Transcript 非線形状態空間モデリングと 再帰的再計算

計算推論とアルゴリズムの数理
統計数理研究所 土谷 隆
モデリング・数理・アルゴリズム
物理学・数学・情報科学
世の中に存在する様々なデータ
や情報から有用な知見を得る
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2008/11/14
計算推論とアルゴリズムの数理
最近の研究から
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凸最適化（２次錐計画）を用いたリニアモー
ターカー磁気シールド最適設計問題 (計算
推論＋リスク管理)
再帰的再計算によるスムージング(時間計
算量 vs. 領域計算量)
多項式時間内点法と情報幾何（計算の世
界の複雑さへの微分幾何学的接近法）
（より詳しくは HP http://www.ism.ac.jp/~tsuchiya/ をご訪問下さい。）
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1. 凸最適化を用いた磁気シールド最適
設計問題 （笹川卓氏（鉄道総研）との共同研究）
（目的関数
が小さくなる方向）
凸集合
（許容集合）
（目的関数（線形）の等高線）
最適解（線形目
的関数最小化）
一般には線形とは限らない
が線形な場合が重要
許容解集合の次元：数千から数十万次元
凸最適化問題
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凸最適化（２次錐計画法）によるリニア
モーターカー磁気シールド最適設計
山梨リニア実験線
リニアモーターカー ： 超伝導磁石で浮上，推進
強力な磁場を発生
車体内部をシールドして，内部に磁場がもれない
ようにする．一方，シールドはできるだけ軽くしたい．
→最適設計問題（２次錐計画という凸最適化問題に
定式化） （左の図 http：//www.rtri.or.jp; 右2つの図 http://www.pref.yamanashi.jp/ より）
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内点法と呼ばれる多項式時間
解法を開発、この問題を解くの
に用いた。
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問題の大きさ
主双対変数の数：5007
自由度（yの次元）：1669
計算時間 ： 1.8秒
（反復回数：21）
PentiumⅢ 700MHz
解法の利点：高速で安定しているため、
異なる想定で一万回解いてロバストな
シールドを設計できた。
最適化されたシールドの形
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２．再帰的再計算による新しい(粒子)平
滑化法の実装 （中村和幸氏（統数研 & JST）との共同研究）
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粒子フィルタにおいて、再帰的再計算
による平滑化法の実装を提案。
日経２２５株価データのボラティリティ推
定に適用。
平滑化に用いる粒子を一気に２０倍に
増やし、従来に比べて格段に分解能の
良い平滑化分布の計算が可能になっ
た。
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ボラティリティのスムージング分
布（従来法と新しい方法の比較）
(円)
(円)
Bubble Crash
Black Monday
(日)
(日)
新しい方法による平滑化分布
従来法による平滑化分布
各曲線はボラティリティ事後分布の2.3%, 50%(実線),
97.7%点を示している.
各曲線はボラティリティ事後分布の
2.3%, 15.9%, 50%(実線), 84.1%, 97.7%点を示している.
1987年1月から1990年８月までの日経225株価のボラティリティ平滑化分布 ７
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３．情報幾何と内点法
（小原敦美氏（大阪大学）との共同研究）
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凸最適化のための多項式時間内点法への微分幾何的
アプローチ
『計算複雑度』という『情報科学の複雑さ』と『問題の曲
率』という『幾何学的複雑さ』を結び付けて論じたい。
内点法：中心曲線を辿って最適解を求める。
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計算複雑度を多様体の埋め込み曲率
で表現する
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凸最適化の求解に要する計算量を厳密に微分幾何学的
量（中心曲線上の曲率積分）で表現することに(初めて)
成功。
多項式時間パス追跡法と埋め込み曲率
埋め込み曲率
Central
Trajectory
接続
に関する埋め込み曲率
(共変微分)
Proportional to
Embedding curvature
Predictorcorrector
type algorithm to
follow the central
trajectory
H = 0 on M  M が
自己平行多様体
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