Transcript F：輻射強度
授業の内容 天文学は天体からの光を研究する学問です。 そこでこの授業では、「光」をどう扱うかの基礎を学びます。 授業計画は、 Ａ．水素原子 Ｂ．エネルギー準位 Ｃ．熱平衡 Ｆ．光のインテンシティ Ｇ．黒体輻射 Ｈ．等級 Ｊ．光の伝達式 Ｉ Ｄ．線吸収 Ｅ．連続吸収 Ｉ．色等級図 Ｋ．光の伝達式 ＩＩ Ｌ．星のスペクトル という順で進めます。 最後まで行くと、星のスペクトルがどんな仕組みで決まっているかが判る、 というのが目標です。 ＡからＥまでは光の吸収に関係する物理の話です。Ｆでは光の強さをきちん と定義します。ＧからＩは光の強さを天文学でどう使うかを示します。ＪからＬは 光がガス中を伝わる様子を式に表わし、その式を解いて星のスペクトルを導き ます。それでは、始めましょう。 Ｆ インテンシティ 今回の内容 （Ｆ．１） 色の３原色 光のスペクトルと色の関係を調べます。 （Ｆ．２） 輻射強度(Intensity)の定義 光の強さをきちんと定義する量が輻射強度です。 理解しにくい量なので 丁寧に説明します。 （Ｆ．３） 表面輝度 表面の眩しさが実は輻射強度と同じであることを説明します。 （Ｆ．４） 輻射強度不変の法則。 光源から離れると光は弱くなると感じますが、光の強さを表わす輻射強度 は光源から離れても一定です。何故でしょう？ （Ｆ．５） フラックス フラックスとインテンシティはよく混同される量です。その違いを学びます。 （Ｆ．６） 体積放射率 光を放出する割合は簡単に理解できそうです。しかし、それがインテンシティ とどうつながるかは簡単には判らないでしょう。 （Ｆ．７） 簡単な例 インテンシティ、フラックス、放射率が実際のにどう扱われるかを学びます。 （Ｆ．８） 輻射強度と位相空間密度 2 輻射強度が物理量として何に当たるかを調べます。 Ｆ．１．色の三原色 色の意味 光の色とは何でしょうか？ 我々の目には今教室の景色が映っ ています。 それは、眼に光が入ってくるからで す。下の図にはある点を通過する 光が方向により色々な色を持って いることを示しています。では、光 の色とは何を意味してるのでしょう か？ Ａ 電磁波 １．電気と磁気は互いに作りあうことができます。 （Ａ）電磁石 図のようにコイル電線に電気を流すと磁石ができます。 （Ｂ）発電機 磁石を動かすと間を通る電線に電流が流れます。 Ｎ Ｓ 電線 磁石 電気が動くと磁石がで き、磁石が動くと電気 が起こるのです。 電磁波の原理 このようにして、電気と磁 石のサイクルが真空中を 伝わっていきます。 それを電磁波と呼びます。 （３）下向き電 気が左向き 磁石を作る。 （１）まずこの電 気が次の右向き 磁石を作る。 （２）するとこ の磁石が次 の下向き電 気を作る。 （４）最後に左 向き磁石が 上向き電気を 作る。これで １サイクル １サイクル（同じ矢印がくるまで）の長さ を電磁波の波長と呼びます。 電磁波には繰り返しが 速く、短い波長のものも、 繰り返しがゆっくりして長 い波長のものもあります。 短い波長 長い波長の電磁波 （１） 電磁波が波である。 （２） 波の波長は短いものも長いものもある。 ことが分かりました。 電磁波の中で波長が０．３ー０．７ μｍのものが光と呼ばれています。 μｍはマイクロメートルの略号で、マイクロは百万分の一のことですか ら、1μｍは百万分の一メートルです。 下の図のように波長の短い電磁波は青い光、波長が長い電磁波は赤 い光です。 青：０．