Transcript 楕円偏波

2009年度 電磁波工学
平面波 ･･･ 平面状に一様な電磁界が一群となって伝搬する波
11
時間的正弦変化
Ey t   E0 cost (1),   2f (角周波数; rad. / s), T  1 f (周期; sec
.)B

  E   t   jB

2 c

E x0, t   E cost  k x(2), k   c     
(波数or位相定数),   D (波長)
  H  j E  (2)
  H  i k f  jD

0
 複素ベクトル表記（フェ－ザ表記）
t
[rad.]


[
rad
.]
[sec]
t)の両辺の回転を取って
 k0 jEx

 0cost  k0 x
Re
k0ix
(
1
tx, t A E expjt  k x(3)　※ 実数部が物理的な意味を持つ。
exp
 jt 

 [m]  D

f

Ae
t  t   k x  x  A  t  
k[sec]
x  [tm
]k0 x  t  k0x  A
x  E
jk x
(3)　"
0exp
0
  EE
j
 (3)t c k0 x 


B

0
0   H 時間因子exp(jt)は全ての電磁界に共通なので省略して書く。

f
j

t

単位長さ当たり位相の 変化量


(3)の右辺に
 j瞬時値は時間因子exp(jt)を再び掛けて実部をとる。※）但し，積・商はベクトルとは異なることに注意！
Ae (2)
 jを代入する。
f

t



x
k








E


j

j

E
0
t  k0x  0 0
0 
[補足- 7]へ

2
2


t
  複素表記を用いたMaxwellの方程式[補足-7]
 0 0 E  k0 E  (4) 
→ 時間微分をjで置き換えられる。
  D   0  E  0
 i kj0D

 (5),   B  0 (6),   D   (7)
  E   jB  (4),   H
  B  0  H  0

i  0,   0の時， EまたはHについて解くと次式の ようになる。
ベクトル恒等式
v      H  k02H  0  (9)
     E  k02E  0  (8),
 
時間的空間的正弦変化 t   c ct  x
  E   j H  (1)
y
0
0
0
0
0
0
y
y
0
0
0
0
    A    A  2 A
直角座標系では特に次のように書ける。
     E  k02E   E  2E  k02E  0,      H  k02H   H  2H  k02H  0
2E  k02E  0  (8)",
2H  k02H  0  (9)"
Helmholtsの方程式
式(８)”および(９)”をまとめて書くと式(10)の様になり，先に考えた平面波では式(2.9)より式(11)の様になる。
ただし，式(11)のV，Iは複素表記である。

2
k
2
0
 HE   0
 
 (10)
 d2
V 
 2  k02    0  (11)
 dx
 I 
2

  j2   2 ,  k0より
2
t
c
2009年度 電磁波工学
12
式 (11)は一次元のHelmholts方程式であり，次のような一般解を持つ。
V  V0 
     exp jk0 x  (12)
 I   I0 
時間項を含めれば･･･
 jk0 x jt
e
・ 複素表記導入の根拠
Sx  Ey Hz
1. 線形性がある場合に計算が簡単になる。
2. フーリエ積分が容易になる。
3. 電源の時間変化に単振動が多い。（複素表記が扱いやすい）
実数部分が物理的意味を持つ
e
 e j  t k0 x 
 d2
V 
 2  k02    0  (11)
 dx
 I 
複素表記でのポインティングベクトル

［オイラーの公式］
C  Ae
jx
C  C  Ae
*

1
*
Re{
C
}

C) , 
 Acos x  j sin x(13
C* C
 Ae jx  Acos x  j sin x(14)  Cの複素共役
2
jx

 e jx  2 Acos x  2 ReC (15),
C  C  Ae
*
jx

 e jx  2 jAsin x  2 j ImC (16)

   12 Eye jt  E*ye jt 12 H ze jt  H *ze jt  14 Ey H *z  E*y H z  14 Ey H ze j2t  E*y H *ze j2t 
* 1 
* 1
1
1
 E y H *z  E y H *z    E y H z e j 2t  E y H z e j 2t    ReE y H *z  ReE y H z e j 2t (17)
4
2
 4
 2
S x  Re E ye jt Re H z e jt 
時間平均すると残る 振動項（２倍周波数の項）
※工学的な意義が大きい
式(17)の時間平均を与える複素ベクトル → 複素ポインティングベクトル［補足-8］
1
Sc  E  H*
2
∵時間平均の定義
P
 (18)
1 T
P dt  (19)

