Transcript 理財工学のすすめ～ポートフォリオ理論

理財工学のすすめ
ポートフォリオ理論
～リスクとリターン～
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


投資を行うにあたって誰もが考えるのが､そこから得られ
る収益率である。これは「一定の期間の投資から得られ
る純益を投資金額で割ったもの｣と定義される。
例えば千株70万円で買ったＡ社の株が1年後に90万円
に値上がりし､またこの期間に1万円の配当があったとす
ると、その年間収益率は(手数料を無視すると）
（90－70+１）/70＝30％
となる。投資戦略の良し悪しは、この収益率の大きさで決
まる。


従って、投資家たちはこの値が大きな銘柄を探そうとするが､
株価や配当に与える要因はゴマンとあるし、それらが将来ど
う動くか確実にわからない。
こんなときにどんな基準で投資プランを立てるのがよいのか
数学的に定式化したのがマーコビッツ教授である
マーコビッツの基準

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投資のリスクのものさしとして収益率の標
準偏差を採用
平均収益率は大きいほど望ましい
収益率の標準偏差は小さいほど望ましい
平均・分散モデル
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

市場でｎ種の資産ｓｊ(ｊ＝1，...，Ｎ）が取引されているもの
とし、ｓｊの単位期間あたりの収益率をｒｊとする。ただし、ｒｊ
はある確率分布に従う確率変数であるとする。
いま、ｓｊへの投資比率ｘｊとし、ベクトル
Ｘ＝（ｘ1，…，ｘｎ）
（4.1）
をポートフォリオと呼ぶことにしよう。ポートフォリオｘは
ｎ
Σｘｊ＝1
（4.2）
ｊ＝1
x≧0、 j=1，…，ｎ
の2条件を満足するものとする。
（4.3）

ポートフォリオｘから得られる収益率をＲ(ｘ)と書くと､前節
の説明からも明らかな通り
ｎ

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
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







Ｒ(ｘ)＝ΣＲｊｘｊ
（4.4）
j=1
と書ける。
そこで次に､R(x)の期待値E[R(x)]を一定に保った上で
R(x)の分散を最小化する問題
最小化
Ｖ［Ｒ（ｘ）］
条件
Ｅ［Ｒ（ｘ）］＝ｒ
（4.5）
ｘ∈Ｘ
を考えよう。ここでｒはある実数で
ｎ
Ｘ＝ｘ＝{(x1,…,ｘｎ)｜Σｘｊ＝1，ｘｊ≧0，ｊ＝1，…，ｎ｝ （4.6）
ｊ＝1





この問題（4.5）の最適解をx（r）と書き、ｘ（ｒ）に対応する
収益率の分散を
ν（ｒ）＝V[R(x(r))]
（4.7）
としよう。また
σ（r)＝√ν（ｒ）
と書くことにする。
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
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


右の図はσ（ｒ）を図示したもの
である。投資家はマコービッツ
の基準に従う限り、曲線σ（ｒ）
上のポートフォリオx（ｒ）を選択
するはずである。
σ（ｒ）とｘ（ｒ）はそれぞれ効率的
フロンティア、効率的ポートフォリオと呼ばれている。
投資家の効用はrが大きいほど大きく､σが小さいほど大
きいはずなので、投資家は効用が最大値を取るσ®上の
点Qに対応する比率で投資する。
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
実務上は、ポートフォリオ xには色々な制約が加わる。
例えば､どの株式も10％以上は投資しないとか、日立に
投資しないなら東芝にも投資しない､と言った制約である。
前者は
ｘj≦0.1，ｊ＝1、…，ｎ
後者は
x日立≧x東芝
という式で表すことができる。
平均・分散モデルと2次計画法

問題(4.5)をより具体的に表現する。（4.4）より

ｎ
Ｒ(ｘ)＝ΣＲｊｘｊ

j=1








であったから
ｎ
Ｅ［Ｒ（ｘ）］＝Ｅ［ΣＲｊｘｊ］
j=1
ｎ
＝Ｅ［ΣＲｊ］ｘｊ＝Σrjxj
j=1
（4.9）
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










ｎ
ｎ
Ｖ［Ｒ（ｘ）］＝Ｅ［｛ΣＲｊｘｊ－Ｅ［ ΣＲｊｘｊ］｝2
j=1
ｎ
ｊ＝1
＝Ｅ［｛Σ（Ｒｊ－ｒｊ）ｘｊ｝］ 2
ｊ＝1
ｎ ｎ
＝Ｅ［ΣΣ（Ｒｊ－ｒｊ）（Ｒｋ－ｒｋ）ｘｊｘｋ］
ｊ＝1 ｋ＝1
ｎ ｎ
＝ΣΣＥ[(Ｒｊ－ｒｊ)(Ｒｋ－ｒｋ)]ｘｊｘｋ
ｊ＝1 ｋ＝1
（4.10）