４μｍ 緑：０．５μｍ 赤：０．６５μｍ 1 1 1 0 0 0 -1 -1 -1 0 0.5 μｍ 1 0 0.5 μｍ 1 0 0.5 μｍ 1 人間の目が感じる電磁波＝光 一本の光の中には波長が数ｍの電波から、１μｍ程度の我々の 目には3種類の視神経（錐体）があり、下の図のようにそれぞれ 目で感じられる光、数億分の１ｍのＸ線に至る様々な波長の電磁 青、緑、赤い色の電磁波に感度を持っています。 波が含まれています。 Ｓ錐体から脳に信号が行くと青色と認識し、Ｌ錐体からの信号は 赤色と感じられるわけです。 人間の目は異なる波長の電磁波をどう感知するのでしょうか？ 感 度 Ｓ錐体 ０．４μｍ Ｌ錐体 Ｍ錐体 ０．５μｍ ０．６μｍ 波長 ０．７μｍ 1 Ｌ錐体 赤い光 0 -1 0 5 10 15 20 25 Ｍ錐体 1 緑の光 0 赤！ 緑！ 脳 -1 0 5 10 15 20 25 Ｓ錐体 1 青い光 0 -1 0 5 10 15 20 25 青！ ２つの黄色 今までは、3種類の錐体のうち1種類だけが感じた場合でした。 では、赤と緑の中間にある黄色波長の光が来たらどうなるでしょう？ もう一度下の図を見て下さい。 黄色の光が来ると、Ｌ錐体とＭ錐体の2つが感じます。 脳 脳はＬ錐体とＭ錐体の2つから 同じくらいの強さの信号を受け 黄！ ると黄色と感じるのです。 感 度 Ｓ錐体 ０．４μｍ Ｌ錐体 Ｍ錐 体 ０．５μｍ ０．６μｍ 波長 ０．７μｍ すると面白いことができます。 （１）黄色の光（波長０．６μｍ）の代わりに、 （２）緑（波長０．５５μｍ）と赤（波長０．６５μｍ）の波を重ねた光を 目にあててやるのです。 どちらの場合にもＭ錐体とＬ錐体が刺激されます。 すると、脳には同じシグナルが届きますから、 脳は電磁波としては異なる（１）と（２）の 光を区別できません。同じ黄色の光 と感じてしまうのです。 感 度 Ｓ錐体 ０．４μｍ 黄！ Ｌ錐体 Ｍ錐 体 ０．５μｍ 脳 ０．６μｍ ０．７μｍ 波長０．６μｍ（黄）の光 Ｌ錐体 黄 1 0 黄！ 脳 -1 0 μｍ 1 2 3 Ｍ錐体 波長０．５５μ（緑）と０．６５μ（赤）を足した赤緑光 赤 緑 1 1 0 0 -1 -1 0 1 1 2 μｍ 3 0 1 μｍ 2 3 黄！ 0 脳 -1 0 1 μｍ 2 3 下の図のように、普通の光には赤、緑、青の光が様々な割合で 含まれています。 するとそれぞれが目のＬ，Ｍ，Ｓ錐体を刺激するので、脳には3つ のシグナルが色々な強度で伝わってきます。 するとその組み合わせに応じた「色」を脳が感じるのです。 1 1 1 緑の光 赤い光 0 0 0 赤緑の光 -1 -1 0 5 10 15 20 25 -1 0 5 10 15 20 25 0 5 10 1 1 青い光 0 0 赤緑青の光 -1 0 5 10 15 20 25 -1 15 20 25 3色合成 脳の３錐体に送る信号のそれぞれを 赤＝Ｒ 緑＝Ｇ 青＝Ｂ と名付け、その強度を Ｒ＝０から２５５、 Ｇ＝ ０から２５５、 Ｂ＝ ０から２５５ と分割します。 すると、脳に送られるシグナルは（Ｒ，Ｇ，Ｂ）の組み合わせで決まります。組み 合わせの数は２５６３＝約１６００万です。 カラーモニターでは細長いピクセルにＲＧＢの一つを分担させて います。例えばＲピクセルでは Ｒ＝０ Ｒ＝６０ Ｒ＝１２０ Ｒ＝１８０ Ｒ＝２４０ Ｒ＝２５５ ルーペでカラーモニターを見ると細長いピクセル一つづつが ＲＧＢのそれぞれをを分担しているのが観察できます。 