Transcript 単体表
線形計画法(Linear Programming,LP) 計画を立案する際に、さまざまな制約を受ける。 たとえば、資源の利用量、製造条件、法的規制 など このような制約（条件）のもとで、最適化（利益の 最大化、コストの最小化など）を達成するため の手法。 生産計画問題、混合問題、輸送問題など多くの 適用例がある。 ©ＡＴＳＵＴＯ ＮＩＳＨＩＯ 例題 ある会社で、２種の部品Ａ，Ｂを作っている。 部品を１ロット作るために必要なそれぞれの機械の使用時間は 次の表の通りである。 部品 Ａ Ｂ Ｍ1 ２ １ １００ Ｍ2 １ ２ １２０ Ｍ3 １ 機械 Ｍ4 ロット当りの利益(万円) ４０ １ ３ １日の使用可時間(分) ２ ©ＡＴＳＵＴＯ ＮＩＳＨＩＯ ５５ 例題 最大の利益を得るためには、毎日部品ＡＢを１日何ロットずつ 作ればよいか？ また、そのときの利益は１日いくらか？ １日Ａを ｘ ロット、Ｂを ｙ ロット作るとすると、 部品 Ａ Ｂ Ｍ1 ２ １ １００ Ｍ2 １ ２ １２０ Ｍ3 １ 機械 Ｍ4 ロット当りの利益(万円) 生産ロット数 ４０ １ ３ ｘ １日の使用可能時間(分) ２ ｙ ©ＡＴＳＵＴＯ ＮＩＳＨＩＯ ５５ 制約条件の数式化 制約条件を数式で示すと、 Ｍ1 ： ２ｘ ＋ ｙ ≦ １００ Ｍ2 ： ｘ ＋ ２ｙ ≦ １２０ （制約条件） Ｍ3 ： ｘ ≦ ４０ Ｍ4 ： ｙ ≦ ５５ ただし、ｘ≧０、ｙ≧０ （非負条件） のもとで利益 ｆ（ｒ）＝３ｘ＋２ｙ ＝ Ｚ ⇒ 最大 （目的関数） とするようなｘ、ｙを求める。 ©ＡＴＳＵＴＯ ＮＩＳＨＩＯ 制約条件の数式化 制約条件を数式で示すと、 ２ｘ ＋ ｙ ≦ １００ ・・・ ① ｘ ＋ ２ｙ ≦ １２０ ・・・ ② ｘ ≦ ４０ ・・・ ③ ｙ ≦ ５５ ・・・ ④ ｘ ≧ ０ ・・・・ ⑤ ｙ ≧ ０ ・・・・ ⑥ ｆ（ｒ）＝３ｘ＋２ｙ ・・・・ ⑦ ©ＡＴＳＵＴＯ ＮＩＳＨＩＯ ① ２ｘ ＋ ｙ ≦ １００ より ｙ １００ ｙ＝－２ｘ＋１００ ｘ ０（０，０） ５０ ©ＡＴＳＵＴＯ ＮＩＳＨＩＯ ② ｘ ＋ ２ｙ ≦ １２０ より ｙ １００ ｘ ６０ ｙ＝－ ２ ＋６０ ｘ ０（０，０） ５０ ©ＡＴＳＵＴＯ ＮＩＳＨＩＯ ③ ｘ ≦ ４０ より ｙ ｘ ＝ ４０ １００ ６０ ｘ ０（０，０） ４０ ５０ ©ＡＴＳＵＴＯ ＮＩＳＨＩＯ ④ ｙ ≦ ５５ より ｙ １００ ｙ ＝ ５５ ６０ ５５ ｘ ０（０，０） ４０ ５０ ©ＡＴＳＵＴＯ ＮＩＳＨＩＯ ⑤ ｘ≧０ 、 ⑥ ｙ≧０ より ｙ １００ ６０ ５５ 実行可能 範囲（解） ｘ ０（０，０） ４０ ５０ ©ＡＴＳＵＴＯ ＮＩＳＨＩＯ 目的関数 より ｙ １００ ｙ＝－ ６０ ５５ ２ ３ ｘ＋ ｘ ０（０，０） ４０ ５０ ©ＡＴＳＵＴＯ ＮＩＳＨＩＯ ｚ ２ 最適解 ｙ 実行可能範囲と目的関数の 交わる（接する）点のｘ座標、 ｙ座標が求めるｘ、ｙ。 １００ ６０ ５５ ｙ＝－２ｘ＋１００ と ｘ ｙ＝－ ＋６０ ２ の交点の座標 ｘ ０（０，０） ４０ ５０ ©ＡＴＳＵＴＯ ＮＩＳＨＩＯ 最適解 連立方程式 ｙ ｙ＝－２ｘ＋１００ ｘ ｙ＝－ １００ より ２ ＋６０ ｘ＝２６.７ ６０ ５５ ｙ＝４６.７ Ｃ ∴ Ｚ＝３×２６.７＋２×４６.７ ＝１７３．５ （最大利益） ｘ ０（０，０） ４０ ５０ ©ＡＴＳＵＴＯ ＮＩＳＨＩＯ 実行可能範囲（解）について 点 Ｏ（０，０） ｙ Ｚ＝０ １００ （何も生産しない） 点 Ａ（４０，０） ６０ ５５ Ｚ＝３×４０＝１２０ Ｅ 点 Ｅ（０，５５） Ｚ＝２×５５＝１１０ Ｏ ０（０，０） Ａ ４０ ｘ ５０ ©ＡＴＳＵＴＯ ＮＩＳＨＩＯ グラフによる解法の限界 部品数がＡ、Ｂの２種類の場合はグラフによる 解法が可能であるが、部品数が３種類以上 になると、軸がｘ、ｙ、ｚ、・・・となるためグラフ では解けない。 そこで 単体表（シンプレックス表）を利用する。 ©ＡＴＳＵＴＯ ＮＩＳＨＩＯ ＬＰの輸送型問題への適用 Ⅰ 需要側 Ⅱ Ⅲ 合計 供給側 Ａ ｘ11 ｃ11 ｃ12 Ｂ ｘ22 ｃ22 Ｄ1 ｘ13 Ｓ1 ｘ23 Ｓ2 ｃ13 ｘ21 ｃ２１ 合計 ｘ12 Ｄ2 ｃ：単位あたりの輸送コスト Ｄ：需要量 Ｓ：供給量 ©ＡＴＳＵＴＯ ＮＩＳＨＩＯ ｃ23 Ｄ3 Ｔ ｘ：輸送数量 ∑Ｄ ＝ ∑Ｓ ＝ Ｔ 制約条件 ｘ１１ ＋ ｘ１２ ＋ ｘ１３ ＝ Ｓ１ ｘ２１ ＋ ｘ２２ ＋ ｘ２３ ＝ Ｓ２ ｘ１１ ＋ ｘ２１ ＝ Ｄ１ ｘ１２ ＋ ｘ２２ ＝ Ｄ２ ｘ１３ ＋ ｘ２３ ＝ Ｄ３ ｘ１１ , ｘ１２ , ｘ１３ , ｘ２１ , ｘ２２ , ｘ２３ ≧ ０ Ａ Ｂ Ⅰ Ⅱ Ⅲ ： ： ： ： ： このとき ｘ１１ｃ11 ＋ｘ１２ｃ1２ ＋ｘ１３ｃ1３ ＋ｘ２１ｃ２１ ＋ｘ２２ｃ２２ ＋ｘ２３ｃ２３ ＝ Ｚ を最小にするような ｘ１１ , ｘ１２ , ｘ１３ , ｘ２１ , ｘ２２ , ｘ２３ を求める。 ©ＡＴＳＵＴＯ ＮＩＳＨＩＯ