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学部：天体輻射論I
大学院：恒星物理学特論IV
講義の狙い＝天体輻射の基礎的な知識を、
（１） 天文学の学習を始めた学部３年生
と、
（２） 学部時代に天文学の講義を取らなかった大学院生
に与える。
天体輻射に関する知識は（ほとんど）ゼロと想定しているので、どんな質問でも歓
迎します。
毎授業毎に出す問題に対し、次の授業にレポートを出すと単位が取得できます。
講義のファイルは
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
に置いてあります。
質問は
[email protected]
へ。
第１課： 輻射強度 Intensity
１．１．フラックス（Flux）と輻射強度(Intensity)
位置＝ｘ、法線ベクトル＝ｋの微小面ｄS＝ｋｄSを考える。
ｄΩ´＝ｋ´ｄΩ´＝ｋ´方向の微小立体角
ｎ（ｘ、ｋ´）＝位置ｘ、進行方向ｋ´の光子の個数密度
dΩ＝ｋ´ｄΩ
（ｋ・ｋ´）＝cosθ である。
ｋ
ｋ′
θ
ｄS=ｋdS
ｄＳを通る光のエネルギー ｄＦを計算してみよう。
ｎ（ｘ、ｋ´）
時間ｄｔ内にｄＳを通るｄΩ´方向の光子数ｄＮは、
ｄＳのｋ´方向射影＝ｄＳ・ｋ´＝ （ｋ・ｋ´） ｄＳ＝cosθｄＳ
なので、
ｄＮ＝ c ｎ（ｋ´）cosθｄΩ´ｄＳ ｄｔ
(c=光速）
θ
ｋ´
ｄＳ
ｋ
cosθｄＳ
ε（ν）＝ｈν＝光子のエネルギーを用
いると、
時間ｄｔ内にｄＳを通るｄΩ´方向の
光子のエネルギーｄＥは、
dΩ´＝ｋ´ｄΩ´
ｄＥ＝ εｄＮ
＝ cεｎ（ｋ´）cosθｄΩ´ｄＳ ｄｔ
単位時間にｄＳを通る光子エネルギー
ｄＦは、ｄＦ＝∫（ｄＥ/ｄｔ）ｄΩ′
dF(ｋ)=∫cεｎ（ｋ´）cos θdSｄΩ´
=ｄS∫ cεｎ（ｋ´）（ｋ・ｋ´） ｄΩ´
= ∫ cεｎ（ｋ´） （ dS・ dΩ´ ）
ｄS=ｋdS
θ
ＩｎｔｅｎｓｉｔｙとＦｌｕｘ
Ｉ（ｋ´）＝cεｎ（ｋ´）
Ｉ(ｋ´)
dΩ′
＝輻射強度
（Intensity）
Ｆ
Ｆ＝∫I（ｋ´）dΩ´
積分
＝輻射流束（Flux）
前ページの式は、Ｉ とＦを使う
と
ｄＦ(ｋ) ＝ ∫I（ｋ´） dS・ dΩ´
= ｄS・Ｆ
＝ｄＳ Ｆ（ｋ）
Ｆ（ｋ）
Ｆ
Ｆ
ｋ
ｄＳ
射影
改めて、輻射強度（Ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ）
ｋ方向微小面ｄＳを通り、同じくｋ方向の微小立
体角ｄΩ方向に向かう、光子のエネルギーは単
位時間当たり、
Ｉ（ｋ）ｄＳｄΩ
である。
ｄΩ
Ｉ（ｋ） ＝cεｎ（ｋ）は、ｋ方向の一立体角当たり、単
位時間に流れるエネルギー流量である。
ｄＳ
改めて、フラックス
ｄＳを通る光子のエネルギーは、
単位時間当り
Ｉ（ｋ´）
ｄS=ｋdS
F(ｋ)dＳ=dS∫Ｉ（ｋ´）cosθｄΩ´
θ
である。
Ｆ(ｋ)は、
ｋ方向の面に対するフラックス