ですから、カラーモニターでは3つのピクセルが1組になって、 ＲピクセルはＬ錐体、ＧピクセルはＭ錐体、ＢピクセルはＳ錐体 を刺激する役を受け持っているわけです。 実際に（Ｒ，Ｇ，Ｂ）がいくつの時にどんな色になるか、 ０から２５５まで変えていたのでは大変ですから、 ０，６０，１２０，１８０，２４０と変えたときの色を次に示します。 これだと５×５×５＝１２５種類です。 （Ｒ，Ｇ，Ｂ）で黄色がどう表現されるかを見て下さい。 R=0 R=60 G=0 G=60 G=120 R=120 R=180 R=240 Ｒ B=0 G=180 G=240 B=60 Ｇ B=120 B=1８0 Ｂ B=240 Ｆ．２．輻射強度(Intensity)の定義 光の強さって何でしょう？ 右の図は舞台にスポットライト が当たっているところです。 Ａ点での光は強い。Ｂ点の光 は弱い。と皆さんは判断する と思います。 Ａ Ｂ 大雑把にはそれでよいので す。しかし、もう少し丁寧に見 て下さい。 Ａ点でも舞台の奥の暗い方向から来る光は弱いし、Ｂ点から舞台の上のライトが 当たっている方向を見ると明るい光がやってきます。 ですから、ある点での光の強さを考える時は、ある方向からの光の強さがいくつ かを考えなければなりません。 では、ある方向からの光の強さをどう測ればよいでしょう？ ある点で、ある方向からの光の強さをどう表現するか、またはどう測るか、 皆さんの考えを書いてみて下さい。 ああ 光の強さは各方向毎に違います。方向をΩであらわすと、光の強さ Ｉ は Ω の関 数 Ｉ（Ω） として表わされるはずです。 ですから、ある方向から来る光の強さをどう測るかを決めるのがキーです。 そのために、光電池と筒を用意しました。光電池はその表面に当たる光のエネル ギーを計測できます。筒は求める方向以外の光を遮断するためです。筒の内側の 壁は真っ黒でそこに当たった光は完全に吸収するとします。 下のように筒と光電池を並べ、光電池に当たる光の量を考えます。 光 光電池から筒の中を覗いた図が右下です。光電池から筒先を 覗いた時の立体角（右図の青い部分）をωとします。光電池の 面積をＳとします。すると、光電池が時間Ｔに受ける光エネル ギーＥはω・Ｓ・Ｔに比例します。比例定数を Ｉ とおくと、 E = I・ω・Ｓ・Ｔ 筒 光電池 です。 こうやって、筒をあちこちに向けて光電池の出力を測れば、方向の関数として光の 強度 I(Ω) を決めることができます。 I(Ω) を輻射強度（Intensity）と言います。 光の振動数、位置を指定してこの手続きを繰り返せば、Ｉ（Ω） を Ｉ（Ω, x, ν）に拡 張するのは容易です。 ある振動数の光に対する強度 Ｉ（Ω, ν）を測るにはどうしたらよいですか？ 輻射強度の定義 場所Ｘにある円盤dSを通り、立体角ｄΩ方 向に向かう光線を考えましょう。円盤は立 体角の方向Ωと直交しているとします。 光線全てを描くわけにはいきませんが、右 と下の絵を見て下さい。これらの光線のう ち、振動数がνとν＋ｄνの間、時間が Ｔ と Ｔ + dＴ の間にある光が運ぶエネルギー ｄＥ がいくつになるかを考えます。 ｄＥは ｄＳ、ｄΩ、ｄν、ｄｔ のそれぞれに比 例しますから、 dE =Ｉ（Ω、ν、Ｘ、Ｔ）ｄΩ ｄνｄＳ ｄＴ 上の式に出てくる比例定数 Ｉ（Ω、ν、Ｘ、Ｔ） が輻射強度(Intensity) です。 dS Ｘ Ω dΩ ｄΩ がどれか下の図 に書き込んで下さい。 Ω Ｆ．３． 