Transcript 近似式（微分の応用→数学Ⅲ）

高等学校 数学Ⅲ
近似式の応用
津波の伝わる速さの公式
三陸沿岸に突然来た津波
１９６０年（昭和３５年）５月２４日午前４時
太平洋岸全域で被害
津波は最大5～6メートル
家屋全壊流失2800棟
岩手県大船市：津波の最大被害
死者53人
日本全体で125人死亡
当時、過去最大の被害となった・・・
この津波の三陸沿岸の被害
家屋の全壊 １７戸
道路の損壊 ４ヶ所
半壊 ３５戸
橋の流出
１ヶ所
流出 ２戸
堤防の決壊 ２７ヶ所
床上 浸水 ６１７戸 鉄軌道被害 ２Km
床下 浸水 ３１９戸 船舶の被害 ７２隻
非住宅被害 １１２戸 建物・船舶を除く被害総額７億５千万円
この津波はどのようにして起きたか？
• 南アメリカのチリで起きた超巨大地震が原因
• このチリでの地震（観測史上最大：M9.5）が津波
を起こし、その津波が太平洋を横断し、
イースター島のモアイをも倒し、地球の
裏側の日本に達し、大きな被害をもたらした。
質問：この津波はチリ地震がおきてか
ら何時間後に日本に到達したか？
• チリから日本までの距離はｄ＝１７０００Ｋｍ
• 近似式により津波の“時速ｖ”を求める
• チリ地震が発生した時刻は
１７０００／ｖ
時間前
• 津波の速さｖの公式はｖ＝√ｇｈ
ｇは重力加速度9.8、ｈは平均水深（2４00ｍ）
津波の平均的早さＶは
V＝√9.8×2400＝５５2m/s
＝552km/ｈ
従って、チリ地震が発生したのは
１７０００／V＝１７０００／５５２＝３０時間
と推定される！
実際は２６時間位前だった！
質問
では何故、津波の速さVが
V＝√ｇｈで与えられるか？
• 津波は地震などによって起こり、海底まで動く波（長
波）である
• この波の速さｖと水深ｈとの関係を「断面積と速さの
関係」で定式化する
・・・・①
• ベルヌーイの原理関係式・・・・②
• ①と②を連立させて 速さV= の式を作る。
Vh=V’(h+y) より V’=V／（１－ｙ／ｈ）・・・
• ベルヌーイの原理ｐは密度
0.5ｐV‘２＋ｐｇｙ=0.5ｐV２・・・②
①を②に代入して
Ｖ２（１－ｙ／ｈ）２＋２ｇｙ＝Ｖ２
から２次の項（ｙ／ｈ）２を無視
して変形すると
V＝√ｇｈ
①
近似式（微分の応用→数学Ⅲ）
• ｜ｈ｜が十分小さいとき、
ｆ（ａ＋ｈ）≒ｆ（ａ）＋ｈｆ’（ａ）
が成立する
特に｜ｒ｜の値が十分小さいとき
１
≒１－ｒ
（１＋ｒ）