と呼ばれる。
フラックス（輻射流束）ベクト
ルＦのｋ成分とみなせる。
dΩ´＝ｋ´ｄΩ´
１．２． Intensityの表示
光子の振動数（ν）分布、または波長（λ）分布を考える時は、
Ｉ＝∫Ｉ（ν）ｄν ＝∫Ｉ（λ ）ｄλ となる Ｉ（ν）や Ｉ（λ）を使う。
Intensity Ｉ(ν) の単位
ｄＥ＝Ｉ(ν) ｄＳｄΩｄｔｄν
ｄＥ＝エネルギー＝Ｊ（ジュール）
ｄＳ＝面積＝ｍ２
Ω
ｄΩ＝立体角＝無次元
ｄν＝周波数＝Ｈｚ＝ｓ－１
ｄｔ＝時間＝ｓ
従って、Ｊ＝Ｉ(ν) ｍ２ ｓｓ－１
Ｉ(ν)=Ｊ／ｍ２ ／ｓ／ｓ－１＝Ｗ／ｍ２ ／Ｈｚ＝Ｊ／ｍ２
dS
dΩ
Ｉ（λ） ： Intensity の別な表現
ｄＥ＝Ｉ（λ）ｄＳｄΩｄｔｄλなので、前と同様に単位を揃えると、
Ｊ＝Ｉ（λ）ｍ２ ｓ ｍ となり、
Ｉ（λ）＝Ｊ／ｍ２ ／ｓ ／ｍ＝Ｗ／ｍ３
Ｉ（ν）から Ｉ（λ）への変換？
ｄＩ＝Ｉ（ν）ｄν ＝ Ｉ（λ）ｄλ
νλ＝ｃ なので、 ｄν/ν＝ーｄλ/λ
ｄＩ＝Ｉ（ν）ν（ｄν/ν） ＝ Ｉ（λ）λ（ｄλ/λ）
と書き直すと、
Ｉ（ν）ν ＝ Ｉ（λ）λ
である。
νＩ（ν）= λＩ（λ）
ｄI＝Ｉ（ν）dν=Ｉ（λ）dλ
＝[νＩ（ν）](ｄν/ν) = [λＩ（λ）] (dλ/λ)
3
ln10λI(λ)
2
2
I(λ)
1
1
0
0
0
1
2
λ
3
-1
0 0.3
logλ
1
１．３． 輻射強度Ⅰ不変の法則
吸収や散乱の無い時、輻射強度Ⅰは距離によって変化しない。
Ⅰ
＝
Ⅰ´
ｄＳ´から輻射強度Ⅰ´、立体角ｄΩ´で放射した光がＲ離れ
たｄＳを輻射強度Ⅰ´、立体角ｄΩで通過する。
dE =Ⅰ´ｄＳ´ｄΩ´＝ⅠｄＳｄΩ
ｄＳ＝Ｒ２ｄΩ´
ｄＳ´＝Ｒ２ｄΩ
Ⅰ´Ｒ２ｄΩｄΩ´＝ⅠＲ２ｄΩ´ｄΩ
よって、Ⅰ＝Ⅰ´
Ｒ
dS´
Ⅰ´
ｄΩ´
Ⅰ
dΩ
dS
もう少し詳しく光線の広がり具合を観察すると、
S
S1 =X12Ω
S2 =X22Ω
Ω
Ω１=S/X12
Ω２ =S/X22
輻射強度一定の法則とLiouvilleの定理
ＳをΩで出た光子の集団の運動を、位置（Ｘ、Ｓ）と運動量（Ｐ，Ω）の位相空間
の中で考える。
実空間（Ｓ）で広がる。 ⇔ 運動量空間（Ω）で絞られる。（ＳΩ＝一定）
位相密度 f(x,p) は経路に沿って不変（Liouvilleの定理）
S
S1
S0
X１
Ω0
Ω
Ω1
X
Ｉｎｔｅｎｓｉｔｙと位相数密度
Ｉ（ｋ,ν）＝cεｎ（ｋ、ν）
速度がｋ方向立体角ｄΩ内、振動数
νがｄν内にある光子の位相数密度は、
Pz
dPz
dPx
Py
ｄｎ＝ｎ（ｋ、ν）ｄΩｄν
光子の運動量ｐ分布関数 ｆ（ｐ）が直交座標系ｐｘ、
ｐｙ、ｐｚで表示されている場合、ｈν＝ｃｐ＝εから、
Px
p2 dΩ
ｄｎ＝f(p)ｄｐｘｄｐｙｄｐｚ
P
＝ f(p)ｐ２ｄΩｄｐ＝ f(p)（ｈν/ｃ）２ （ｈ/ｃ）ｄΩｄν
上の式と見比べて、
ｎ（ｋ、ν）＝ f(p)（ｈ/ｃ）３ν２
Ｉ（ｋ,ν）＝cεｎ（ｋ、ν）＝ f(p)（ｈ４ν３/ｃ２ ）
dPy