表面輝度（輻射強度の別名） 前ページの輻射強度の定義の図を光線がやってくる方向へ描きのばします。 Ａ Ω もし、左側に赤い壁があり、Ａ点でΩ方向の輻射強度を測ると、それは壁表面の 明るさを表わします。 それで、輻射強度(Intensity)のことを表面輝度(Surface Brightness)とも呼びます。 左の黄色の壁を色々な距離に置いた筒を通して覗いてみます。 Ａ Ａ点から見た壁 Ｂ Ｂ点から見た壁 手元の紙で筒を作り、壁を覗いて下さい。歩いて壁に近づいた時に壁の明るさが どう変わりますか？ 壁に近づくと、壁の明るさはどう変化するでしょう？明るくなりますか？暗くなりま すか？変わりませんか？ その理由は何だと思いますか？ Ｆ．４． 輻射強度不変の法則 一様に光る円盤dSから放射される光を考えましょう。 ｄＳから輻射強度Ⅰ、立体角ｄΩで放射した光が全てＲ離れた ｄＳ´を輻射強度Ⅰ´、立体角ｄΩ´で通過します。 dE =Ⅰ´ｄＳ´ｄΩ´＝ⅠｄＳｄΩ ｄＳ＝Ｒ２ｄΩ´ ｄＳ´＝Ｒ２ｄΩ ｄΩ´ Ⅰ´Ｒ２ｄΩｄΩ´＝ⅠＲ２ｄΩ´ｄΩ よって、Ⅰ＝Ⅰ´ Ｒ Ⅰ´ Ⅰ dS dS´ dΩ 吸収や散乱の無い時、輻射強度Ⅰは距離によって変化しません。 ここは大事なところです。できたら図を自分で描いてみて下さい。 輻射強度が距離に依存しない、というさっきの証明は判りにくかったかもしれませ ん。では、下のように考えてはどうでしょう。 ＳＡ ｄΩ Ａ ｄΩ ＳＢ Ｂ Ａ点から見た壁 Ｂ点から見た壁 Ａ点とＢ点に筒をおいて壁を覗いてみます。筒にはｄΩの範囲の光が入ってきま す。このｄΩを壁の上まで伸ばすと、図に示すように、Ａ筒ではＳＡ、Ｂ筒ではＳＢに なります。例えばＢ点がＡ点の３倍離れていると、ＳＢ＝９ＳＡ です。 所がＳＡの各点から筒先を見る立体角ωＡ、つまりＡの一点当たりの光の量はＢの 場合より大きくてωＡ＝９ ωＢです。この結果ＳＡωＡ＝ＳＢωＢとなり、どちらの筒に も同じ光量が入ってくるのです。 しかし、「遠くの灯りは暗くみえます」。 これは 「輻射強度が変わらない」 矛盾するのではないでしょうか？ ことと Ｆ. ５．フラックス（Flux） 地面に一枚の板を置きます。この板の所の輻射強度を正午と夕方で示したのが 下の図です。 正午 夕方 空の明るさを同じとします。輻射強度は太陽に相当する「つの」の角度が違うだ けです。しかし、板に当たる、または板を通過する光エネルギーは大分変化し ます。これが夕方になると涼しくなる原因です。 板を通過する光エネルギーを少し丁寧に考えてみましょう。 輻射強度を考えた時には ｄＳ の法線方向は光線の方向Ωは一致させていまし た。今度は二つの方向が違う場合を考えましょう。 最初に定義を少し。（見にくいけれど太字はベクトル） k ＝ 微小面積ｄＳの法線 方向単位ベクトル ｋ k´＝ 光線方向単位ベクトル θ ｋ′ ｄＳ k´方向の輻射強度を Ｉ(k´)とします. k´方向立体角ｄΩの光のエネルギーがdS を単位時間に通過する割合はいくつですか？ 単位時間にdＳを通る光子のエネルギーEを計算してみましょう。 dＳを通る光（k´方向）は法線ｋ（Ω方向）に対し角度（θ）を持ちます。 k´方向の光がdＳを通過するときは、dＳを斜めに見 るので、その有効面積ｄＳ´は θ ｋ ｋ´ ｄＳ´ ＝ dＳ・ｃｏｓθ ＝ （ｋ・ｋ´） dＳ dＳ cosθdＳ ｄＳ・ｋ＝ｄＳ というベクトルで微小面積を表わすと 便利です。