電子物性第1スライド10-1 電子物性第1 第10回 ー格子振動と熱ー 目次 ２ ３ ４ ５ はじめに 格子の変位 原子間の復元力 振動の波 ６ 周波数の分離 ７ 音響フォノンと光学フォノン ８ まとめ 格子の変位 電子物性第1 第10回 －格子振動と熱－ 質量Mとmの2種原子からなる結晶を仮定する。 各原子の変位を、 a 質量Mの原子、u1、u3、... 質量M 瞬間の原子位置 質量mの原子、u2、u4、... と表す。 u 2 N -1 u 2 N +1 u 2N u 2 N +2 原子の格子位置 振動の波 はじめに 質量m e iK x 電子物性第1スライド10-2 Na (N + )a x (N +
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Slide 1
電子物性第1スライド10-1
電子物性第1 第10回
ー格子振動と熱ー
目次
２
３
４
５
はじめに
格子の変位
原子間の復元力
振動の波
６ 周波数の分離
７ 音響フォノンと光学フォノン
８ まとめ
Slide 2
格子の変位
電子物性第1 第10回
－格子振動と熱－
質量Mとmの2種原子からなる結晶を仮定する。
各原子の変位を、
a
質量Mの原子、u1、u3、...
質量M
瞬間の原子位置
質量mの原子、u2、u4、...
と表す。
u 2 N -1
u 2 N +1
u 2N
u 2 N +2
原子の格子位置
振動の波
はじめに
質量m
e
iK x
電子物性第1スライド10-2
Na
(N +
1
)a
2
x
(N + 1 )a
固体（結晶など）中の原子は熱のため振動している。
周りの原子と力を及ぼしあって振動 ⇒格子振動
格子振動（波の性質）が熱を伝える。
格子振動が電気伝導に影響する。
格子振動の様式（２つある）について考える。
① 結晶の格子の振動の様式について考える。
Slide 3
原子間の復元力
はじめに
固体（結晶など）中の原子は熱のため振動している。
周りの原子と力を及ぼしあって振動
⇒格子振動
格子振動（波の性質）が熱を伝える。
格子振動が電気伝導に影響する。
隣の原子との間で変位の差に比例する力を受けるとして、
力は、 d 2 u
右との変位差
左との変位差
2 N 1
M
(u 2 N 2 u 2 N 1 ) (u 2 N u 2 N 1 )
2
dt バネ定数
加速度
バネ定数
2
格子振動の様式（２つある）について考える。
m
d u2N
dt
2
(u 2 N 1 u 2 N ) (u 2 N 1 u 2 N )
電子物性第1スライド10-3
格子の変位
質量Mとmの2種原子からなる結晶を仮定する。
各原子の変位を、
a
① 格子の変位を場所によって表そう。
質量M
質量m
瞬間の原子位置
u 2 N -1
u 2 N +1
u 2N
u 2 N +2
原子の格子位置
振動の波
質量Mの原子、u1、u3、...
質量mの原子、u2、u4、...
と表す。
e
iK x
Na
(N +
1
)a
2
x
(N + 1 )a
Slide 4
振動の波
格子の変位
格子振動の波（波数K）を考え、
各原子の変位は、 時間の波
質量Mとmの2種原子からなる結晶を仮定する。
各原子の変位を、
質量mの原子、u2、u4、...
と表す。
振動の波
瞬間の原子位置
u2 N 1 Ae空間の波
原子の格子位置
a
i K ( 2 N ) t
2
質量m
u 2 N -1
e
u 2 N +1
u 2N
瞬間の原子位置
u 2 N -1
u 2 N +1
u 2N
u 2 N +2
u 2 N +2
u2 N Be
原子の格子位置
振動の波
質量M
質量m
a
i K ( 2 N 1) t
2
a
質量Mの原子、u1、u3、...
