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電気回路学Ⅱ
コミュニケーションネットワークコース
5セメ
山田 博仁
ラプラス変換による過渡現象の解析
3. RLC直列回路の過渡現象
R
i(0)
e(t)
E(s)
図に示すRLC直列回路において、任意の電圧 e(t)
で励振した時の電流を i(t) とすると、閉路方程式は、
L
i(t)
I(s)
e(t ) Ri (t ) L
q(0)
C
di (t ) 1
i (t )dt で与えられる。
dt
C
この式をラプラス変換すると、
E ( s ) RI ( s ) LsI ( s ) i (0)
1
I ( s) q(0)
sC
となる。
ただし、 I ( s) £i (t ), E ( s) £e(t ) とした。
従って、I(s) について解くと、
全ての初期条件を 0 とすると、
I ( s)
E ( s ) Li (0)
q(0)
sC
1
R sL
sC
E ( s)
E ( s)
I (s)
1
Z ( s)
R sL
sC
Z(s) は回路のインピーダンスを表わす。
となる。
となり、
ラプラス変換による過渡現象の解析
例 6.3.1
S
t=0 R
左図の回路で、t = 0 でスイッチを閉じて直流
電圧 E0 を印加する。
L
i(0)
i(t)
I(s)
E0
q(0)
C
この式をラプラス逆変換するには、
e(t ) E0u1 (t ) かつ i (0) 0 としてよいから、
E0 q(0)
E0
sC
£e(t )
より、 I ( s) s
となる。
s
1
R sL
sC
E0 q(0)
q(0)
E0
1
sC
C
I ( s) s
1
R
1
L
R sL
s2 s
sC
L
LC
ラプラス変換表(教科書の表5.2)の(32)の関係
を用いて、 K
q(0)
C
L
E0
R
2L
と変形し、
K t
£
e
sin
t
s 2 2
K
K t
1
R2
2 とみなすと、 i(t ) e sin t
LC 4 L
となる。
2
ラプラス変換による過渡現象の解析
ロピタルの定理より、
d (sin t )
2
1
R
sin t
d
2
2 0 であるから、
lim
lim
lim t cos t t
LC 4 L
0
0
0
d
d
q(0)
E0
R
t
t sin t
t
C
2L
となる。
i(t ) lim Ke
Kte
te
0
L
(a) 臨界減衰( R2 = 4L/C )の場合には、
(b) 過減衰( R2 > 4L/C )の場合には、
1
R2
0
LC 4 L2
2
i(t )
K
であるから、 sin ja j sinh a の関係を用いると、
e t sin t
K
e t sinh t
となる。
(c) 振動減衰( R2 < 4L/C )の場合には、
1
R2
0
LC 4 L2
2
であるから、
i(t )
K
e t sin t
K
e t sin t となる。
ラプラス変換による過渡現象の解析
例 6.3.2
RLC直列回路で、時刻 t = 0 にスイッチを閉じて、正弦波電圧 Emsinω1t を印加する。
そのとき £e(t )
Em1
であり、かつ簡単のために q(0) = 0, i(0) = 0 とすれば、
s 2 12
電流は、 I ( s )
Em1
L
s
R
1
s 2 12 s 2 s
L
LC
で与えられる。
この式のラプラス逆変換は、表5.2(36)の表関数 f(t) を微分した df(t)/dt に、
E
R
1 R
, 2
, 1 を代入し、係数 m 1 を乗じたものに等しい。
L
2L
LC 2 L
2
ラプラス変換表5.2の(36)の関係式は、
1
1
sin t 1 e t sin t 2
2
2 2 2 4 2 2
1
tan 1
2
2
,
tan
2
2 2 2
2 2 2
s
2
2
1
s 2 2
ラプラス変換による過渡現象の解析
この表関数を微分すると
cos t 1 e t sin t 2 e t cos t 2
2
2 2 2 4 2 2
1
従って、
i(t ) Em Y cos t 1 e t sin t 2 cos t 2
1
1
L
Y
ただし、
2
2
1
R 2
2
4
1
1
LC
2L
R
1
, 2
2L
LC
また tan 3
と置いて、
2
1
R 2 1 L
C
1
R
, 1
2L
2
ラプラス変換による過渡現象の解析
i (t ) Em Y sin t 1 e t sin t 2 cos t 2
2
2 2 t