すると ｄＳ´ ＝ （ｋ・ｄＳ） dＳを通り、ｄk´方向に流れるエネルギーｄE´ は、 ｄE´＝I´（Ω´）（dＳ・ｋ´）ｄΩ´ ｋ ｋ′ θ ＝ I´（Ω´）（ｄS・ｄΩ´） したがって、全方向からの寄与は E＝∫ｄE´＝∫I´（Ω´）（ｄS・ｄΩ´） ＝ｄS・∫I´（Ω´）ｄΩ´ ＝ｄS・F dΩ´＝ｋ´ｄΩ ´ S=ｋS このように、ある方向を向いた面積 Ｓ を通過する光エネルギーを求めるには、 Ｆ＝∫I（Ω）dΩ＝輻射流束ベクトル＝フラックスベクトル を計算しておき、 ｄＳ との内積を取ればよいのです。 Ｉ（ｋ´） F＝（ｋ・F） もフラックスというので注意。 θ F（ｋ）＝（ｋ・F） ＝ｋ・ ∫I（Ω´）ｄΩ´ dΩ´＝ｋ´ｄΩ´ ＝∫I（Ω´）（ｋ・ｄΩ´） ＝∫I（Ω´）（ｋ・ｋ´）ｄΩ´ ＝∫I（Ω´）ｃｏｓθｄΩ´ Ｆ(ｋ)=ｋ方向の面を通るフラックス =（ｋ・F） =フラックス（輻射流束）ベクトルＦのｋ方向成分 ｄS=ｋdS フラックスとインテンシティ フラックス F インテンシティ I 周波数表示 W/ｍ２/Hz W/ｍ２/Hz/Str. 波長表示 W/ｍ２/ｍμ W/ｍ２/ｍμ/Str. W/ｍ２ W/ｍ２/Str. 全エネルギー表示 と、フラックスとインテンシティは単位としては立体角（Str）当たりかどうかが 違いですが、立体角は無次元なので、実際にはフラックスとインテンシティは 同じ単位で表されます。 天文では、ジャンスキー（Jansky)=Jy＝１０－２６Ｗ/ｍ２/Ｈｚという単位が多用 されます。 星などの点光源に用いられるときはフラックスの意味です。しかし、空の背景 輻射など広がった天体の話で Jansky が現れたら、インテンシティの意味 で使われているから注意が必要です。 Ｆ．６． 体積放射率ε 何もない真空の空間を通る時は、前にやったように、輻射強度 I は不変です。 しかし、どこかで光は生まれたはずです。考えてみると、下の二つのような状 況が可能です。以下では、２）の場合を考えましょう。１）は２）が圧縮された特 殊な場合と看做せます。 １） 壁 I2＝I１ I1 ２） 途中からの輻射の集積 I２ I2 ＝∫ｄI A点でのインテンシティ I への、途中B点での微小区間ｄXからの寄与をもう少し丁 寧に考えてみましょう。 長さ＝ｄX,断面積＝ｄｓの微小体積ｄV=dsdXを考えます。ｄV内で生み出される 光エネルギー率を、４πεｄＶ とします。４πは後での記述の整理のために入れ た定数です。 ε＝体積放射係数と呼びます。４πεｄＶのエネルギーはB点から四方八 方に放出されます。その内、Ａ点でのインテンシティに寄与する割合を考えます。 B点 ｄω ｄΩ A点 ｄｓ＝Ｘ２ｄω Ｘ ｄＳ＝X2ｄΩ ｄω ｄＸ A点に微小面積ｄSを立てます。A点からB点のｄｓを見る立体角＝ｄω＝ｄｓ/Ｘ２ 逆に、B点からｄＳを見込む立体角ｄΩ＝ｄＳ/Ｘ２ ｄV内で発生する輻射（４πεｄＶ）のうち、（ｄΩ/４π）がA点でｄＳを通り、ｄΩの方向に 流れていきます。 ４πεｄＶ ｄｓ＝Ｘ２ｄω ｄＸ Ｘ ｄＳ したがって、ｄＶからｄＳを通ってｄωに放出されるエネルギー率は、 （４πεｄＶ）（ｄΩ/４π）＝（４πεＸ２ｄωｄＸ）（ｄＳ/ ４πＸ２）＝εｄＸｄＳｄω この式を見ると、ｄX部分からの I への寄与ｄIは ｄI＝εｄX です。 したがって、２）の場合は I=∫ｄI＝∫εｄｘ 注意： テキストによっては、ｄV内でのエネルギー放出率をεｄＶとしています。 この場合には ｄI=（ε/ ４π）ｄｘ I=∫ｄI＝∫（ε/ ４π）ｄｘ となります。 