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ゲーム理論・ゲーム理論Ⅰ
（第６回）
第４章 戦略形ゲームの応用
2014年5月16日
担当 古川徹也
2014/05/16
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今日の講義
• 教科書第４章「戦略形ゲームの応用」
4.1
弱支配戦略と支配されないナッシュ均衡
4.2
4.3
4.4
支配された戦略の繰り返し削除
【応用】オークション
【実践】インターネットオークション
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（弱）支配とゲームの解
• 支配戦略がある場合は，それを選択する
と言うことが直ちに言える。
• ３つ以上戦略がある場合，支配戦略はな
かったとしても，ある戦略に支配される
戦略がある場合，支配される戦略を削除
することでゲームの解を絞り込むことが
できる。そのことを確認する。
• この考え方をオークションのモデルに応
用することを考える。
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4.1 弱支配戦略と
支配されないナッシュ均衡
4.1.1 戦略の支配関係
• 定義4.1（戦略の支配関係）
あるプレイヤーの2つの戦略xとyを比べた
ときに，自分以外のプレイヤーがどんな戦
略を選択しても，xのほうがyより高い利得
を与える場合，そのプレイヤーの戦略はxは
yを支配すると言う。
• 2つの戦略の間の関係であることに注意。
支配戦略とは異なる。
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図4.1 戦略の支配関係
２
１
x2
y2
z2
x1
（４，３） （３，１） （２，２）
y1
（３，２） （２，１） （１，１）
z1
（２，３） （１，２） （０，１）
・x1はy1を支配する。y1はz1を支配している。した
がって，x1はz1を支配している。
・x1は支配戦略である。
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図4.1 戦略の支配関係（続き）
２
１
x2
y2
z2
x1
（４，３） （３，１） （２，２）
y1
（３，２） （２，１） （１，１）
z1
（２，３） （１，２） （０，１）
・合理的なプレイヤーであれば支配される戦略を選
ばない。支配戦略があればそれを選択する。
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4.1.2
弱支配と弱支配戦略
定義4.2（戦略の弱支配関係）
あるプレイヤーの２つの戦略xとyを比べたとき
に，そのプレイヤー以外がどんな戦略を選んで
も，xの利得がy以上であり，なおかつ他のプレ
イヤーの少なくとも1つの選択に対してはxの利
得がyの利得より高いとき，そのプレイヤーの
戦略xは戦略yを弱支配すると言う。
・戦略xがyを支配するならば，xはyを弱支配す
るが，xがyを弱支配するとき，xがyを支配する
とは限らない。
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図4.2 弱支配関係
2
x2
y2
x1
（２，０）
（３，１）
y1
（１，１）
（３，０）
1
戦略x1は戦略y1を弱支配する。
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弱支配戦略
• 定義4.3（弱支配戦略）
あるプレイヤーの戦略xが他のすべての戦略
を弱支配するとき，そのプレイヤーの戦略x
を弱支配戦略と呼ぶ。
• 合理的なプレイヤーは，弱支配された戦
略を選択しないと考える。
• もし弱支配戦略があれば，それを選択す
る。
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4.1.3 支配されないナッシュ均衡と
ナッシュ均衡の精緻化（図4.3）
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x2
y2
x1
（２，１）
（３，０）
y1
（１，０）
（３，１）
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弱支配の考え方を利用すれば，ゲームの解
は(x1,x2)のみがもっともらしい。
しかし，ナッシュ均衡は(x1,x2)と(y1,y2)
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支配されないナッシュ均衡
• 定義4.4（支配されないナッシュ均衡）
ナッシュ均衡の中で，すべてのプレイヤー
の戦略がそのプレイヤーのどの戦略にも弱
支配されていないとき，そのナッシュ均衡
を支配されないナッシュ均衡と呼ぶ。
• ナッシュ均衡の中で，支配されないナッ
シュ均衡をゲームの解として考える。
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均衡の精緻化（refinement）
• ナッシュ均衡は，ゲームの解が持つべき
最低限の性質しか持っていないと考えら
れる。
• したがって，ナッシュ均衡の定義だけで
は，ゲームの種類によってはおかしな戦
略の組み合わせもナッシュ均衡として認
められてしまう。
• ナッシュ均衡の中から，より望ましいと
思われる性質をもつ戦略の組み合わせに
絞り込むことを，均衡の精緻化と呼ぶ。
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4.2 支配された戦略の繰り返し削除
• 「支配された戦略は合理的プレイヤーに
よって選択されない」ということを利用
して，大きなゲームを小さなゲームに変
形する。
• それを繰り返すことによって，唯一の戦