0
T
式(18)中などの１／２が出てこないように
1
E及びHの大きさにあらかじめ 2 を掛け
ておく → 実効値
2009年度 電磁波工学
13
課 題
式(17)の最終式の第二項についてRe{ }の中身を計算し，式(17)が教科書p.29の式(2.46)と等しくなる
事を確認しなさい。
［ヒント］
 



E y H z e2 jt  Re E y H z  j Im E y H z cos 2t  j sin 2t  ? を計算し，式(17)へ代入する。
電磁波の種類
次ページの表参照
電波 ・・・ 「電波法」の規定により3,000GHz(3THz)以下の電磁波
真空中での電磁波の伝搬速度 ・・・ 光速に等しい（測定では2.9979×108m/s)
重要
偏 波
・・・ 電界の振動方向
E  yˆ A  zˆBe jkx  (20)
x方向に伝搬する平面波の電界
yおよびz成分を持つ
 e jt
重要
瞬時値・・・時間の項を省略せずに書いた複素表記の実部をとる。


Ex, t   Re yˆ A  zˆBe j t kx  yˆ a cost  kx     zˆb cost  kx     (21)
j
但し， A  ae j , B cos
 be
t  kx    jsint  kx   
［導出］
yˆ ae
j

 zˆbe j e j t kx  yˆ ae j t kx   zˆbe j t kx 
Ex, t   yˆ a cost  kx     zˆb cost  kx     (21)
2009年度 電磁波工学
cosA  B  cos Acos B  sin Asin B
15
・ 式(21)における電界のy, z成分を及びを分離した形で書き直すと次のようになる。
Ey x, t   a cost  kxcos  a sint  kxsin  (22)
三角関数の加法定理
導出問題
Ez x, t   b cost  kxcos   b sint  kxsin  (23)
・ 式(22)及び(23)を連立させて， cost  kx, sint  kx の項を消去すれば次式が得られる。




cos
t  kx , 2 Y１ sin t  kx とすると
Ey  E
 Ey 
X
z   Ez 
   2 cos          sin     (24)
１
 a 
 a  b   b 
０
2
2
０
a) 式(24)において，=0の時，（同位相）
水平偏波
直線偏波
垂直偏波
2
Ey Ez
 Ey Ez 
    0 
 0
a
b
a
b


X 2 Y 2 1
Ez
b
大地に対して水平な電界
Ey Ez
b
  Ez  Ey (25)
a
b
a
大地に対して垂直な電界
2
2
右旋楕円偏波；＋/2
左旋楕円偏波；－/2
※）特にa=bの時・・・円偏波
Ey
a
Ey
Ez
b
E
-a
-b
楕円偏波
a
-b
電界の b) 式(24)において，=±/2の時，（90°位相ずれ） ※長軸短軸の比を軸比
振動方向
 Ey   Ez 
      1 (26) 楕円の式
 a  b
E
-a
2009年度 電磁波工学 式20より


E  yˆ A  zˆBe jkx yˆ ae j  zˆbe j e jkx   (20)' 16
・単振幅の右旋円偏波；a=b＆/2      2
R  yˆ  jzˆ e jkx  (27)
ae j  1として，
・単振幅の左旋円偏波；a=b，/2
be
j
    2
 ae
j  2
紙面裏から見る！
j
 ae e
 j 2
e
 j 2
j


 
 
 
A  ae j , B  be j  ae j   2  ae j e j 2  jae j e j 2  cos   j sin   jより
2
2

［補足-9］へ
ae  1として，
 jkx
L  yˆ  jzˆ e
 (28)
紙面裏から見る！
j
一般的な偏波  左旋円偏波，右旋円偏波の線形結合
r : 右旋円偏波の振幅，l :左旋円偏波の振幅
E  yˆ A  zˆBe jkx  rR  lL  ryˆ  jzˆ   l yˆ  jzˆ e jkx  r  l yˆ  j r  l zˆ e jkx  (29)
r  l  A, r  l  jBと置けば式(20)と等しくなる。
右：right 1
左：left
1
r  A  jB, l  A  jB  (30)
2
2
式20
重要
課 題
軸比 
rl
r l
 (31)
回転方向･･･　rと l の大きい方の向き
１．式(22)及び(23)を連立させて，式(24)を導出しなさい。
２．式(25)および(26)を導出しなさい。
３．A=1.0，B=2.0の楕円偏波の軸比と旋回方向を求めなさい。
[補足-10]の例題を
理解しておくこと。