σｊｋ＝Ｅ［（Ｒｊ－ｒｊ）(Ｒｋ－ｒｋ)]
とおくと、（4.5）は

ｎ ｎ


最小化
ｆ(ｘ)＝ΣΣσｊｋｘｊｘｋ
ｊ＝1 ｋ＝1
ｎ



条件
Σｒｊｘｊ＝ｒ

ｊ＝1
ｎ

Σｘｊ＝1，ｘｊ≧0，ｊ＝1，…，ｎ

ｊ＝1


（4.11）
という形にことができる。
（4.12）


この問題は凸２次計画問題と呼ばれる問
題でｎが小さいときはシンプレックス法と似
た方法で解くことができる。
しかし目的関数の係数の数が多くなるので
ｎが１０００を超えると解くのが難しい。
大型２次計画問題のコンパクト分解

ａ．ファクター・モデル

まず、株式に影響を及ぼすと考えられるいくつかのファク
ターＦ1，…，Ｆｋを選択する。
Ｋ個のファクターと収益率との間に
Ｒｊ＝αｊ＋ΣβｊｋＦｋ＋εｊ
（4.13）
という関係が成立すると想定する。εｊ、Ｆｋはすべて独立
な確率変数で
Ｅ［εｊ］＝0， Ｖ[εｊ］＝τｊ2
Ｅ［Ｆｋ］＝0， Ｖ[Ｆｋ]＝νｋ2
νｒｓ＝Ｅ［Ｆｒ．Ｆｓ］
はすべて既知であるとする。このもとで、回帰分析を用い
て定数αｊ、βｊを決めてやる。これが決まると








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






σｊ2＝Ｅ［（Ｒｊ－Ｅ［Ｒｊ］）2］
Ｋ
＝Ｅ[｛ΣβｊｋＦｋ＋εｊ｝ 2 ］
ｋ＝1
Ｋ
＝Ｅ[（ΣβｊｋＦｋ） 2 ］＋τ 2
ｋ＝1
Ｋ Ｋ
＝ΣΣβｊｒβｊｓ＋τｊ2
ｒ＝1 ｓ＝1









σｉｊ＝Ｅ［（Ｒｉ－Ｅ［Ｒｉ］） （Ｒｊ－Ｅ［Ｒｊ］）］
Ｋ
＝Ｅ[（ΣβｉｋＦｋ＋εｉ）（ΣβｊｋＦｋ＋εｊ）］
ｋ＝1
Ｋ
ｋ＝1
Ｋ

＝ΣΣβｉｒβｊｓνｒｓ

Ｋ
＝Ｅ［(ΣβｉｋＦｋ）（ΣβｊｋＦｋ）］


ｋ＝1
Ｋ
＝Ｅ[（ΣβｉｋＦｋ＋ε）（ΣβｊｋＦｋ＋εｊ）］
k＝１
Ｋ Ｋ

Ｋ
ｋ＝1
ｉ≠ｊ
ｒ＝1 ｓ＝1
となる。したがって（4.12）のｆ（ｘ）は

ｎ ｎ
ｎ

ΣΣσijxixj=Σσj 2 xj 2

ｊ＝1ｊ＝1
ｊ＝1
ｎ ｎ ｋ

+ΣΣΣΣβirβjsνｒｓｘｉｘｊ

となるから
ｙ＝Σβｉｒｘｉ，



（4.17）
ｉ＝1ｊ＝1ｒ＝1ｓ＝1


ｋ
ｒ＝1，…，Ｋ （4.18）
とおくと、
ｎ ｎ
ｎ
Ｋ Ｋ

ΣΣσijxixj=Σσi 2 xi 2 ＋ΣΣνｒｓｙｒｙｓ （4.19）

ｉ＝1ｊ＝1

と書ける．この結果（4.12）は
ｉ＝1
ｒ＝1ｓ＝1
ｎ


最小化 Σσi 2 xi 2 ＋ΣΣνｒｓｙｒｙｓ
ｎ


ｊ＝1 ｋ＝1
I=1


Ｋ Ｋ
－Σβｉｒｘｉ＋ｙｒ＝0，
ｒ＝1，…，Ｋ
ｉ＝1
ｎ

Σｒｊｘｊ＝ｒ


ｊ＝1
ｎ

Σｘｊ＝1，ｘｊ≧0，ｊ＝1，…，ｎ

ｊ＝1


となる。
（4.20）




とくにＫ＝1の場合、（4.20）はシャープの１－ファクターモ
デルと呼ばれ､８０年代半ばまで平均・分散モデルの近似
解法として広く利用されてきた。
この問題は変数をｎ+K個含んでいるが、０でない目的関
数の係数はｎ＋Ｋ2個。なのでνが１０００個以上でも解け
る。
しかし、問題もある。ファクターの選び方にコツがいること。
そして、ファクターが少ないと､関係式（4.13）のあてはま
りが悪くなる一方、多すぎるとαｊ，βｊｋの推定に時間がかか
る．