dＳ
１．４． 輻射強度 Ｉ の簡単な例
（Ａ） 等方的に光る壁（ｎ＝壁の法線ベクトル）
Ｉ（ｘ，ｋ）＝Io （ｋ・ｎ＞０） 表面輝度（Ｓｕｒｆａｃｅ Ｂｒｉｇｈｔｎｅｓｓ）
＝０ （ｋ・ｎ＜０）
k
y
x
Ｉ（ｙ，ｋ）＝Ｉ（ｘ，ｋ）＝Io （ｋが壁をヒットする時）
＝０
（ｋが壁をヒットしない時）
ｙ
点ｙから見た壁
ｚ
点ｚから見た壁
小さくなるが、壁の色、明るさは変わらない
壁表面でのフラックス F
F ＝∫Io cosθｄΩ
＝∫Io cosθ２πsinθｄθ
＝２πIo ∫cosθsinθｄθ
＝πIo
黒体輻射を等方に出す壁からのフラックス
Ｆo＝πＢ（Ｔ）＝σＴ４
（Ｂ） 等方的に光る球面
I（R、θ）＝Io
（|θ|＜90°）
Ｒ
I（D、θ）＝Io （ sin θ< R/D )
θ
＝０ (otherwise)
Ｄ
F（D)=∫ I（D、θ）cosθｄΩ
＝２πIo ∫cosθsinθｄθ
＝ ２πIo[sin2θ/２]
＝πIo（R/D )２
球状天体のフラックスと輻射強度
半径Ｒの球表面でＩｎｔｅｎｓｉｔｙが等方的、
I(θ)＝Ａ
θ
I(θ)
とする。
球表面でのフラックスＦｏは？
Fo=∫I(Ω)cosθdΩ
= ∫∫A cosθdφsinθdθ
=2πA∫0π/2cosθsinθdθ
= 2πA∫01μdμ
２Ｒ
=πA
球面全体からは、
Ｌ＝４πＲ２Ｆｏ＝４π２Ｒ ２Ａ
距離ＤにおけるフラックスＦ（Ｄ）と輻射強度Ｉ（Ｄ，θ）
D
θ´
等方的輻射強度Ａの半径Ｒの
球中心から、Ｄ離れた点での
Ｉ（Ｄ，θ）とＦ（Ｄ）を求めよう
θo
θ
I(D,θ)
Ｒ
Ｉ(D,θ)＝Ｉ(Ｒ,θ′)＝Ａ なので、
Ｆ（Ｄ）＝∫Ｉ(D,θ)cosθｄΩ＝２πＡ∫μo１μｄμ=πＡ（１－μo２）＝ πＡ（Ｒ／Ｄ）２
＝Ｌ/４πＤ２
Ｘ
Ｙ
I(X,θ)
Ｆ（Ｄ)
I(Y,θ)
Ａ
Ａ
０
θo
π/2
０ θo
θ
R
Ｘ
D
π/2
θ
Y
（Ｃ） 体積輻射率ε
微小体積ｄＶからの輻射率がεｄＶのとき、εを体積輻射率と呼ぶ。光度（エネルギ
ー総放出率）Ｌの星が数密度ｎで分布している時、ε＝Ｌｎである。
ｄＳから視線方向Ｘの地点での、体積輻射率をε（Ｘ）とする。ｄＳから見て、ｄΩに
含まれる体積ｄＶ＝ｄｓｄＸ＝Ｘ２ｄΩｄＸ内の
ｄｓ＝Ｘ２ｄΩ
ｄＳ
ｄΩ
ｄω
Ｘ
ｄＸ
各点からｄＳを見込む角はｄω＝ｄＳ/Ｘ２である。したがって、ｄＶからｄＳを通ってｄΩ
に放出されるエネルギー率は、ｄＩｄＳｄΩ＝εｄＶｄω/４π＝εＸ２ｄΩｄＸｄＳ/ ４πＸ２＝（ε/４π
）ｄＸｄＳｄΩ。
コラム密度と輻射強度
このように、微小長さｄＸからＩ（Ｘ）への貢献は、ｄＩ＝ （ε/４π）ｄＸ である。
光度Ｌの星が数密度ｎ（Ｘ）で分布している。 ε（Ｘ）＝Ｌｎ（Ｘ）
コラム密度 Ｎ＝ ∫ｎ（Ｘ）ｄＸ とすると、Ｉ（Ｘ）＝∫ｄＩ＝ （Ｌ/４π）Ｎ となるので、
上の二つの場合のように、密度分布が異なっていてもＮが等しいと、Ｉ も等し
い。このように、Ｉ は Ｎ と直接つながっている。