略の組み合わせに到達できれば，それを
ゲームの解と考えることができる（合理
的なプレイヤーがプレイした結果）。
• ただし，いつも唯一の戦略の組み合わせ
にたどりつけるわけではない。
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図4.5
支配された戦略の繰り返し削除（１）
２
１
x2
y2
z2
x1
（２，３） （２，１） （１，２）
y1
（１，２） （１，６） （８，１）
x2がz2を支配する→z2を削除
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図4.5
支配された戦略の繰り返し削除（２）
２
１
x2
y2
x1
（２，３） （２，１）
y1
（１，２） （１，６）
x1がy1を支配する→y1を削除
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図4.5
支配された戦略の繰り返し削除（３）
２
１
x1
x2
y2
（２，３） （２，１）
x2がy2を支配する→y2を削除
唯一残る組み合わせは(x1,x2)
これはもとのゲームの唯一のナッシュ均衡とも
なっている。
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(x1,x2)がナッシュ均衡であることの確認
２
１
x2
y2
z2
x1
（２，３） （２，１） （１，２）
y1
（１，２） （１，６） （８，１）
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図4.6
弱支配された戦略の繰り返し削除（１－１）
２
x2
y2
x1
（8，３）
（0，３）
y1
（4，２）
（0，１）
z1
（8，１）
（－８，２）
１
x1がz1を弱支配する→z1を削除
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図4.6
弱支配された戦略の繰り返し削除（１－２）
２
x2
y2
x1
（8，３）
（0，３）
y1
（4，２）
（0，１）
１
x2がy2を弱支配する→y2を削除
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図4.6
弱支配された戦略の繰り返し削除（１－３）
２
１
x2
x1
（8，３）
y1
（4，２）
x1がy1を支配する→y1を削除
残るのは(x1,x2)
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図4.6
弱支配された戦略の繰り返し削除（２－１）
２
x2
y2
x1
（8，３）
（0，３）
y1
（4，２）
（0，１）
z1
（8，１）
（－８，２）
１
x1がy1を弱支配する→y1を削除
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図4.6
弱支配された戦略の繰り返し削除（２－２）
２
x2
y2
x1
（8，３）
（0，３）
z1
（8，１）
（－８，２）
１
y2がx2を弱支配する→x2を削除
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図4.6
弱支配された戦略の繰り返し削除（２－３）
２
１
y2
x1
（0，３）
z1
（－８，２）
x1がz1を支配する→z1を削除
(x1,y2)がゲームの解
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図4.6のナッシュ均衡
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x2
y2
x1
（8，３）
（0，３）
y1
（4，２）
（0，１）
z1
（8，１）
（－８，２）
１
(x1,x2)，(x1,y2)がナッシュ均衡
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均衡の精緻化と今日の議論
• ナッシュ均衡の条件だけでは，ゲームの
解が複数出てくる可能性がある。これは
予測として問題がある。
• そこで，ナッシュ均衡の条件以外の要件
を付け加え，その要件「も」満たす解は
ないかを考えるのが均衡の精緻化。
• 「（弱）支配される戦略の繰り返し削除
でも生き残る」という要件を加えて考え
たのが今日の議論。
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「繰り返し削除」でわかること
• 「支配される戦略の繰り返し削除」で絞り込
みが成功するとは限らない（そのような戦略
がないゲームもたくさんあるから）
• 「（強い意味の）支配される戦略の繰り返し
削除」によって唯一の解が得られた場合，そ
れはもともと唯一のナッシュ均衡として得ら
れるものだから，絞り込みという観点からは
弱い。
• 「弱支配される戦略の繰り返し削除」で唯一
の解が得られた場合，それは複数のナッシュ
均衡からの絞り込みとなっている。しかし，
削除の順番で別のナッシュ均衡にたどり着く
ことがある，という問題点を抱えている。
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確認：今日の議論の意味
• 戦略的相互依存関係が存在する合理的な主体
（プレイヤー）の間で「ゲーム」が行われた
ときに，どのような状況が起こるかを予測す
ることが，ゲームを解くと言うこと。
• ゲームの解が満たすべき条件の基本がナッ
シュ均衡の条件。
• ナッシュ均衡の条件だけでは予測として弱い
可能性があるので，新しい条件を付け加えた
解を考える必要がある。
• 今日の「繰り返し削除」は，合理的なプレイ
ヤーの間のゲームの解が満たすべき要件の１
つの例。
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