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電気回路学Ⅱ
エネルギーインテリジェンスコース
5セメ
山田 博仁
補足)ラプラス変換における初期条件の扱い
1. キャパシタの初期電荷
+ の意味
i(t)
q(0)
C
v(t)
初期電荷 q(0)により発生する電圧
が v(t)と同一方向なら +、逆なら ‒
流れる電流と両端の電圧との関係は、
v(t )
1 t
1
i
(
t
)
dt
C
C
i(t)dt i(t)dt C1 q(0) i(t)dt
0
t
t
0
0
これをラプラス変換すると、
t
1
q(0) I (s)
£v(t ) £ q(0) i(t )dt
0
C
sC
sC
2. コイルの初期電流
流れる電流と両端の電圧との関係は、
i(0)
i(t)
L
v(t ) L
v(t)
di(t )
dt
初期電流 i(0)が i(t)と同一方向なら ‒、逆なら +
これをラプラス変換すると、
£v(t ) sLI (s) Li(0)
ラプラス変換による過渡現象の解析
3. RLC直列回路の過渡現象
R
i(0)
e(t)
E(s)
図に示すRLC直列回路において、任意の電圧 e(t)
で励振した時の電流を i(t) とすると、閉路方程式は、
L
i(t)
I(s)
e(t ) Ri(t ) L
q(0)
C
di(t ) 1
i(t )dt で与えられる。
dt C
この式をラプラス変換すると、
E(s) RI (s) LsI (s) i(0)
1
I (s) q(0)
sC
となる。
ただし、 I (s) £i(t ), E(s) £e(t ) とした。
従って、I(s) について解くと、
全ての初期条件を 0 とすると、
I ( s)
E(s) Li(0)
q(0)
sC
1
R sL
sC
E ( s)
E ( s)
I ( s)
1 Z ( s)
R sL
sC
Z(s) は回路のインピーダンスを表わす。
となる。
となり、
ラプラス変換による過渡現象の解析
例 6.3.1
S
t=0 R
左図の回路で、t = 0 でスイッチを閉じて直流
電圧 E0 を印加する。
L
i(0)
i(t)
I(s)
E0
q(0)
C
この式をラプラス逆変換するには、
e(t ) E0u1 (t ) かつ i(0) 0 としてよいから、
E0 q(0)
E0
s
sC となる。
£e(t )
より、 I (s)
s
1
R sL
sC
E0 q(0)
q(0)
E0
1
sC
C
I ( s) s
1
R
1
L
R sL
s2 s
sC
L
LC
ラプラス変換表(教科書の表5.2)の(32)の関係
を用いて、 K
q(0)
C
L
E0
R
2L
と変形し、
K t
£
e
sin
t
s 2 2
K
K
1
R2
2 とみなすと、 i(t ) et sin t
LC 4L
2
となる。
ラプラス変換による過渡現象の解析
(a) 臨界減衰( R2 = 4L/C )の場合には、
ロピタルの定理より、
d (sin t )
1
R
sin t
d
2
2 0 であるから、
lim
lim
lim t cos t t
0
0
0
LC 4L
d
d
q(0)
E
R
0
t
t sin t
t
C
2L
となる。
i(t ) lim Ke
Kte
te
0
L
2
(b) 過減衰( R2 > 4L/C )の場合には、
1
R2
0
LC 4L2
2
i(t )
K
であるから、 sin ja j sinh a の関係を用いると、
et sin t
K
et sinh t
となる。
(c) 振動減衰( R2 < 4L/C )の場合には、
1
R2
0
LC 4L2
2
であるから、
i(t )
K
et sin t
K
et sin t となる。
ラプラス変換による過渡現象の解析
例 6.3.2
RLC直列回路で、時刻 t = 0 にスイッチを閉じて、正弦波電圧 Emsinω1t を印加する。
Em1
であり、かつ簡単のために q(0) = 0, i(0) = 0 とすれば、
s 2 12
E
s
電流は、 I (s) m 1
で与えられる。
R
1
L
s 2 12 s 2 s
L
LC
そのとき £e(t )
