Transcript 発表資料

一般化マクマホン立方体パズルの
問題例生成
原口和也 柿崎幸大 丸岡章
石巻専修大学 理工学部 情報電子工学科
マクマホン立方体
各面が相異なる6色で彩色された単位長の立方体
使える6色は決められているものとする
回転したものも同一とみなすと30通りの彩色
上面に１色固定
側面: (4-1)!=6通り
対面: ５通り
56=30通り
適当な添字を付けてキューブj(=1,...,30)と呼ぶ
最初のマクマホン立方体パズル
モデル
残り29個で長さ2の立方体を作れ
モデルとして与えられたキューブと同じ彩色
内部では同じ色の面同士が接する
Conwayによる解法
本研究で考えるパズル
整数 n2
キューブ集合 S (|S|n3)
モデル（キューブj）
作れるならば
「Sは長さnのキューブjを
構成可能」
キューブ集合Sから長さnの立方体を作れ
モデルとして与えられたキューブjと同じ彩色
内部の色は問わない
関連研究
[Berkove et al., 2008]
n3 ならば任意のキューブ集合 S(|S|n3) から
長さ n のあるキューブを構成可能
S は長さ 2 のキューブ j を構成可能
 長さ n のキューブ j も構成可能
|S|27  S は長さ 2 のあるキューブを構成可能
頂点：3色
(長さ2の解を割当)
辺：2色
2
n
面：1色
研究成果
(n=2)
任意のキューブを構成可能
（万能キューブ集合）
集合の
サイズ
どのキューブも
構成不可能
12
8
キューブ集合の空間
用語の準備：色トリプル
頂点に接する3面の色を
時計回り順に並べた3つ組
開始面によって3通り
同値とみなす
1つのキューブは
8つの色トリプルを持つ
(赤,水色,緑)
構成可能性の判定
キューブ集合Sはキューブjを構成できるか?
Sに含まれるキューブ
キューブjの色トリプル
(赤,水色,緑)
(赤,紫,水色)
(赤,緑,橙)
(赤,橙,紫)
(青,緑,水色)
(青,水色,紫)
...
...
サイズ8のマッチングが存在
 構成可能
(青,橙,緑)
(青,紫,橙)
万能キューブ集合の判定
Sに含まれるキューブ
最小サイズの
万能キューブ集合を
数理計画で求められる
キューブ1の色トリプル
キューブ2の色トリプル
...
...
キューブ30の色トリプル
30個すべての生成部分グラフにおいて
サイズ8のマッチングが存在
 S は万能キューブ集合
Conways tableとの関係
Conways tableとの関係
色トリプルを共有しない
 キューブ構成に使えない
各行/列から2個づつ選ばれることの必要性
5個選ばれる行/列が存在
3, 4個選ばれる行/列が
存在する場合も同様
今後の課題
Conway’s Table における
最小万能キューブ集合の必要十分条件?
各行各列からちょうど2個ずつ（⇒は証明済）
対称行列（not yet）
(n=2)
<27
22
任意のキューブを構成可能
（万能キューブ集合）
?
どのモデルも
構成不可能
12
8
キューブ集合の空間