ｄΩ Ｆ．７． 簡単な例 （a) 壁表面でのフラックス F 熱輻射は光の一種ですから、壁からの熱放射量がいくつかを考える問題は、 壁の上で 輻射強度 I (θ、φ) が与えられた時、壁面を通るフラックスは幾つか という問題と同じです。 （１）は最も一般的な表式、（２）は軸対称性がある場合、（３）は等方な場合で す。 （１） F ＝∫ I cosθ ｄΩ＝∫∫ I（θ, φ）cosθ sinθ ｄθ ｄφ （２） I（θ、φ）が壁の法線に関して軸対称 （φによらない） と、 F＝２π∫０π/２ I （θ）cosθsinθｄθ＝２π∫０１I （μ）μｄμ （μ＝cosθ） （３） I（θ、φ）が一定 （等方） I= Io な場合、 F = ２π Io ∫0π/2 cosθ sinθ ｄθ = 2π Io ∫01 μ dμ ＝ π I0 Fを求める際の立体角Ωは壁前面なので２πに渡ります。しかし、Fの計算に はI に cosθ の重みがかかる （F = ∫ I cosθ ｄΩ）ので、＜cosθ＞＝０．５ の ため F= ２π Io でなく、 F= π Io になるのです。 （ｂ） 望遠鏡のＦ比 星雲を焦点距離 ｆ、口径Dの望遠鏡で撮影するときに焦点にできる像の明るさ を考えてみましょう。 カメラなどで良く聞く 「Ｆ 比」 は Ｆ = ｆ/Ｄ のことです。 星雲上の点Aの像は焦点位置Bにできます。Bでの画像の明るさはつまり、Ｂで のフラックス強度のことです。 Ｂ I B IA A D 2η （tanη＝D/2f） ｆ A点から輻射強度＝IAで出た光は、Dを通り、輻射強度＝IBでB点に集まります。 輻射強度不変の法則により、IA = IB です。B点でのフラックス F は収束光の立 体角を ω とすると、 ω = π η２ ＝ π (D/2f) ２ なので、 Ｆ = ∫ IB cosθ ｄΩ ≒ IB ω ≒ π IB η２≒ π IA（D/2f)2 ＝ (4/π) (1/Ｆ) 2 IA です。 光学系の Ｆ 比は良く理解しておくと役立つ概念です。以下に少し丁寧に検討を 加えます。 画像の長さ L＝ｆ・θ 焦点距離 ＝ ｆ ｆ θ L 像が大きい 像が小さい tan η＝D/2f＝1/(２F) F比 ＝ F D η ｆ 像が明るい 像が暗い 望遠鏡の画像の大きさは焦点距離 f で決まり、 画像の明るさはF比で決まりま す。 F比 大 F比 小 焦点距離 ｆ 大 焦点距離 ｆ 小 したがってカメラを暗い室内を使うなら、 F 比を下げるのです。カメラの場合は絞 りを広げてレンズの端の方まで使う(Dを増加）ので、ピントはぼけます。 淡い星雲の撮影に口径の大きい望遠鏡を使うことは、もしその F が大きかったら 無意味です。大きなＦの大口径望遠鏡で映らない星雲でも、小さなＦの小口径望 遠鏡は写す事が可能なのは面白いことです。 いくつかの例 すばる望遠鏡 口径＝８ｍ 主焦点（主鏡の焦点）の焦点距離＝１５ｍ F＝15/8＝１．９ 岡山天体物理 観測所 口径＝1.88ｍ 主焦点（主鏡の焦点）の焦点距離＝9.15ｍ F=9.15/1.88=4.9 １．８８ｍ望遠鏡 木曽観測所 口径＝1.05ｍ 主焦点（主鏡の焦点）の焦点距離＝3.3ｍ シュミット望遠鏡 F=3.3/1.05=3.1 ニコン 口径＝３６ｍｍ カメラ標準レンズ F=50/36=1.4 焦点距離＝５０ｍｍ （ｃ） マゼラン雲内の恒星コラム数密度 光度（エネルギー総放出率）Ｌの星が数密度ｎで分布しているとします。 