a
質量M
e
iK x
Na
(N +
1
)a
2
x
(N + 1 )a
iK x
電子物性第1スライド10-4
原子間の復元力
Na
(N +
1
)a
2
x
(N + 1 )a
隣の原子との間で変位の差に比例する力を受けるとして、
力は、 d 2 u
右との変位差 左との変位差
2 N 1
M
dt
加速度
2
(u 2 N 2 u 2 N 1 ) (u 2 N u 2 N 1 )
バネ定数
バネ定数
2
m
d u2N
dt
2
(u 2 N 1 u 2 N ) (u 2 N 1 u 2 N )
① 隣の原子と変位の差に比例する復元力。
Slide 5
原子間の復元力
周波数の分離
隣の原子との間で変位の差に比例する力を受けるとして、
力は、 d 2 u
右との変位差
左との変位差
2 N 1
M
(u 2 N 2 u 2 N 1 ) (u 2 N u 2 N 1 )
2
dt バネ定数
加速度
バネ定数
振動（振幅A、B）が存在する条件は、
振動の周波数
m
d u2N
dt
2
1
2
が特定の値。 M
2
(u 2 N 1 u 2 N ) (u 2 N 1 u 2 N )
2
1
1
1
m
m
M
2
Mm
質量m
瞬間の原子位置
u 2 N -1
u 2 N +1
u 2N
u 2 N +2
a
i K ( 2 N 1) t
2
① 空間の波と時間の波で考えよう。
Ka
a
質量M
原子の格子位置
振動の波
u2 N Be
2
電子物性第1スライド10-5
格子振動の波（波数K）を考え、
各原子の変位は、 時間の波
a
i K ( 2 N ) t
2
4 sin
複号のため２種類ある。
振動の波
u2 N 1 Ae 空間の波
Kの関数。
e
iK x
Na
(N +
1
)a
2
x
(N + 1 )a
Slide 6
音響フォノンと光学フォノン
a
格子振動の波（波数K）を考え、
各原子の変位は、 時間の波
質量M
質量m
瞬間の原子位置
u 2 N -1
u 2 N +1
u 2N
u 2 N +2
i K ( 2 N 1) t
2
原子の格子位置
a
u2 N Be
振動の波
u2 N 1 Ae空間の波
a
i K ( 2 N ) t
2
e
iK x
Na
(N +
1
)a
2
x
(N + 1 )a
波数Kに対し、角周波数ω
が2つある。 E = hωから、
エネルギーが2種類
音響フォノン
光学フォノン
の２つに分かれる。
振動（振幅A、B）が存在する条件は、
1
2
が特定の値。 M
音響フ ォ ノ ン の
と れる エネルギ ー
0
波数K
1
1
1
m
m
M
4 sin
2
Ka
2
Mm
複号のため２種類ある。
① 計算すると、振動数は、2つに分かれる。
a
Kの関数。
2
音響様式
電子物性第1スライド10-6
周波数の分離
振動の周波数
光学フ ォ ノ ン の
と れる エネルギ ー
光学様式
ま た は エ ネ ルギ ー
振動の波
Slide 7
まとめ
周波数の分離
振動（振幅A、B）が存在する条件は、
振動の周波数
1
2
が特定の値。 M
Kの関数。
2
格子の振動も一種の量子（1個、2個と数えられる）。
1
1
1
m
m
M
4 sin
2
光学フォノンは、ある値以上のエネルギーをもつ。
Ka
（光との相互作用もあって重要）
2
フォノンの伝播は熱伝導（特に絶縁体で重要）に寄与。
Mm
（きれいな格子ほどよく伝わる。）
複号のため２種類ある。
電子物性第1スライド10-7
音響フォノンと光学フォノン
① 音響フォノンと光学フォノンと呼ばれる。
光学フ ォ ノ ン の
と れる エネルギ ー
光学様式
ま た は エ ネ ルギ ー
波数Kに対し、角周波数ω
が2つある。 E = hω から、
エネルギーが2種類
音響フォノン
光学フォノン
の２つに分かれる。
音響様式
音響フ ォ ノ ン の
と れる エネルギ ー
0
波数K
a
Slide 8
音響フォノンと光学フォノン
光学フ ォ ノ ン の
と れる エネルギ ー
光学様式
ま た は エ ネ ルギ ー
波数Kに対し、角周波数ω
が2つある。 E = hωから、
エネルギーが2種類
音響フォノン
光学フォノン
の２つに分かれる。
スライドを終了します。
音響様式
音響フ ォ ノ ン の
と れる エネルギ ー
0
波数K
a
まとめ
電子物性第1スライド10-8
格子の振動も一種の量子（1個、2個と数えられる）。
光学フォノンは、ある値以上のエネルギーをもつ。
（光との相互作用もあって重要）
フォノンの伝播は熱伝導（特に絶縁体で重要）に寄与。
（きれいな格子ほどよく伝わる。）
① 光学フォノンが重要。フォノンによる熱伝導もある。
電子物性第1スライド10-1
電子物性第1 第10回
ー格子振動と熱ー
目次
２
３
４
５
はじめに
格子の変位
原子間の復元力
振動の波
６ 周波数の分離
７ 音響フォノンと光学フォノン
８ まとめ
Slide 2
格子の変位
電子物性第1 第10回
－格子振動と熱－
質量Mとmの2種原子からなる結晶を仮定する。
各原子の変位を、
a
質量Mの原子、u1、u3、...
