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学部
:天体輻射論I
大学院：恒星物理学特論IV
講義の狙い＝
天体輻射の基礎的な知識を、
（１） 天文学の学習を始めた学部３年生
と、
（２） 学部時代に天文学の講義を取らなかった大学院生
に与える。
単位取得の条件は、授業の最後に出す問題に対し、最低５レポートを提出。
成績は「レポート＋出欠」でつけます。
各課のキーワードを以下に列挙します。これらの言葉が分かる人は
授業を聞く必要はありません。
第１課： 輻射強度
第２課 等級
第３課 カラー
第４課 輻射の方程式I
第５課： 準位
第６課： 平衡
第７課： 吸収係数
第８課： 輻射の方程式II
第９課： 恒星スペクトル
第１０課：星雲
第１１課：ダストの光学
第１２課：星間減光
フラックス (Flux)
距離指標 (distance modulus)
輻射補正 (bolometric correction)
源泉関数 (source function)
共鳴線
(resonance line)
サハの式 (Saha equation)
f-値
(f-value)
ロスランド平均 (Rossland mean)
エディントン近似 (Eddington approximation)
ストロームグレン半径 (Stromgren sphere)
ミー吸収
(Mie absorption)
２２００A バンプ (2200A bump)
第１課： 輻射強度
２００５年10月17日
１．１．フラックス（Flux）と輻射強度(Intensity)
最初に定義を少し。（見にくいけれど太字はベクトル）
ｄΩ(ｋ)
ｎ（ｘ、Ω）＝位置ｘ、進行方向Ωの光子の個数密度
ｎ（ｘ）＝∫ｎ（ｘ、Ω）ｄΩ＝光子の個数密度
ｄΩ＝ｋｄΩ＝Ω方向の微小立体角
（ｋはΩ方向の単位ベクトル）
S＝S ｋ＝法線ベクトルｋの微小面
ｋ
ｋ＝Ｓの法線ベクトル（長さ１）
S=Sｋ
ｋ´＝ｋと角度θをなす単位ベクトル
（ｋ・ｋ´）＝cosθ
θ
ｋ´
Ｓ
ｋ
単位時間にＳを通る光子の数 Nを計算してみよう。
Ｓを通る光子（Ω´方向）は法線ｋ（Ω方向）に対し
色々な角度（θ）を持つ。
ｄΩ´＝ｋ´ｄΩ´＝Ω´方向の微小立体角
Ω´方向の光がＳを通過するときは、Ｓを斜めに見る
ので、その有効面積は
θ
ｋ
ｋ´
Ｓ・ｃｏｓθ＝ （ｋ・ｋ´） Ｓ＝（Ｓ・ｋ´）
Ｓ
cosθＳ
ｄΩ´方向の光子密度は ｎ（ｋ´）ｄΩ´
で、それが光速 ｃ でＳを通り抜ける。
dΩ´＝ｋ´ｄΩ ´
結局、Ｓを通り抜けるｄΩ´方向の光子の数ｄＮ´は、
ｄＮ´＝光子密度×立体角×有効面積×光速
＝ c ｎ（Ω´）cosθｄΩ´Ｓ
＝ c ｎ（Ω´）（ｋ・ｋ´）ｄΩ´Ｓ
＝ c ｎ（Ω´）（S・ｄΩ´）
N=∫ｄN´＝∫ c ｎ（Ω´）（S・ｄΩ´）
ｋ′
ｋ
θ
ｄS=ｋdS
（個/時間）
ｎ（ｘ、ｋ´）
次に、単位時間にＳを通る光のエネルギー Eを計算してみよう。
光子の一つ一つがエネルギー ε（ν）＝ｈνを運ぶから、
Ｓを通り、ｄΩ´方向に流れるエネルギーｄE´は、
ｋ
ｄE´＝εｄN´
＝ ε c ｎ（Ω´）（S・ｄΩ´）
したがって、
E＝∫ｄE´＝∫cεｎ（Ω´）（S・ｄΩ´）
ｄS=ｋdS
I（Ω）＝cεｎ（Ω） ＝輻射強度（Intensity）
Ｆ＝∫I（Ω）dΩ
＝輻射流束（Flux）ベクトル と定義すると、