体積ｄV内の星の総数＝ｎｄVですから、 ４πεｄV＝ＬｎｄV ε＝Ln/４π マゼラン雲の面輝度Bを測ったところ、B=１０－５W/m2でした。 マゼラン雲内の星の光度(エネルギー放出率)を太陽の光度の１００倍 Lo＝3.85・102８W とし、途中の光吸収をゼロと仮定すると、 B = ∫（Lo・n/4π） ｄｘ＝（Lo/4π）（n・X） = １０－５W/m2 ですから、 N=（n・X）＝（４π・１０－５/3.85・１０２８）/ｍ２ ＝３．２６・１０－３３/ｍ２ ＝３．２６・１０－３３・（３．０８・１０１６）２/ｐｃ２ ＝３/ｐｃ２ 次ページに示すのは マゼラン雲バーの中心7.8分角のJHK３色画像です。 マゼラン雲までの距離を５０ｋｐｃとすると、１１３ｐｃ四方となります。 この画像に 写っている星は大部分が赤色巨星で１００Loよりは明るく、星の数は１万程度な ので、上の見積もりと大体合います。 大マゼラン雲（LMC） （ｄ） オルバースのパラドックス オルバース（１７５８－１８４０）は、星が地球（太陽）の周りにどこまでも存在する 宇宙を考えました。 星の半径＝Ro、明るさ＝Lo、星の数密度＝ｎ とします。 ｄR R 半径＝R、厚み＝ｄRの球殻 ｄN=４πR2ｄR・ｎ＝球殻中の星の数 S=πRo2＝一つの星の断面積 ω＝S/R2＝π（Ro/R）２ ＝一つの星の立体角 ｄΩ＝ω・ｄN ＝π（Ro/R）２・４πR2ｄR・ｎ ＝４π２Ro２・ｎ・ｄR ＝球殻内の星が空を覆う立体角 Ω(R)=∫０RｄΩ＝４π２Ro２・ｎ・R ＝地球から距離R以内の星全体 が空を覆う立体角 オルバースは、「宇宙が一様で無限であるならΩ（R)が４πとなり全天が太陽表面と 同じ明るさで輝くはずなのに、なぜ夜空は暗いのか」という問題を提唱しました。 この問題を輻射強度Iの言葉で表現してみましょう。 例（ｃ）で見たように、恒星数密度ｎの時ε＝Lo・ｎ/４π だから、地球から距離R以内の恒星による輻射強度は、 I(R) = ∫０R ε ｄR = Lo ・ ｎ ・ R / ４π I(R) は R に比例するので、R が無限大になると I(R) も発散します。 前頁のΩを数値で当ってみると、簡単のためRo=６．９６・１０８ｍ、ｎ＝１/ｐｃ３ とし て、 Ω(R)＝４π２Ro２・ｎ・R＝４π２（６．９６・１０８/３．０８・１０１６）２R（ｐｃ） ＝４π２・５．１１・１０－１６R(pc) Ω(R)＝４πとなるのは、R=６．２３・１０１４ｐｃ＝２．０３・１０１５光年 R=１００億光年＝１０１０光年とすると、 Ω＝４π（１０１０/２．０３１０１５）＝π・１．９７・１０－５＝π・（４．４３・１０－３）２ １′＝π/１８０＝２．９１・１０－４なので、４．４３・１０－３＝１５．２′ 太陽の視半径＝１６′なので、太陽近傍の恒星密度で宇宙が１００億光年まで一様 であったら、夜空は昼間と同じくらいにまでは明るかったでしょう。 Ｆ．8． 輻射強度と位相空間密度(少し難しい話) 光強度はスカラーなのか、何なのか、に戻ると、光強度はスカラーでもベクトルで もありません。分布密度というものです。皆さんはそちらの方になじみがあるでしょ う。両者を対比しながら説明します。 