質量M
瞬間の原子位置
質量mの原子、u2、u4、...
と表す。
u 2 N -1
u 2 N +1
u 2N
u 2 N +2
原子の格子位置
振動の波
はじめに
質量m
e
iK x
電子物性第1スライド10-2
Na
(N +
1
)a
2
x
(N + 1 )a
固体（結晶など）中の原子は熱のため振動している。
周りの原子と力を及ぼしあって振動 ⇒格子振動
格子振動（波の性質）が熱を伝える。
格子振動が電気伝導に影響する。
格子振動の様式（２つある）について考える。
① 結晶の格子の振動の様式について考える。
Slide 3
原子間の復元力
はじめに
固体（結晶など）中の原子は熱のため振動している。
周りの原子と力を及ぼしあって振動
⇒格子振動
格子振動（波の性質）が熱を伝える。
格子振動が電気伝導に影響する。
隣の原子との間で変位の差に比例する力を受けるとして、
力は、 d 2 u
右との変位差
左との変位差
2 N 1
M
(u 2 N 2 u 2 N 1 ) (u 2 N u 2 N 1 )
2
dt バネ定数
加速度
バネ定数
2
格子振動の様式（２つある）について考える。
m
d u2N
dt
2
(u 2 N 1 u 2 N ) (u 2 N 1 u 2 N )
電子物性第1スライド10-3
格子の変位
質量Mとmの2種原子からなる結晶を仮定する。
各原子の変位を、
a
① 格子の変位を場所によって表そう。
質量M
質量m
瞬間の原子位置
u 2 N -1
u 2 N +1
u 2N
u 2 N +2
原子の格子位置
振動の波
質量Mの原子、u1、u3、...
質量mの原子、u2、u4、...
と表す。
e
iK x
Na
(N +
1
)a
2
x
(N + 1 )a
Slide 4
振動の波
格子の変位
格子振動の波（波数K）を考え、
各原子の変位は、 時間の波
質量Mとmの2種原子からなる結晶を仮定する。
各原子の変位を、
質量mの原子、u2、u4、...
と表す。
振動の波
瞬間の原子位置
u2 N 1 Ae空間の波
原子の格子位置
a
i K ( 2 N ) t
2
質量m
u 2 N -1
e
u 2 N +1
u 2N
瞬間の原子位置
u 2 N -1
u 2 N +1
u 2N
u 2 N +2
u 2 N +2
u2 N Be
原子の格子位置
振動の波
質量M
質量m
a
i K ( 2 N 1) t
2
a
質量Mの原子、u1、u3、...