この式のラプラス逆変換は、表5.2(36)の表関数 f(t) を微分した df(t)/dt に、
E
R
1 R
, 2
, 1 を代入し、係数 m 1 を乗じたものに等しい。
L
2L
LC 2L
2
ラプラス変換表5.2の(36)の関係式は、
1
1 t
sin
t
e
sin
t
1
2
2
2
2 2
2 2
4
1
tan1
2
2
,
tan
2
2 2 2
2 2 2
s
2
2
1
s 2 2
ラプラス変換による過渡現象の解析
この表関数を微分すると
t
t
cos
t
e
sin
t
e
cos
t
1
2
2
2
2
2 2
2 2
4
1
従って、
i(t ) Em Y cos t 1 et sin t 2 cos t 2
1
ただし、 Y
L
2
2
1
R
12 4 12
LC
2L
2
1
1
R2 1L
1C
R
1 R
, 2
, 1
2L
LC 2L
また tan3
と置いて、
2
ラプラス変換による過渡現象の解析
i(t ) Em Y sin t 1 et sin t 2 cos t 2
2
2 2 t
tan3
Em Y sin t 1
e sin t 2 3
2
1
t
1' 1 , 2' 2 3
Em Y sin1t 1'
e sin t 2'
2
LC
1
R
L
1
1
2
CR1
1C
L
tan1 2
tan
'
1
2
1
2 2
1
LC
2
R
1
1
LC
R
1
2
2LCR1
L
tan2 2
2
2 2
CR2 2L 2L2C12
1
R
2
2
1
1
12
2L LC
LC
tan2'
1
12
LC
ラプラス変換による過渡現象の解析
i(t) の式
1
i(t ) Em Y sin1t 1'
et sin t 2'
LC
励振周波数 ω1 で
振動を続ける定常項
過渡項
自由振動周波数は β
i(t) の時間変化を以下の図に示す。(ただし、ω12 = 1/LC、かつ ω1 ≈ β の場合)
ラプラス変換による過渡現象の解析
教科書第2章の章末問題2.2の解答に誤りがあります。ラプラス変換を用いて、正しい
答えを導いてみよう。
閉路方程式は、
RC直列回路の場合
R
e(t)
E(s)
i(t)
I(s)
e(t ) Ee
q(0)
C
t
T
Ri(t )
1
i(t )dt
C
両辺をラプラス変換すると、
E ( s)
E
s
1
T
RI (s)
1
I (s) q(0)
sC
I(s) について解くと、
E
I ( s)
s
1
T
R
q(0)
sC
1
sC
となり、
CE
q(0)
1
1
sCTE
q(0)
sT
1 sCR1 sT 1 sCR
1 sCR
ここで、 時定数 CR = τ と置くと、
ラプラス変換による過渡現象の解析
I ( s)
s
CE
q(0)
sCTE
q(0)
1 s 1 sT 1 s s 1 s 1 s 1
T
従って、表5.2のラプラス変換表の式(18)と式(4)の関係を用いてラプラス逆変換
すると、
1 1 t 1 Tt q(0) t
i(t )
e e
e
1
1
T
T
CE 1 t 1 Tt q(0) t
e e
e
T
1
T
CE T t Tt q(0) t
e e
e
と求まる。
T
CE
ラプラス変換による過渡現象の解析
同様にRL直列回路の場合、閉路方程式は、
R
e(t ) Ee
t
T
Ri(t ) L
i(0)
e(t)
E(s)
i(t)
I(s)
L
di(t )
dt
となり、
両辺をラプラス変換すると、
E ( s)
E
1
s
T
RI (s) LsI (s) i(0)
I(s) について解くと、
E
Li(0)
1
s
T
I ( s)
R sL
E
E
Li(0)
i(0)
L
R sL s 1 R sL s R s 1 s RL
T
L T
E
L
i(0)
L
ここで、 時定数
= τ と置くと、 I (s)
R
1 1 s 1
s s
T
ラプラス変換による過渡現象の解析
E
i(0)
L
I ( s)
1 1 s 1
s s
T
従って、表5.2のラプラス変換表の式(17)と式(4)の関係を用いてラプラス逆変換
すると、
t
E 1 t Tt
i(t )
e e i(0)e
L 1 1
T
t
E T t Tt
