v
w a
a⊥v⊥r
r
v
w a
r
向心加速度
a
角速度 w
半径r 角速度w 速さv = rw
向心加速度 a=-rw2
向心力F 張力、 引力、
a=vw=rw2=v2/r
v
v
拘束力、 摩擦力 等
w a
a⊥v⊥r
r
物体の質量m
向心力F 質量m
F
運動方程式 力=質量×加速度 運動方程式 F =mrw2=mv2/r
等速円運動の運動方程式
F = ma = m rw2 = mv2/r
例 速さv=10m/sの自動車が
半径r=20mのカーブを走る。
角速度 w = v /r = 0.5/s
向心加速度 a =
v2/r
=5.0m/s2
路面が水平なら、向心力は
ハンドルを切ったときの
路面からの摩擦力による。
向心加速度
a
角速度 w
向心力の大きさは F = ma = m v2/r = 4000N
F
水平面内の円運動物体の傾き 半径r 角速度w 速さv = rw
向心加速度 a=-rw2
例 速さv=10m/sの自動車が
a=vw=rw2=v2/r
v v
半径r=20mのカーブを走る。
w a
a⊥v⊥r
路面が傾いているため、
r
向心力F 質量m
F
摩擦なしにカーブしている。 運動方程式
F =mrw2=mv2/r
路面の傾きqはいくらか。
例 速さv=10m/sの自動車が
半径r=20mのカーブを走る。
角速度 w = v /r = 0.5/s
向心加速度 a =
v2/r
=5.0m/s2
路面が水平なら、向心力は
ハンドルを切ったときの
路面からの摩擦力による。
向心加速度
a
角速度 w
向心力の大きさは F = ma = m v2/r = 4000N
F
水平面内の円運動物体の傾き 半径r 角速度w 速さv = rw
向心加速度 a=-rw2
例 速さv=10m/sの自動車が
a=vw=rw2=v2/r
v v
半径r=20mのカーブを走る。
w a
a⊥v⊥r
路面が傾いているため、
r
向心力F 質量m
F
摩擦なしにカーブしている。 運動方程式
F =mrw2=mv2/r
路面の傾きqはいくらか。
向心力は重力と垂直抗力の合力
質量m、重力加速度をgとする。
図より、向心力は mg tanq
運動方程式 mg tanq = m v2/r
∴ tanq = v2/rg = 0.510
q = 27°
q
q mg
遠心力
円運動する物体上から見ると
円の中心から遠ざかる方向に 見かけの力が働く。
この見かけの力を遠心力という。
遠心力の大きさ = 外から見た向心力の大きさ
遠心力の方向 = 外から見た向心力と反対
物体上から見るとき
外から見るとき
見る人
自動車は向心力と遠心力
を受けて釣り合って静止
自動車は向心力を
受けて円運動
人は遠心力を受けて運動
中の人は慣性で直線運動
半径r 角速度w 速さv = rw
2
a
=
r
w
向心加速度
人工衛星の質量をm 速さをv
2 = v2/r
a
v
w
=
w
=r
人工衛星軌道半径をx
v v
w a
a
v⊥
r
⊥
地球の質量をM 半径をR
r
質量m 力F
F
万有引力定数をGとする。
運動方程式 F = m v2/r
人工衛星
v 2 GmM
=
より v =
運動方程式 m
2
x
x
GmM
= mg を使うと
地上での
v =
2
R
地表に近い軌道なら x=R
周期
GM
x
g
R
x
v = gR = 7.9 103 m/s
2pR
3
T=
= 5.06 10 s = 84min
v
円運動の座標による記述
y
v
a
r
q
力F
x
時間をt とする
中心角 q = w t
座標 x = r cosq = r cosw t
y = r sinq = r sinw t
速度
vx = -w r sinw t
vy = w r cosw t
-w2
r cosw t
加速度 ax =
ay = -w2 r sinw t
半径r 角速度w 速さv = rw
向心加速度 a = -rw2
a = vw =rw2 = v2/r
v v
w a
a⊥ v⊥ r
r
質量m 力F
F
運動方程式 F = m v2/r
v⊥ r
v = rw
a⊥ v
a = -rw2
a = rw2