Em Y sin t 1
e sin t 2 3
2
1
t
Em Y sin 1t 1'
e sin t 2'
LC
1' 1
tan 3
2
, 2' 2 3
1
R
L
1
1
2
CR1
1C
L
tan 1 2
tan
'
2
1
1
2 2
1
LC
2
R
1
1
LC
R
1
2
2 LCR1
L
tan 2 2
2
2 2
CR 2 2 L 2 L2C12
1
R
2
2
1
1
12
2 L LC
LC
tan 2'
1
12
LC
ラプラス変換による過渡現象の解析
i(t) の式
1
i(t ) Em Y sin 1t 1'
e t sin t 2'
LC
励振周波数 ω1 で
振動を続ける定常項
過渡項
自由振動周波数は β
i(t) の時間変化を以下の図に示す。(ただし、ω12 = 1/LC、かつ ω1 ≈ β の場合)
ラプラス変換による過渡現象の解析
教科書第2章の章末問題2.2の解答に誤りがあります。ラプラス変換を用いて、正しい
答えを導いてみよう。
閉路方程式は、
RC直列回路の場合
R
e(t)
E(s)
i(t)
I(s)
e(t ) Ee
q(0)
C
t
T
Ri (t )
1
i (t )dt
C
両辺をラプラス変換すると、
E ( s)
E
s
1
T
RI ( s )
1
I ( s) q(0)
sC
I(s) について解くと、
E
I ( s)
s
1
T
R
q(0)
sC
1
sC
となり、
CE
q(0)
1
1
sCTE
q(0)
sT
1 sCR 1 sT 1 sCR
1 sCR
ここで、 時定数 CR = τ と置くと、
ラプラス変換による過渡現象の解析
I ( s)
s
CE
q(0)
sCTE
q(0)
1 s 1 sT 1 s s 1 s 1 s 1
T
従って、表5.2のラプラス変換表の式(18)と式(4)の関係を用いてラプラス逆変換
すると、
1 t 1 Tt q (0) t
e e
i (t )
e
1
1
T
T
t
t
t
CE 1 1 T q (0)
e e
e
T
1
T
t
t
t
CE T
q ( 0)
T
e e
と求まる。
e
T
CE
1
ラプラス変換による過渡現象の解析
同様にRL直列回路の場合、閉路方程式は、
t
R
di (t )
e(t ) Ee T Ri (t ) L
となり、
dt
i(0)
e(t)
i(t)
両辺をラプラス変換すると、
L
E(s)
I(s)
E
E ( s)
RI ( s ) LsI ( s) i (0)
1
s
T
I(s) について解くと、
E
Li (0)
1
s
T
I ( s)
R sL
E
E
Li (0)
i (0)
L
R
R sL s 1 R sL s R s 1 s
L
L T
T
E
L
i (0)
L
ここで、 時定数
= τ と置くと、 I ( s )
1
R
1
1
s
s
s
T
ラプラス変換による過渡現象の解析
E
i (0)
L
I ( s)
1
1
1
s
s
s
T
従って、表5.2のラプラス変換表の式(17)と式(4)の関係を用いてラプラス逆変換
すると、
t
t
t
E 1
e e T i (0)e
i (t )
L 1 1
T
t
t
t
E T
e e T i (0)e
L T
E T
R T
t
t
e e T
t
i (0)e
と求まる。
ラプラス変換による過渡現象の解析
教科書第6章の章末問題6.6
スイッチを閉じた後の閉路方程式は、
ラプラス変換は、
1
1
i
(
t
)
dt
i (t )dt Ri (t ) であり、
C1
C2
1
V
1
V
I (s) 1
I ( s ) 2 RI ( s )
sC1
s sC 2
s
となる。
V1 V2
V1 V2
V1 V2
R
I
(
s
)
I(s) について解くと、
1
1
C C2
C C2
sR
sR 1
s 1
C2 C1
C1C2
C1C2 R
C1 C2
t
V V
ラプラス逆変換すると、 i(t ) 1 2 e C1C2 R
R
となる。
C1V1 C2V2 1
C1V1 C2V2 C2 V1 V2 C1C2 R t
vC1 (t )
i (t )dt
e
C1 C2
C1 C2
C1
C1 C2
C1 C2
C1V1 C2V2 1
C1V1 C2V2 C1 V1 V2 C1C2 R t
vC2 (t )
i (t )dt
e
C1 C2
C1 C2
C2
C1 C2
C1 C2
ラプラス変換による過渡現象の解析
教科書第6章の章末問題6.7
スイッチを閉じた瞬間、キャパシタ C1 からキャパシタ C2 に無限大の電流が流れて、