光子（振動数、位置、方向）の分布の２つの表現法 （１） 光子の分布関数（位置、運動量） （２） 輻射強度(インテンシティー) ｆ（ｘ, ｐ） I (x, ν, Ω） 物理 天文 （１） ｆ（ｘ, ｐ） （２） I (x, ν, Ω） ｄN=ｄN´dx ｄE＝I (x, ν, Ω）ｄνdΩｄSdt ＝f(x,p)dxdp ＝位置ｘ、法線方向Ωの微小面 ＝位置ｄｘ、運動量ｄｐの箱内 ｄSを通り、Ω方向立体角ｄΩ の光子の数 に時間ｄｔ内に流れる振動数 下に位相空間の６軸中Ｘ、Ｐｘ、Ｐｙ ｄνの光子エネルギー の３軸だけ描いた図を示します。 x ｆ（ｘ, ｐ）＝位相空間密度 ｄE ｄΩ dx I (x, ν, Ω） ｄN pｙ dpｘ dpｙ ＝輻射強度 (Intensity) pｘ ｄN=f(x,p)d３xd３p ｄＳ ｄE=I (x, ν, Ω）ｄνdΩｄSdt f と I をどうつなぐか？ (1) 分布関数 ｆ を運動量に関し絶対値・角度表示します。 x ｄN´=f(x,p)dp=ｆ(x,|p|,Ω)・p2dpdΩ (２) ｄΩ方向に垂直な微小面をｄSとすると、 ｄｎ＝ｄｔ 内に ｄΩ 方向へｄSを通る光子数 ＝ｄN´・ｃ・ｄS・ｄｔ Pｙ ｄN ｄΩ dx dp （３） ｄE=ｈν・ｄｎ Pｘ I (x, ν, Ω）ｄν・dΩ・ｄS・dt＝ｈν・ｄN´・ｃ・ｄS・ｄｔ ＝ｈν・f(x,|p|,Ω)・p2dp・ｃ・dΩ・ｄS・dt （（４） 光子に対して、ｈν＝ｃ・p だから、dp=(h/c)dν I (x, ν, Ω）=（ｈ４ν３/ｃ２）・f(x,p) 輻射強度(Intensity)は基本的には 光子の位相密度関数 f を立体角表示したものです。 注１： 光子に対しては、ε＝ｈν＝ｃ・p からdp=(h/c)dνなので f(x, p）ｄ3p＝f(x,p)・p2dp・dΩ ＝（ｈ３ν２/ｃ３）・f(x,p)・dν・ｄΩ したがって、 ｇ (x, ν, Ω）＝（ｈ３ν２/ｃ３）・f(x,hν/c) とおくと、 ｄN´=ｇ (x, ν, Ω）・dν・ｄΩ I (x, ν, Ω）＝ε・c・ｇ (x, ν, Ω） 注２： したがって、輻射強度の変化は光子に対するボルツマン方程式で記述されます。 これが輻射輸達方程式です。光子の吸収、放出はボルツマン方程式の衝突項に あたり、吸収、散乱のない輻射は無衝突ボルツマン方程式に相当します。 その場合に成立する「位相密度 ｆ（ｘ、ｐ、ｔ）は軌道に沿って不変である」という Liouvilleの定理は次に述べる輻射強度不変の法則に対応するわけです。 この光線の広がりを、光子の位相密度関数の立場で考えてみましょう。 Ω Ωo So S X 左から右に進む光子の運動を考えます。 位置空間を位置Xとそれに垂直な面 S で表します。運動量空間としては、運動量 Pと運動方向の広がり立体角Ωをとります。 面Ｓoを立体角Ωoで出たN= ｎo・So・Ωo 個の光子の集団が位置Xに達する時、 光子の空間的な広がりSはS=Ωo・X2で与えられ、方向の広がりは Ω＝S/X2 となります。 上図で右へ行くと、矢印の束が細くなるのがそれを表わします。 、 実空間（Ｓ）で広がる。 ⇔ 運動量空間（Ω）で絞られる。（ＳΩ＝一定） 光子の総数N＝ｎ・S・Ωは変わらず、SΩ一定であるから位相密度 ｎ は 不変です。これが光子の運動の最も単純な場合に対するLiouvilleの定理 の一例です。 位相密度ｎは輻射強度Iに比例しますから n=一定 は I=一定 を意味しま す。 つまり、光束が広がると角度が絞られ、光束が縮むと角度が広がる結果、 輻射強度 I は一定に保たれるのです。 S S1 S0 X１ Ω0 Ω Ω1 位相密度 f(x,p) は経路に沿って不変（Liouvilleの定理） X