Ｅ＝∫（ Ω´ ）I（Ω´）（S・ｄΩ´）＝S・ ∫（ Ω´ ）I（Ω´）ｄΩ´＝（S・F）
＊： Sを単位面積にしたときの E＝（ｋ・F）もフラックスという。
＊： 上で定義した I を言い換えると、
I = 単位時間・単位面積・ Ω方向単位立体角あたりに通過するエネルギー
輻射強度（Ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ）
ｄΩ
ｋ方向微小面ｄＳを通り、同じくｋ方向の微小立
体角ｄΩ方向に向かう、光子のエネルギーは単
位時間当たり、
Ｉ（ｋ）ｄＳｄΩ
である。
Ｉ（ｋ） ＝cεｎ（ｋ）は、ｋ方向の立体角当たり、単
位時間に流れるエネルギー流量である。
ｄＳ
Ｉ（ｋ´）
フラックス F(k)
dΩ´＝ｋ´ｄΩ´
ｄＳを通る光子のエネルギーは、単位時間当り
θ
F(ｋ)dＳ=dS∫Ｉ（ｋ´）cosθｄΩ´
である。
ｋ方向の面を通るフラックスＦ(ｋ)はフラックス（
輻射流束）ベクトルＦのｋ方向成分である。
ｄS=ｋdS
Iｎｔｅｎｓｉｔｙ と Flux はよく混同される
Intensity=光線方向に垂直な単位面積を通り、その方向に単位立体角、単位時間
あたりに通過するエネルギー
＝角度、エネルギー流表示での光子の数密度関数
＝面輝度
dΩ′
Ｉ(ｋ´)
Ｆ
Flux= エネルギー流ベクトル
積分
さらにフラックスには
Ｆ（ｋ）
（１）ベクトルのエネルギー流 F
（２）単位面積を通過する
エネルギー (F・ｋ)＝F(k)
の２つの意味がある。
Ｆ
Ｆ
ｋ
ｄＳ
射影
天体観測の場では、
点光源（例：星）
フラックス
面光源（例：星雲）
インテンシティー
と使い分けられることが多い。
点光源
インテンシティー
I(R,Ω）=(L/４πR２）・δ(Ω－Ωo）
k(Ωo)
R
フラックス
F(R）=(L/４πR２）・∫δ(Ω－Ωo）ｄΩ
＝(L/４πR２）k
面光源
インテンシティー
I(R,Ω）=Io
(Ωが下の青い四角内）
＝０
(Ωが下の青い四角外）
R
フラックス
F(R）=Io・∫(青いΩ）ｄΩ
光源が平らでもイ
ンテンシティ分布
は球面状である。
＝Io・ ∫(青いΩ）cosθｄΩ ・k（Ωo）
面光源ではインテンシティとフラックスを混同するおそれは少ない。
I(ｋ´）
ｋ
ｋ´
I(ｋ）
スリット位置でのインテンシティは、スリットから スリット位置でのフラックスは、スリットを通
球面を見たときの球面上の各点での輝きであ 過する球面上の各点での輝きからのエネ
る。
ルギーの総和である。
１．２． 輻射強度Ⅰ不変の法則
吸収や散乱の無い時、輻射強度Ⅰは距離によって変化しない。
ｄＳ´から輻射強度Ⅰ´、立体角ｄΩ´で放射した光がＲ離れ
たｄＳを輻射強度Ⅰ´、立体角ｄΩで通過する。
dE =Ⅰ´ｄＳ´ｄΩ´＝ⅠｄＳｄΩ
ｄＳ＝Ｒ２ｄΩ´
ｄＳ´＝Ｒ２ｄΩ
Ⅰ´Ｒ２ｄΩｄΩ´＝ⅠＲ２ｄΩ´ｄΩ
dS´
よって、Ⅰ＝Ⅰ´
Ⅰ´
Ｒ
ｄΩ´
Ⅰ
dS
dΩ
もう少し詳しく光線の広がり具合を観察すると、
ＳをΩで出た光子の集団の運動を、位置（Ｘ、Ｓ）と
運動量（Ｐ，Ω）の位相空間の中で考える。
実空間（Ｓ）で広がる。 ⇔ 運動量空間（Ω）で絞られる。（ＳΩ＝一定）
S
S1
S0
X１
Ω0
Ω
Ω1
位相密度 f(x,p) は経路に沿って不変（Liouvilleの定理）
X
１．３． 体積輻射率ε
インテンシティ I のソースはどこか？
１） 壁
I2＝I１
I1