銀河の表面輝度
例
ＸＹ方向には無限に広がり、Ｚ方向に厚みＤ＝１００ｐｃの平らな銀河を考える。
星の数密度は ｎ＝２ｘ１０２／ｐｃ３、星の光度は太陽と同じで Ｌ＝Ｌｏ とする。
この星団を表面からの高さ、Ｈから観測したときの Intensity Ｉo（θ）を
求めよう。θは真下方向からの角度である。
Ｉ（θ）
Ｈ
１００ｐｃ
θ
前々ページでやったように、Ｉ（θ）＝（Ｌo/４π）Ｎ（θ）
ここに、 Ｎ（θ）＝ｎ・Ｄ/ｃｏｓθ
従って、Ｉ（θ）＝ （Ｌo/４π）ｎ・Ｄ/ｃｏｓθ＝（１０４ /４π）（１ /ｃｏｓθ）（Ｌｏ/ｐｃ２）
５
Ⅰ
（１０３Ｌｏ/ｐｃ２）
Ｉ（θ）にＨ（面までの距離）が
入っていないことに注意せ
よ。
４
３
２
１
０
０
３０
６０
θ(°）
９０
（Ｄ） 望遠鏡のＦ比
直径Ｄ、焦点距離 ｆ の収差なし単レンズ Ｌ を考える。焦点位置Ｆには天体Ａ
の像Ｂができている。Ｆに置いた画像検出器（写真乾板、ＣＣＤ）が受ける輻射量
を考える。
ｆ
表面輝度 Ｉ の天体Ａ
Ｄ
Ｌ
Ｂ＝天体Ａの像
Ｆ
Ａからの光はＢ上で円錐状に焦点を結ぶ。円錐の頂角を２θo とすると ｔａｎθo≒ θo
＝Ｄ/２ｆ 、円錐の張る立体角Ωo＝πθo２＝（π/４）（Ｄ/ｆ）２である。
Ｂでの輻射強度 Ｉ´(θ) ＝ Ｉ
（ θ＜θo）
＝ ０ （θo＜θ）でＩ´(θ)＝０である。
Ｂでのフラックス Ｔ＝∫Ｉ´(θ) ｃｏｓθdΩ
＝ （π/４）Ｉ（Ｄ/ｆ）２
つまり、広がった天体画像の表面の明るさはＦ比＝ ｆ/Ｄ で決まる。口径が大きくて
も Ｆ比（通常Ｆと書く）が大きいと画像は暗くなる。
問題１： 出題平成１６年１０月４日
提出１０月１８日
Ａ，Ｂどちらかの問いに答えよ。
天文専攻の学生は、なるべくならＢを選択せよ。
Ａ．太陽光度（Ｌ＝Ｌｏ）の星からなるリング状銀河がある。リングの形状は、
厚み Ｗ＝１ｋｐｃ、 外半径 Ｒ１＝１０ｋｐｃ、 内半径 Ｒ２＝８Ｋｐｃ
であ
る。リング内の恒星密度分布は一様で、ｎ＝１００星／ｐｃ３である。この銀河 を１
Ｍｐｃ離れて真横から観測したときの輝度分布 Ｉ（Ｗ／ｍ２）を、中心から縁方 向
への角度θの関数として表わせ。
さらに結果を図示せよ。
グラフの縦軸は log I （Ｗ／ｍ２）
横軸はθ（′）
を使用すること。
θ
Ｂ．太陽光度（Ｌ＝Ｌｏ）の星からなる、半径Ｒ＝１０ｐｃの球対称な星団がある。この
星団を距離Ｄ＝１０ｋｐｃ離れた点から観測し、下のような輝度分布 Ｉ（θ） を得た。
Ｉ＝Ｉｏ［１－（θ／θ ｏ）２］
ここに、 Ｉｏ＝３．３６ １０－８ Ｗ／ｍ２ は中心方向の表面輝度、
θ ｏ＝３．４４′は星団の中心から縁までの角度である。
星団内部の恒星密度分布 ｎ（ｒ）を中心からの距離 ｒ も関数として表わせ。
次に、その結果を縦軸 ｎ（個／ｐｃ３）、横軸 ｒ（ｐｃ）のグラフとして図示せよ。
点光源では？
点光源からの輻射強度の定義にはこれまでの方法が通用しない。
点光源に対しては、通常、フラックスのみ使用する。