a
質量M
e
iK x
Na
(N +
1
)a
2
x
(N + 1 )a
iK x
電子物性第1スライド10-4
原子間の復元力
Na
(N +
1
)a
2
x
(N + 1 )a
隣の原子との間で変位の差に比例する力を受けるとして、
力は、 d 2 u
右との変位差 左との変位差
2 N 1
M
dt
加速度
2
(u 2 N 2 u 2 N 1 ) (u 2 N u 2 N 1 )
バネ定数
バネ定数
2
m
d u2N
dt
2
(u 2 N 1 u 2 N ) (u 2 N 1 u 2 N )
① 隣の原子と変位の差に比例する復元力。
Slide 5
原子間の復元力
周波数の分離
隣の原子との間で変位の差に比例する力を受けるとして、
力は、 d 2 u
右との変位差
左との変位差
2 N 1
M
(u 2 N 2 u 2 N 1 ) (u 2 N u 2 N 1 )
2
dt バネ定数
加速度
バネ定数
振動（振幅A、B）が存在する条件は、
振動の周波数
m
d u2N
dt
2
1
2
が特定の値。 M
2
(u 2 N 1 u 2 N ) (u 2 N 1 u 2 N )
2
1
1
1
m
m
M
2
Mm
質量m
瞬間の原子位置
u 2 N -1
u 2 N +1
u 2N
u 2 N +2
a
i K ( 2 N 1) t
2
① 空間の波と時間の波で考えよう。
Ka
a
質量M
原子の格子位置
振動の波
u2 N Be
2
電子物性第1スライド10-5
格子振動の波（波数K）を考え、
各原子の変位は、 時間の波
a
i K ( 2 N ) t
2
4 sin
複号のため２種類ある。
振動の波
u2 N 1 Ae 空間の波
Kの関数。
e
iK x
Na
(N +
1
)a
2
x
(N + 1 )a
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音響フォノンと光学フォノン
a
格子振動の波（波数K）を考え、
各原子の変位は、 時間の波
質量M
質量m
瞬間の原子位置
u 2 N -1
u 2 N +1
u 2N
u 2 N +2
i K ( 2 N 1) t
2
原子の格子位置
a
u2 N Be
振動の波
u2 N 1 Ae空間の波
a
i K ( 2 N ) t
2
e
iK x
Na
(N +
1
)a
2
x
(N + 1 )a
波数Kに対し、角周波数ω
が2つある。 E = hωから、
エネルギーが2種類
音響フォノン
光学フォノン
の２つに分かれる。
振動（振幅A、B）が存在する条件は、
1
2
が特定の値。 M
音響フ ォ ノ ン の
と れる エネルギ ー
0
波数K
1
1
1
m
m
M
4 sin
2
Ka
2
Mm
複号のため２種類ある。
① 計算すると、振動数は、2つに分かれる。
a
Kの関数。
2
音響様式
電子物性第1スライド10-6
周波数の分離
振動の周波数
光学フ ォ ノ ン の
と れる エネルギ ー
光学様式
ま た は エ ネ ルギ ー
振動の波
Slide 7
まとめ
周波数の分離
振動（振幅A、B）が存在する条件は、
振動の周波数
1
2
が特定の値。 M
Kの関数。
2
格子の振動も一種の量子（1個、2個と数えられる）。
1
1
1
m
m
M
4 sin
2
光学フォノンは、ある値以上のエネルギーをもつ。
Ka
（光との相互作用もあって重要）
2
フォノンの伝播は熱伝導（特に絶縁体で重要）に寄与。
Mm
（きれいな格子ほどよく伝わる。）
複号のため２種類ある。
電子物性第1スライド10-7
音響フォノンと光学フォノン
① 音響フォノンと光学フォノンと呼ばれる。
光学フ ォ ノ ン の
と れる エネルギ ー
光学様式
ま た は エ ネ ルギ ー
波数Kに対し、角周波数ω
が2つある。 E = hω から、
エネルギーが2種類
音響フォノン
光学フォノン
の２つに分かれる。
音響様式
音響フ ォ ノ ン の
と れる エネルギ ー
0
波数K
a
Slide 8
音響フォノンと光学フォノン
光学フ ォ ノ ン の
と れる エネルギ ー
光学様式
ま た は エ ネ ルギ ー
波数Kに対し、角周波数ω
が2つある。 E = hωから、
エネルギーが2種類
音響フォノン
光学フォノン
の２つに分かれる。
スライドを終了します。
音響様式
音響フ ォ ノ ン の
と れる エネルギ ー
0
波数K
a
まとめ
電子物性第1スライド10-8
格子の振動も一種の量子（1個、2個と数えられる）。
光学フォノンは、ある値以上のエネルギーをもつ。
（光との相互作用もあって重要）
フォノンの伝播は熱伝導（特に絶縁体で重要）に寄与。
（きれいな格子ほどよく伝わる。）
① 光学フォノンが重要。フォノンによる熱伝導もある。