２） 途中からの輻射の集積
I２
I2 ＝∫ｄI
途中からの輻射の寄与をもう少し丁寧に考える。
４πεｄＶ＝体積ｄＶからの輻射エネルギー発生率
（ε＝体積輻射係数）
ｄΩ
ｄｓ＝Ｘ２ｄΩ
ｄＳ
ｄＸ
ｄω
Ｘ
ｄＳから視線方向Ｘの地点での、体積輻射係数をεとする。ｄＳから見て、ｄΩに含ま
れる体積ｄＶ＝ｄｓｄＸ＝Ｘ２ｄΩｄＸ内の各点からｄＳを見込む角は ｄω＝ｄＳ/Ｘ２
したがって、ｄＶからｄＳを通ってｄΩに放出されるエネルギー率は、
（４πεｄＶ）（ｄω/４π）＝（４πεＸ２ｄΩｄＸ）（ｄＳ/ ４πＸ２）＝εｄＸｄＳｄΩ。
この式を見ると、ｄX部分からのIへの寄与 ｄI＝εｄX であることが分かる。
したがって、２）の場合は
I=∫ｄI＝∫εｄｘ
コラム密度と輻射強度
このように、微小長さｄＸからＩ（Ｘ）への貢献は、ｄＩ＝ εｄＸ である。
例：恒星
光度（エネルギー総放出率）Ｌの星が数密度ｎで分布している。
体積ｄV内の星の総数＝ｎｄVだから、 ４πεｄV＝ＬｎｄV
ε＝Ln/４π
光度Ｌの星が数密度ｎ（Ｘ）で分布（N=∫ｎ（X)ｄX）しているとする。
数
密
度
高
低
低
高
Nが共通だが、ｎ（X)が異なると、
写真に撮った星の明るさ分布はま
るで違う。写真上の数密度も異な
る。
しかし、Ｉ（Ｘ）＝∫ｄＩ＝ （Ｌ/４π）Ｎ となるので、上の二つの場合のように、密度
分布が異なっていてもＮが等しいと、Ｉ も等しい。写真上では測定した星の総
フラックスが等しいという結果で現れる。
１．４． 輻射強度 Ｉ の簡単な例
（Ａ） 等方的に光る壁（ｎ＝壁の法線ベクトル）
壁の表面XでのIntensity
Ｉ（ｘ，ｋ）＝Io （ｋ・ｎ＞０） 表面輝度（Ｓｕｒｆａｃｅ Ｂｒｉｇｈｔｎｅｓｓ）
＝０ （ｋ・ｎ＜０）
X
k
Y
壁の前面、一定距離の点YでのIntensity
Ｉ（ｙ，ｋ）＝Ｉ（ｘ，ｋ）＝Io （ｋが壁をヒットする時）
＝０
（ｋが壁をヒットしない時）
壁から離れた点 ｙ、 ｚ での輻射強度は？
ｙ
点ｙから見た壁
ｚ
点ｚから見た壁
黄色い部分は小さく見
えるが、そこの色、明る
さは変わらない
壁表面でのフラックス F
（１） F ＝∫I cosθｄΩ
＝∫∫I（θ、φ）cosθsinθｄθｄφ
（２） I（θ、φ）が壁の法線に関して軸対称 （φによらない） と、
F=２π∫I （θ）cosθsinθｄθ
（３） I（θ、φ）が一定 （等方） I=Io な場合、
F=２πIo∫0π/2cosθsinθｄθ
=2πIo∫01μdμ
＝πI0
Fを求める際の∫ｄΩは壁前面なので２πに渡る。しかし、Fの計算には
Iにcosθの重みがかかる（F=∫IcosθｄΩ）ので、＜cosθ＞＝０．５のためF=
２πIoでなく、F=πIoになるのである。
（B） 等方的に光る球面
表面で等方的に光る （I=A) 球面を考える。
球からの距離が変わっても、球の表面方向のインテンシティはI=Aで不変
である。しかし、球を見込む立体角は距離によって変化する。
Ｘ
Ｙ
I(X,θ)
Ｆ（Ｄ)
I(Y,θ)
Ａ
Ａ
０
θo
π/2
０ θo
θ
R
Ｘ
D
π/2
θ
Y
等方的に光る球面によるフラックスFを、距離D離れた点で求めてみよう。
下の計算から分かるように、F＝πIo(R/D)2はR/D<<1といった近似とは関係な
く成立する。
I（R、θ）＝Io
（|θ|＜90°）
Ｒ
I（D、θ）＝Io （ sin θ< R/D )
θ