e e i(0)e
L T
t
E T t Tt
e e i(0)e
と求まる。
R T
ラプラス変換による過渡現象の解析
教科書第6章の章末問題6.6
スイッチを閉じた後の閉路方程式は、
ラプラス変換は、
1
1
i
(
t
)
dt
i(t )dt Ri(t ) であり、
C1
C2
1
V
1
V
I ( s) 1
I (s) 2 RI (s)
sC1
s sC2
s
となる。
V1 V2
V1 V2
V1 V2
R
I
(
s
)
I(s) について解くと、
1 1
C C
C C
sR
sR 1 2 s 1 2
C2 C1
C1C2
C1C2 R
C C
1 2t
V
V
1
2
ラプラス逆変換すると、 i(t )
e C1C2R
R
となる。
1 t
C1V1 C2V2 C2 V1 V2 C11C2 R2 t
vC1 (t ) V1 i(t )dt
e
C1 C2
C1 0
C1 C2
C C
1 t
C1V1 C2V2 C1 V1 V2 C11C2 R2 t
vC2 (t ) V2 i(t )dt
e
0
C1 C2
C2
C1 C2
C C
ラプラス変換による過渡現象の解析
教科書第6章の章末問題6.7
スイッチを閉じた瞬間、キャパシタ C1 からキャパシタ C2 に無限大の電流が流れて、
キャパシタ C2 が瞬間的に充電され、キャパシタ C1 とキャパシタ C2 の電圧が等しく
なる。その時、スイッチを閉じる前後で電荷量は不変である。その後は、両キャパシタ
から R に電流が流れ、蓄えられた電荷は放電される。スイッチを閉じた直後の両キャ
パシタの電圧 V0 は、
V0
C1V1
C1 C2
である。
その後は単に、並列接続されたキャパシタ C1, C2 と、R からなる CR 直列回路で
あるから、
t
t
V0 C1 C2 R
C1V1
i(t ) e
e C1 C2 R
C1 C2 R
R
となる。
ラプラス変換による過渡現象の解析
教科書第6章の章末問題6.8
(a)の場合の回路は下図のようになる。
S
表記の簡単化のために、R1 = Rl = R と置く、
t=0 R
1
(i) 定常電流
i1(t)
E0
C
i2(t)
Rl
定常状態では、キャパシタ C は完全に充電
或いは放電された状態にあり、電流は流れ
ないので、無いものと考えてよい。従って Rl
に流れる定常電流 i2 は、
i2
(ii) 過渡電流
電流 i1, i2 に対して、以下の関係式が成り立つ。
E0 Ri1 i2 Ri2 ,
1
i1dt Ri2
C
このラプラス変換は、C の初期電荷が 0 であるから、
E0
1
RI1 I 2 RI2 ,
I RI2
s
sC 1
となる。
E0
E
0
R1 Rl 2R
ラプラス変換による過渡現象の解析
このラプラス逆変換は、
これを I2 に対して解くと、
2
2
t
t
E0 CR
E
0
1 e CR
i2 2
1 e CR
CR 2
2R
E
1
I 2 02
2
CR
s s
CR
となり、電流 i2 が求まる。右辺の第2項が
過渡電流である。
(b)の場合の回路は下図のようになる。
S
C0
表記の簡単化のために、R1 = Rl = R, C0 = C と置く、
(i) 定常電流
t=0 R
1
q0
i1(t) C
i2(t)
Rl
定常状態では、キャパシタ C0 に蓄えられて
いた電荷は完全に放電された状態にあるの
で、電流は流れない。従って定常電流 i2 は
0 である。
(ii) 過渡電流
電流 i1, i2 に対して、以下の関係式が成り立つ。
1
1
i i dt Ri2
i
dt
Ri
Ri
,
1
2
C 1
C 1 2
ラプラス変換による過渡現象の解析
このラプラス変換は、 C0 の初期電荷が q0、C の初期電荷が 0 であるから、
q
1
1
I I RI2
I1 0 RI1 RI2 ,
sC
C
sC 1 2
I2
となり、これを I2 に対して解くと、
sq0
q0
s
s 2C 2 R2 s3CR 1 C 2 R2 s 2 s 3 1
CR C 2 R2
となる。
表5.2の(14)の関係式を変位定理を用いて加工すると、
s
s
bt
-1
£-1
£
e cosh at
2
2
2
2
2
