Transcript 位相速度
2009年度 電磁波工学
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位相速度と群速度
j (w t kx)
1.角周波数wの単振動: f ( x, t ) = Re Ae
時間が進んでも,違う場所で引数の同じ場所がある。
↓
= A cos(wt kx) (1)
伝 搬
関数の引数(wt-kx)が等しいと関数f(x,t)も同じ値をとる。時空間で関数f(x,t)が同じ値をとる点の
速度は次式で与えられる。
(w) = wt kx = a (2) a = const.
両辺を微分すると,
wdt kdx = 0となり,変形すること
で
dx w
= = v p (3) [位相速度]
dt k
=A
wt kxt=0における初期位相を-kx
とすると,このv
で移動を続ける点,x
= vkt+x
は,位相として(wt-kx)を持ち続けるので,
w
t
w
t
kx
x
= wt kx wt kx = A
w(t 単振動の場合には,このv
を波動の伝搬速度と考えて良い。
t ) k (x x) = A
w
x = t x0 w t kx = kx0
wwを持つ単振動の重ね合わせ!
x
k
wt一般の波動はいろいろな周波数
kx = 0 j
=
wt
j 2wt v pj 3wt
j 4wt
f (t ) = 1 A1e k A2e t A3e A4e = Ane jnwt
0
p
p
0
p
単一周波数の波動のみからなる波
波数kが周波数wに比例する波
複数の周波数成分の波動からなる波
波数kが周波数wに比例しない波
波形は崩れずに伝搬可能
周波数によって伝搬速度が異なる
分 散
伝搬と共に波形が崩れる
2009年度 電磁波工学
波数kが周波数の関数k(w)である場合
2.角周波数w0から±wだけずれた周波数振動の重ね合わせ
w0から±wだけずれた周波数振動の位相項
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f (x, t ) = A cos (w )
(w ) = wt k (w )x
(w ) (w0 w ) = (w0 w )t k (w0 w ) x = a (4) w = w w0
wが小さいものとして, k (w0 w )を w0の周りで Taylor展開すると次のように なる。
w k (w0 ) (w )2 2 k (w0 )
k (w0 w ) = k (w0 )
1! w
2!
w 2
k
k (w0 ) w
(5) w0 w w0 w
w w0
同様にして, k (w0 - w )については以下のよう になる。
k
k (w0 - w ) k (w0 ) - w
w w0
2種類の周波数w0w
f ( x)のx = a近傍でのTaylor展開(但し , f ( x)はn次微分まで可能)
h f (a) h 2 2 f (a)
h n1 (n1) f (a)
f (a h) = f (a)
2
(n1) Rn
(
)
1
!
x
2
!
n
1
!
x
x
とw0 w の波が混合した場合
(6)
f (x, t ) = cos (w0 w ) cos (w0 w ) = cos(w0 w )t k (w0 w )x cos(w0 w )t k (w0 w )x
k
k
cos(w0 w )t k (w0 ) w x cos(w0 w )t k (w0 ) w x (7)
w w0
w w0
A B A B
三角関数の公式,
cos A cos B = 2 cos
cos
より
2 2
k
f (x, t ) = 2 cosw0t k (w0 )xcos wt w
x (8)
w w0
搬送波
包絡線(固まりとしての波)
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包絡線
k
変調波→包絡線
cos wt w
A{1
+
x
w +
w0b)}
m sin(at
搬送波
cosBwsin(ct
w0d))x
0t k (+
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包絡線が同じ値をとるすなわち引数({ }の中身)が一定の点の速度を求める。
k
f (x, t ) = cosw0t k (w0 )xcos wt w x (8)
w w0
k
wt w x = a, a = const.
w w
0
両辺微分して,
搬送波
dx
1
k
wdt w dx = 0,
=
= vg (9) [群速度]
dt k
w w
w w
包絡線(固まりとしての波)
0
0
位相速度 ・・・ ある単一周波数の波の変化速度
群速度 ・・・ 色々な周波数の波の重ね合わせた固まり(波群)の伝搬速度
[特殊な一例]
w
k = k k , k = , k1 = const. が成り立つ場合。両辺をwで微分して,
c
2
k
w
(
k ) = 2k
= 2 2 (10)
w
w
c
w 1
= c 2より, v p vg = c 2 (11)
k k
w
2
2
2
0
2
1
[位相速度; v p ]
2
0
1
[群速度; vg ]
※vpが光速よりも大きい場合にはvgは光速よりも小さくなる。
課 題
1.振幅が2.0の右旋円偏波と振幅が1.5の左旋円偏波の重ね合わせによって得られる偏波はどの様な偏波
になるか?図示して説明しなさい。
2.教科書p.39の問題2.3を解きなさい。
3.教科書p.40の問題2.6を解きなさい。