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










b．２次計画問題のコンパクト分解
一組の確率変数（Ｒｊ，Ｒｋ）の独立な実現値（ｒｊｔ，ｒｋｔ），ｔ＝1，
…，ｔが与えられたとき、σｉｊとして標本分散
ｓｊｋ＝Σ(ｒｊｔ－ｒｊ)(ｒｋｔ－ｒｋ)／Ｔ
（4.21）
を使用する．ここでｒｊはＲｊの期待値である．そこで
ｒｊ＝Σｒｊｔ／Ｔ
（4.22）
とおいてσｊｋのかわりにｓｊｋを使うと
ｎ ｎ
ｎ
ｎ
ΣΣσｊｋxｊｘｋ＝ΣΣｓｊｋｘｊｘｋ
ｊ＝1 ｋ=1
ｊ＝1 ｋ＝1
ｎ ｎ
Ｔ
＝ΣΣΣ（ｒｊｔ－ｒｊ）（ｒｋｔ－ｒｋ）ｘｊｘｋ／Ｔ
ｉ＝1ｊ＝1ｔ＝1
Ｔ ｎ
＝ΣΣ｛（ｒｊｔ－ｒｊ）ｘｊ｝2／Ｔ
ｔ＝1ｊ＝1
（4.23）

従って
ｙｔ＝Σ（ｒｊｔ－ｒｊ)ｘｊ､



ｔ＝1，…，Ｔ
（4.24）
とおくと
ｎ ｎ

ΣΣσｊｋｘｊｘｋ＝Σｙｔ2／Ｔ

ｊ＝1ｋ＝1

と書けることわかる
（4.25）

したがって平均・分散モデル（4.12）は
Ｔ


最小化
ｔ＝1

ｎ


Σｙｔ2／Ｔ
条件
ｙｔ－Σ（ｒｊｔ－ｒｊ）ｘｊ＝0、

ｊ＝1
ｎ

Σｒｊｘｊ＝ｒ

ｔ＝1，…，Ｔ

ｊ＝1
ｎ

Σｘｊ＝1， ｘｊ≧0 ｊ＝1，…，ｎ （4.26）

ｊ＝1


というこんぱくとなかたちに表現することができる
問題
（４.12）
（4.20）
（4.26）

変数
ｎ
ｎ+Ｋ
ｎ+Ｔ
制約式
2
Ｋ+２
Ｔ+２
非ゼロ係数
ｎ2+2ｎ
（ｎ+1）Ｋ+Ｋ 2+3ｎ
（ｎ+2）T+2n
上の表は、三つのモデルの変数､制約式､およびモデル
に含まれる非ゼロ係数の個数を表している。
平均・絶対偏差モデル







平均・絶対偏差モデルでは、Ｒ(ｘ)の絶対偏差
ｗ＝［Ｒ（ｘ）］＝Ｅ［｜Ｒ（ｘ）］｜］
（4.27）
すなわち、Ｒ（ｘ）のその平均値Ｅ［Ｒ（ｘ）］からのずれの大
きさの絶対値の平均値を採用し､問題(4．5)の代わりに
最小化
ｗ［Ｒ（ｘ）］
条件
Ｅ［Ｒ（ｘ）］＝ｒ
ｘ∈Ｘ
を解こうというものである

前節同様、Ｒｊの独立な実現値ｒｊｔ，ｔ＝1，…，Ｔを用いて上
の問題を書き直してみよう

Ｔ
ｒｊ＝Ｅ［Ｒｊ］＝Σｒｊｔ／Ｔ

ｔ＝1



（4.29）
とすると
ｎ
ｎ

ｗ［Ｒ（ｘ）］＝Ｅ［｜ΣＲｊｘｊ－Ｅ［ΣＲｊｘｊ］｜］

ｊ＝1




ｊ＝1
＝Ｅ［｜Σ（Ｒｊ－ｒｊ）ｘｊ｜］ （4.30）
となるが、前節同様Ｒｊ＝ｒｊｔとなる確率を1／Ｔであるとし
て
ｗ［Ｒ（ｘ）］＝Σ｜Σｒｊｔ－ｒｊ）ｘｊ｜／Ｔ （4.31）
となる。これにより（4.28）は
Ｔ