s s2b b a
s b a
従って上式で、 b
という関係が得られる。
3
1
5
, b2 a2 2 2 , 即ちa
2CR
C R
2CR
と置くと、
I2 のラプラス逆変換より電流 i2 は、
3
t
q0 2CR
5
i2 2 2 e
cosh
t
CR
2CR
と求まる。これが電流 i2 の過渡電流である。
ラプラス変換による過渡現象の解析
(c)の場合の回路は下図のようになる。
S
表記の簡単化のために、R1 = Rl = R と置く、
t=0 R
1
(i) 定常電流
e(t)
i1(t) C
i2(t)
Rl
1
e(t )
e(t )
jC
i2
2
R
1
2
R
j
CR
R
R
1 jCR
jC
Em sin t
Em
1
sint
2R jCR2 R 4 CR2
となる。ただし、 tan
(ii) 過渡電流
e(t) のラプラス変換は、 £e(t ) £Em sin t
従って、電流 i2 のラプラス変換は、 I 2
Em
CR2
CR
2
Em
s2 2
2
s s CR
2
2
となる。
ラプラス変換による過渡現象の解析
表5.2の(27)の関係式を用いて、 a , b
2
CR
と置くことにより、
2
t
1
e CR
1
CR
-1
£
sin t , tan
2
4
s 2 2 s 2 2 4
2
CR2
CR
CR2
従って、電流 i2 のラプラス逆変換は、
i2
Em
2
t
CR
Em
e
R CR2 4 R
1
CR
左辺の第1項が過渡電流である。
2
4
sin t , tan
CR
2
となる。
ラプラス変換による過渡現象の解析
教科書第6章の章末問題6.11
スイッチを開く前の定常状態での電流(初期電流) i(0) は、 i(0)
スイッチを開いた後では、
E L1
di(t )
di(t )
Ri(t ) L2
dt
dt
E
R
の閉路方程式が成り立つ。
E
コイル L1 の初期電流が i(0) 、コイル L2 の初期電流が 0 であることに注意して
これをラプラス変換するすると、R
E
E
L1 sI (s) RI (s) sL2 I (s)
s
R
となり、I(s) について解くと、
E L1E
E
1
LE
1
R
I ( s) s
1
sL1 L2 R s sL1 L2 R R sL1 L2 R
E
1
L1E
1
L1 L2
R RL1 L2 s R
s s
L1 L2
L1 L2
ラプラス変換による過渡現象の解析
従って i(t) は、
R
R
R
t
t
t
E
L1E
E
L2
L1 L2
L1 L2
L1 L2
i(t ) 1 e
e
1
e
R
R L1 L2
RL1 L2
これを図示すると、
i(t)
E
R
EL1
RL1 L2
0
t
スイッチを入れる前後での鎖交磁束 ϕbefore, ϕafter を比較してみると、
before L1
E
EL1
EL
, after L1 L2
1
R
RL1 L2 R
となり、鎖交磁束不変の理が成り立っていることが分かる。
と求まる。
講義日程と内容
日程 (回目)
山
田
大
寺
先
生
講義内容
教科書の章との対応
1)
2)
4/8 (第1回) RL, RC回路の過渡現象
2.1, 2.2
4/15 (第2回) RLC回路の過渡現象
2.3, 2.4
4/22 (第3回) ラプラス変換
5.1, 5.2
5/9 (第4回) 過渡現象とラプラス変換
6.1~6.2
5/13 (第5回) 過渡現象とラプラス変換の続きと演習
6.3
5/20 (第6回) まとめと演習
6章の章末問題 5/27 (第7回) 過渡関数波、周期波、時間域・周波数域解析 5.3~5.5, 7.1 6/3 (第8回) 微分、積分回路、二次系の伝達特性
7.2 ~7.4
6/10 (第9回) RLC回路、インパルス・ステップ・任意波形応答 7.5, 7.7~7.9 6/17 (第10回) フーリエ変換
4.1, 4.2
6/24 (第11回) フーリエ変換、信号波解析
4.3
7/1 (第12回) フーリエ変換と演習
4.5
7/8 (第13回) 歪波交流
3.1, 3.2
7/15 (第14回) 歪波交流回路の計算と演習
3.4
7/22 (第15回) まとめと演習
定期試験