＝０ (otherwise)
Ｄ
F（D)=∫ I（D、θ）cosθｄΩ
＝２πIo ∫cosθsinθｄθ
＝ ２πIo[sin2θ/２]
＝πIo（R/D )２
（C) 銀河の表面輝度
光度（エネルギー総放出率）Ｌの星が数密度ｎで分布している時、
ε＝Ｌｎである。
例
ＸＹ方向には無限に広がり、Ｚ方向に厚みＤ＝１００ｐｃの平らな銀河を考える。
星の数密度は ｎ＝２ｘ１０２／ｐｃ３、星の光度は太陽と同じで Ｌ＝Ｌｏ とする。
この星団を表面からの高さ、Ｈから観測したときの Intensity Ｉo（θ）を
求めよう。θは真下方向からの角度である。
Ｉ（θ）
Ｈ
１００ｐｃ
θ
前々ページでやったように、Ｉ（θ）＝（Ｌo/４π）Ｎ（θ）
ここに、 Ｎ（θ）＝ｎ・Ｄ/ｃｏｓθ
従って、Ｉ（θ）＝ （Ｌo/４π）ｎ・Ｄ/ｃｏｓθ＝（１０４ /４π）（１ /ｃｏｓθ）（Ｌｏ/ｐｃ２）
５
Ⅰ
（１０３Ｌｏ/ｐｃ２）
Ｉ（θ）にＨ（面までの距離）が
入っていないことに注意せ
よ。
４
３
２
１
０
０
３０
６０
θ(°）
９０
（D) ガス雲の表面輝度
同じガス雲を異なる距離
で観測する。対応する点
でのガスのコラム密度
N=∫ｎｄｘは距離によらな
い。
したがって、観測マップは見かけの
大きさがかわるだけで、表面輝度分
布は同じマップとなる。
（E） 望遠鏡のＦ比
直径Ｄ、焦点距離 ｆ の収差なし単レンズ Ｌ を考える。焦点位置Ｆには天体Ａ
の像Ｂができている。Ｆに置いた画像検出器（写真乾板、ＣＣＤ）が受ける輻射量
を考える。
ｆ
Ｄ
Ｂ
Ｌ
Ａ
Ａからの光はＢ上で円錐状に焦点を結ぶ。円錐の頂角を２θo とすると ｔａｎθo≒ θo
＝Ｄ/２ｆ 、円錐の張る立体角Ωo＝πθo２＝（π/４）（Ｄ/ｆ）２である。
Ｂでの輻射強度 Ｉ´(θ) ＝ Ｉ
（ θ＜θo）
＝ ０ （θo＜θ）でＩ´(θ)＝０である。
Ｂでのフラックス Ｔ＝∫Ｉ´(θ) ｃｏｓθdΩ
＝ （π/４）Ｉ（Ｄ/ｆ）２
つまり、広がった天体画像の表面の明るさはＦ比＝ ｆ/Ｄ で決まる。口径が大きくて
も Ｆ比（通常Ｆと書く）が大きいと画像は暗くなる。
（F) 体積輻射係数εの筒
L
I=∫ｄI＝∫εｄｘ＝εL
この式は、L∞ の時に I∞ となる。
これは正しいだろうか？
A. 銀河バルジ、楕円銀河、球状星団等の恒星密度分布はしばしば
ｎ（ｒ）＝ｎo(ro/r)αと表される。このような星団の表面輝度分布は
I（ｄ）＝Io（(ro/d)α－１と表されることを示し、Ioを求めよ。
n(r)=noexp[－(r/ro)2] の場合はどうか？
Ｂ．太陽光度（Ｌ＝Ｌｏ）の星からなる、半径Ｒ＝１０ｐｃの球対称な星団がある。この
星団を距離Ｄ＝１０ｋｐｃ離れた点から観測し、下のような輝度分布 Ｉ（θ） を得た。
Ｉ＝Ｉｏ［１－（θ／θ ｏ）２］
ここに、Ｉｏ＝３．３６ １０－８ Ｗ／ｍ２、 θ ｏ＝３．４４′、Lo=3.85×１０２６ W
星団内部の恒星密度分布 ｎ（ｒ）を中心からの距離 ｒ の関数として表わせ。
次に、その結果を縦軸 ｎ（個／ｐｃ３）、横軸 ｒ（ｐｃ）のグラフとして図示せよ。
C. 太陽の表面輝度の分布は近似的に、B（φ）＝Bo・[１－０．１×（φ／φｏ）２] と
表せる。これから、太陽の表面上の１点における輻射強度分布 I（θ）を求めよ。
φo=地球から見た太陽中心から縁までの角度。
φ＝地球から見た太陽中心から太陽面上の１点までの角度。
θ＝天頂角