Transcript スカラーポテンシャル

B

  E  
  j B

t
   D  
2009年度 電磁波工学
スカラーポテンシャル，ベクトルポテンシャル
静電磁界（Static-Electromagnetic Field） → 時間変化の無い(静的)な電磁界
Maxwell の方程式で電磁界の時
間依存性が無い場合　  E  0

  D     E  
  E  0なので渦なし･･･
  H  i

  B     H  0
  H  0なので発散なし･･･

D
t
 0,
B
t
0
ル
(1)
静電界
(2)
静磁界
31
(13 )
D

  H  i 
 i  j D

t
   B  0
E はラメラーベクトル
H はソレノイダルベクト
(12 )
(14 )
(15 )
［ヘルムホルツの定理］
あるベクトルwは，その回転と発散が空間の関数として与えられるとラメラー成分u
とソレノイダル成分vの和に書ける。
w uv
w uv

(3)
    ' w
u     
dV ' ラメラー
( イローテショナル
; 渦なし ) ベクトル
   4  r  r'
    ' w
v    
dV ' ソレノイダル
(ダイバージェンスレス
; 発散なし
   4  r  r'
) ベクトル
(5)
v  0
  w    u  v     u    v    u
A
[ ベクトル公式
u  0
(4)
 v    A    v      A   0
]
      0
(6)
    A   0
(7 )
  w    u  v     u    v    v
 u       u        0
2009年度 電磁波工学
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 ラメラーベクトルなの
で渦なし
(8 )
  E  0なので
 1   D

   E

V  
dV '     
dV '    
dV ' ( 9 ) V  スカラーポテンシャル



4

r

r'
4

r

r'
4

r

r'


A  ベクトルポテンシャル

1
w  H    A ソレノイダルベクトル
なので発散なし
(10 ) ※　A は，   A および   A を定めると
w  E   V

一意的に決まる。
i
   H

A   
dV '    
dV '
   4  r  r'
   4  r  r'
(11 )
( ヘルムホルツの定理よ
  H  0なので
（動）電磁界（Dynamic-Electromagnetic Field）のMaxwellの方程式 → 時間的に変化する電磁界
B

  E  
  j B

t
   D  
(12 )
(13 )
D

  H  i 
 i  j D

t
   B  0
フェザーを利用して，
(14 )

t
 j  とする。
(15 )
式(12)の両辺発散をとると，
    E       j  B 
式 (15) より，
B A
  B  0なので，

H 
1

B はソレノイダルベクト
A
(17 )
式 (17) を式 (12) へ代入し整理すると，
  E  j  A   0
(18 )
(16 )
ルとなり，式
& B  H
次のように書ける。
 j  B  j    A    j  A より，
(10) の定義を用いると次の
ように書ける。
り)
2009年度 電磁波工学
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式(18)より，E  j  A は回転(rot)が0なので，ラメラー(渦なし）ベクトルとなり，式(8)の定義と同様に次のように書ける。
E  j  A   V
よって，
(1 9 )
Eについて解くと次のよ
うになる。
D

  H  i 
 i  j  D (14 )
この時のＡおよびVを

t
   B  ローレンツゲージにおける
0
(15 )
E   j  A   V  D   E     j  A   V  ( 20 )
式(17)および(20)を，Maxwellの方程式(14)へ代入すると
H 
1

    A  j    j  A   V   i
   A     A     A  j   V   i ,
2
2
  A  k A     A  j  V     i
2
2
A は，   A と   A を定めれば一意的に決
ここで，
  A  B としたが，
  A  j  V  0
が成り立つように置く
ベクトルポテンシャルおよび
1 スカラーポテンシャル
H  と呼ぶ。
  A (17 )
( 21 )
k
2
  
2

( 22 )
まる。 ( ヘルムホルツの定理
  A に関しては，まだ未定
義。･･･式
)
(17)
ローレンツの条件
( 23 )
と式 (22) は非常に見やすくなる
ローレンツ条件を満足
。
するベクトルポテンシ
ャルは式
(22) から次の方程式を満足
する。
 A  k A    i ( 24 )
また，式 (24) の発散をとると，
2
2
     A  k   A       A  k   A      i
となり，式
( 23 )を用いると
2
2
 j     V  j  k V      i
1
2
2
  V  k V 
 i
j 
2
  A を決定し
(ローレンツ条件で
A と V を同定した
!
)，
2009年度 電磁波工学
  i について考えると･･
波源
となる。ここで，電流
 V k V  
2
2

rˆ '
   0 ラプラスの方程式
k  0 
観測点
   0 ポアソンの方程式
O
時間変化のあるMaxwellの方程式の解法
2
2
アンテナの電磁界（後半）
電流分布ｉを与える
rˆ
( 24 )
E   j A   V
( 25 )
H 
上式を満足するベクトルA，
スカラポテンシャルVを求める。
1

ベクトルポテンシャルＡ
を求める
A
上式に適用して電界磁界
ベクトルを求める。
  A を計算する。
磁界Ｈを求める。
式(24)および(25)の一般積分解は次式で与えられる。
 jk r  r'
  i e
A  
dV '
   4  r  r'
( 26 )
 jk r  r'
  e
V  
dV '
4

r

r'

遅延ポテンシャル
る。
2
( 25 )
 A  k A   i

2
2
 V k V 


  j   電荷密度から次式を得
rˆ  rˆ't
 i  
連続の式の時間変化

34
･

Re A e

Re Ve
( 27 )
j t
      i cos  t  k r  r' dV '
4  r  r'
j t


    cos  t  k r  r' 
 
dV '
4

r

r'

波源とｉの影響は|r-r’|だけ離れた点に
t 
k r  r'


r  r'
v
, v 
だけ遅れて伝わる。
1

( 26 )'
( 27 )'
2009年度 電磁波工学
35
［補足］
電磁界の双対性(duality)［バビネの原理］
自由空間では，Maxwellの方程式は同形で，一方の式で，電界・磁界および誘電率・透磁率を次の様に
入れ替えると他方の式になる。
E  H

H  E
  

問：スカラポテンシャル V

c1 e
 jkr
,
r 
x  y z
2
2
2
が，ヘルムホルツ方程式
r
 V k V 0
2
2
を満足することを確認しなさい。
波源
rˆ  rˆ '
rˆ '
観測点
O
rˆ