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「わかりやすいパターン認識」
発表日:5月23日
担当:脇坂恭志郎
第5章 特徴の評価とベイズ誤り確率
5.5 ベイズ誤り確率の推定法
[1] 誤識別率の偏りと分散
[2] ベイズ誤り確率の上限および下限
[1] 誤識別率の偏りと分散①
ベイズ誤り確率
・特徴の評価基準として重要。
・分布が一般に未知である為、直接推定は困難。
定義式からではなく学習パターンに基づいて間接的に
推定する。そのために「偏り」と「分散」を用いる。
・誤識別率の偏りと分散②
パターン集合をχ、χに依存する推定量をS(χ)、真値を
とおく。
S0
・偏り(真値に対する平均推定量の偏り)
―定義: Bias  E{S(  )}  s0

― Bias = 0 →不偏、不偏推定量
―偏りが小さいほど推定量は真値に近い。
・分散(推定値間でのばらつき)
―定義: Var  E{( S(  )  E{ S(  )})2 }
―分散が小さいほど推定量の信頼性が高い。
・誤識別率の偏りと分散③
偏りと分散は、推定量の良さの尺度として用いられる。
また、偏りは学習パターン数が有限である事に起因し、
分散はテストパターン数が有限である事に起因している。
[2] ベイズ誤り確率の上限及び下限①
誤識別率は、一般に学習パターンとテストパターンの関数。
真の分布の集合をPとし、
ベイズ誤り確率は  ( P , P ) と書き表す。
(εの第一引数は学習パターンの分布、第二引数はテストパターン)
ˆ とおくと、
一方、有限個の学習パターンで推定された分布を P
 ( P , P )   ( Pˆ , P )
 ( Pˆ , Pˆ )   ( P , Pˆ )
という二つの不等式が成り立つ。
それぞれの分布が異なると、誤識別率が増加している事が分かる。
ベイズ誤り確率の上限及び下限②
・誤識別率はテストパターンに関して不偏なので、学習パターンと
独立なテストパターンに関する期待値は、真の分布Pでテストした
誤識別率と等しい。
学習パターンと独立なテストパターンの分布を Pˆ  とおくと
Eˆ { ( Pˆ , Pˆ )}   ( Pˆ , P )
P
前出の不等式から、ベイズ誤り確率の上限は、
 ( P, P )  Eˆ { ( Pˆ , Pˆ )}
P
と表せられる。
ベイズ誤り確率の上限及び下限③
同様に、ベイズ誤り確率の下限は、
Eˆ { ( Pˆ , Pˆ )}  Eˆ { ( P, Pˆ )}
P
P
このとき、テストパターンに関する期待値は不偏なので、
右辺は  ( P , P ) と等しくなる。
これまでの式から、
Eˆ { ( Pˆ , Pˆ )}  ( P, P )  Eˆ { ( Pˆ , Pˆ )}
P
という関係式が成り立つ。
P
再代入法(resubstitution
method)
・実際の応用では期待値計算は出来ないので、
誤識別率の下限値、上限値を近似的に求める。
→ベイズ誤り確率推定の下限値は学習パターンで識別部を設計
し、同じ学習パターンでテストして誤識別率を算出するという方法
で近似する。(この方法は学習パターンを識別機に再度入力する
ことから、再代入法、R法と呼ばれる)
ˆ , Pˆ )}} とすると、
{
E
{

(
P
→ベイズ誤り確率推定の上限値を E
Pˆ Pˆ 
要素数が一つとなるように分割するL法が用いられる。
・このように、与えられた有限個のパターンを用いてR法とL法の
挟みうちによりベイズ誤り確率を間接的に推定できる…
(しかし、むやみにパターン数、次元数を増やすと、推定は困難に)