最小化
ｔ＝1

ｎ


条件
ｕｔ＝Σ（ｒｊｔ－ｒｊ）ｘｊ，
ｔ＝1，…，Ｔ
ｊ＝1
ｎ


Σｒｊｘｊ＝ｒ

ｊ＝1
ｎ


Σｘｊ＝1， ｘｊ≧0， ｊ＝1，…，ｎ

ｊ＝1


Σ｜ｕｔ｜／Ｔ
と書ける





そこで以下では、この問題が線形計画問題に変換できる
ことを示そう。まず、任意の実数の二つの非負実数の差
としてかけることを利用して
ｕｔ＝ｙｔ－ｚｔ， ｙｔ≧0， ｚｔ≧0， ｙｔｚｔ＝0， ｔ＝1，…，Ｔ
とおくと
｜ｕｔ｜＝ｙｔ＋ｚｔ， ｔ＝1，…，Ｔ
と表現できる。したがって（4.32）は
Ｔ


最小化
Σｙｔ＋Σｚｔ
ｔ＝1



条件
Ｔ
ｔ＝1
ｎ
ｙｔ－ｚｔ－Σ（ｒｊｔ－ｒｊ）ｘｊ＝0、
ｔ＝1，…，Ｔ
ｊ＝1

ｎ


Σｒｊｘｊ＝ｒ


ｊ＝1
ｎ

Σｘｊ＝1， ｘｊ≧0， ｊ＝1，…，Ｔ
ｊ＝1

ｙｔ≧0，ｚｔ≧0，ｙｔｚｔ＝0， ｔ＝1，…，Ｔ


（4.33）
と等価になる



定理4．1 問題（4.32）で条件ｙｔｚｔ＝0， ｔ
＝1，…Ｔを削除した線形計画問題をシン
プレックス法で解くと、その最適解はｙｔｚｔ＝
0、ｔ＝1，…，Ｔを満たす。
ここでさらにΣｕｔ＝0になる関係を用いると、
問題(4．32)の最適解は次の線形計画問
題を解くことによって求められる
Ｔ


最小化

2Σｙｔ／Ｔ
ｔ＝1
ｎ


条件
ｙｔ≧Σ（ｒｊｔ－ｒｊ）ｘｊ，









ｔ＝1，…，Ｔ
ｊ＝1
ｎ
Σｒｊｘｊ＝ｒ
ｊ＝1
ｎ
Σｘｊ＝1
ｊ＝1
ｘｊ≧0，
ｙｔ≧0，
ｊ＝1，…，ｎ
ｔ＝1，…，Ｔ
（4.34）

線形計画問題（4.34）と前節で導いた問題
(4．26)は大変良く似た形になっている。し
かし、せんけいけいかくもんだい（4.34）は
2次計画問題(4．20)または(4．26)より解き
やすい問題なので、平均絶対偏差モデル
(ＭＡＤモデル)は平均分散モデル（ＭＶモデ
ル)より大規模な問題を扱うことができるも
のと考えられる。
種々のモデルの比較

実際の株式データを用いて､ＭＶモデル(4．
26)､ＭＡＤモデル（4.34）、1－ファクター・モ
デル((4．20)でｋ＝1とおいたもの)を比較
検討してみよう。用いたデータは、東京証
券市場を代表する日系225銘柄からＮＴＴ
株を取り除いた224銘柄に関する1982年1
月から1986年12月までの5年間の月次収
益率である。また1－ファクター・モデルの
ファクターとしては､ＧＮＰを採用した。
ポートフォリオに含まれる銘柄と投資比率の順位
銘柄
P2
P1
P2(1)
銘柄
P2
極洋
23
日電装
帝石
13
25
湯浅電
佐藤工
12
13
19 トヨタ
飛鳥建
4
13
3 ニコン
フジタ
25
1
リコー
鉄建
14
24
シチズン
森永
17
16 ヤマハ
合同酒
7
21
9 松坂屋
山之内
15
8
18 第一勧銀
大日薬
8
14
東銀
東燃
9
全日空
ガイシ
20
東ガス
日本電工
24
22 松竹
三井金
10
30 東宝
住友鉱
22
15
日活
日電気
19
11
P1
1
17
9
5
18
16
11
20
6
2
3
21
P2(1)
23
5
1
6
3
26
16
22
2
12
4
2
7
18
10
7
4

表は1月あたりの期待収益率ｒを2．5％に固定してＭＶモ
デル、ＭＡＤモデル、1－ファクター・モデルを解いて得ら
れるポートフォリオにおいて投資比率ｘｊが正の値をとる銘
柄名と、投資比率を大きい順にランキング結果を表して
いる。MVポートフォリオＰ2とMADポートフォリオＰ1はど
ちらも25~26銘柄で構成されており、投資比率の大きい
ほうからベストテンを取ると、そのうちの9銘柄が一致して
いる。これに比べると1－ファクター・モデルはほかの二
つとは大きく違っている。リスクはMVオートフォリオの2倍
に達する．