Transcript 1 三平方の定理

６ 三平方の定理
１章 三平方の定理
§１ 三平方の定理
（４時間）
§１ 三平方の定理
三平方の定理
直角三角形の直角をはさむ２辺の長
さを a , b , 斜辺の長さを c とすると、c
次の関係が成り立つ。
a 2＋ b 2＝ c 2
B
a
三平方の定理の逆
△ABC で、
BC＝a , CA＝b , AB＝c
とするとき、次のことがいえる。
a 2＋ b 2＝ c 2 ならば、
∠C＝90° B
A
b
C
A
c
a
b
C
《三平方の定理の証明１》
E
D
c2
F
B
A
c
b b2
a
C
a2
a 2＋ b 2＝ c 2
《三平方の定理の証明１》
E
a
b D
c2
＝四角形EFCD－△ABC×4
a
1
2
＝( a＋b ) －― ab×4
2
A
＝a 2＋2 ab＋b 2－2 ab
b
c2
a
F
c
b B
a
b ＝a 2＋b 2
2
2
2
よって、
a
＋
b
＝
c
C
《三平方の定理の証明２》
D
E
c2
B
A
c
b b2
a
C
a2
a 2＋ b 2＝ c 2
《三平方の定理の証明２》
D
c 2 (青枠の四角形DEBA)
E
c2 b
ab
B
a
c
a
＝赤枠の四角形＋△ABC×4
1
2
＝( a－b ) ＋― ab×4
2
A
＝a 2－2 ab＋b 2＋2 ab
b ＝a 2＋b 2
2
2
2
よって、
a
＋
b
＝
c
C
《三平方の定理の逆の証明》
『△ABCで、a 2＋ b 2＝ c 2 ならば、∠C＝90º 』
【証明】
右の図の △ABC に対して、
c
B’C’＝a , C’A’＝b , ∠C＝90º
であるような △A’B’C’ をかき、
a
B
A’B’＝x とする。
△A’B’C’ は、∠C’＝90º の直角三角形
であるから、三平方の定理によって、
x
a 2＋ b 2＝ x 2 ･･････①
また、仮定から、 a 2＋ b 2＝ c 2 ･･････②
①、②から、
x 2＝ c 2
a
B’
x , c は、ともに正の数だから、
x＝ c
したがって、AB＝A’B’ , BC＝B’C’ , CA＝C’A’
なるから、
△ABC≡△A’B’C’
よって、
∠C＝90º
A
b
C
A’
b
C’
と
《問題１》
下の表には、直角三角形(ア)～(オ)の３辺の長さ
a , b , c が示されている。この表の空らんをう
めなさい。ただし、c は斜辺の長さとする。
a
(ア
)
３
(ウ
)
８
５
b
c
(イ
)
５
13
17
(エ
)
10
(オ
)
10
５
10
END