キャパシタ C2 が瞬間的に充電され、キャパシタ C1 とキャパシタ C2 の電圧が等しく
なる。その時、スイッチを閉じる前後で電荷量は不変である。その後は、両キャパシタ
から R に電流が流れ、蓄えられた電荷は放電される。スイッチを閉じた直後の両キャ
パシタの電圧 V0 は、
V0
C1V1
C1 C2
である。
その後は単に、並列接続されたキャパシタ C1 とキャパシタ C2 と R からなる CR
直列回路であるから、
t
t
V0 C1 C2 R
C1V1
i(t ) e
e C1 C2 R
C1 C2 R
R
となる。
ラプラス変換による過渡現象の解析
教科書第6章の章末問題6.8
(a)の場合の回路は下図のようになる。
S
表記の簡単化のために、R1 = Rl = R と置く、
t=0 R
1
(i) 定常電流
i1(t)
E0
C
(ii) 過渡電流
i2(t)
Rl
定常状態では、キャパシタ C は完全に充電
或いは放電された状態にあり、電流は流れ
ないので、無いものと考えてよい。従って Rl
に流れる定常電流 i2 は、
E0
E
i2
0
R1 Rl 2 R
電流 i1, i2 に対して、以下の関係式が成り立つ。
E0 Ri1 i2 Ri 2 ,
1
i1dt Ri 2
C
このラプラス変換は、C の初期電荷が 0 であるから、
E0
1
RI1 I 2 RI 2 ,
I1 RI 2
となる。
s
sC
ラプラス変換による過渡現象の解析
このラプラス逆変換は、
これを I2 に対して解くと、
E
1
I 2 02
2
CR
s s
CR
2
2
t
t
E0 CR
E
0
1 e CR
1 e CR
i2
2
CR 2
2R
となり、電流 i2 が求まる。右辺の第2項が
過渡電流である。
(b)の場合の回路は下図のようになる。
S
C0
表記の簡単化のために、R1 = Rl = R, C0 = C と置く、
(i) 定常電流
t=0 R
1
q0
i1(t) C
i2(t)
Rl
定常状態では、キャパシタ C0 に蓄えられて
いた電荷は完全に放電された状態にあるの
で、電流は流れない。従って定常電流 i2 は
0 である。
(ii) 過渡電流
電流 i1, i2 に対して、以下の関係式が成り立つ。
1
1
i1 i2 dt Ri 2
i
dt
Ri
Ri
,
1
1
2
C
C
ラプラス変換による過渡現象の解析
このラプラス変換は、 C0 の初期電荷が q0、C の初期電荷が 0 であるから、
q
1
I1 0 RI 1 RI 2 ,
sC
C
I2
1
I1 I 2 RI 2
sC
となり、これを I2 に対して解くと、
sq0
q0
s
s 2C 2 R 2 s3CR 1 C 2 R 2 s 2 s 3 1
CR C 2 R 2
となる。
表5.2の(14)の関係式を変位定理を用いて加工すると、
s
s
bt
-1
£-1
£
e cosh at
2
2
2
2
2
s s 2b b a
s b a
従って上式で、 b
という関係が得られる。
3
1
5
, b 2 a 2 2 2 , 即ち a
2CR
C R
2CR
と置くと、
I2 のラプラス逆変換より電流 i2 は、
3
q0 2CR t
5
i2 2 2 e
cosh
t
C R
2CR
と求まる。これが電流 i2 の過渡電流である。
ラプラス変換による過渡現象の解析
(c)の場合の回路は下図のようになる。
S
表記の簡単化のために、R1 = Rl = R と置く、
t=0 R
1
(i) 定常電流
e(t)
i1(t) C
i2(t)
Rl
1
e(t )
e(t )
j C
i2
2
R
1
2
R
j
CR
R
R
1 jCR
jC
Em sin t
Em
1
sin t
2 R jCR 2
R 4 CR 2
となる。ただし、 tan
CR
2
(ii) 過渡電流
e(t) のラプラス変換は、 £e(t ) £Em sin t
従って、電流 i2 のラプラス変換は、 I 2
Em
CR 2
Em
s2 2
2
s s
CR
2
2
となる。
ラプラス変換による過渡現象の解析
表5.2の(27)の関係式を用いて、 a , b
2
CR
と置くことにより、
2
t
CR
1
e
1
CR
£-1
sin t , tan
2
4
s2 2 s 2 2 4
2
CR 2 CR 2
CR
従って、電流 i2 のラプラス逆変換は、
i2
Em
2
t
CR
Em
e
R CR 2 4 R
1
CR
左辺の第1項が過渡電流である。
2
4
sin t , tan
CR
2
となる。