Transcript 5週目資料（時間応答（2））

第6週：
時間応答（2）
1/12
２次系
高次系
むだ時間系
TUT, System & Control laboratory
2/12
今週の授業の目的
今週の大きな目的
２次系でのインパルス応答，インディシャル応答について学
ぶ．また，高次系，むだ時間系についても学ぶ．今週の授業
内容も，実対象の応答をシミュレーション，解析する際に利
用できる．
 ２次系の実例を学ぶ
 ２次系のインパルス応答，インディシャル応答について学ぶ
 高次系について学ぶ
 むだ時間系について学ぶ
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3/12
２次系（機械モデルによる一例）
Kn 2
G(s)  2
2
s  2n s  n
x(t)
m
c
f(t)
k
(1/ m)
G(s)  2
s  (c / m)s  (k / m)
k
n 
m
2
k
n 
m
c
2n 
m
k c
2

m m
c
 
2 km
1
Kn 
m
k 1
K 
m m
1
K 
k
2
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２次系（インパルス応答）（１）
減衰係数が 0<<1 の場合，
伝達関数
y(t )  L1[Y (s)]
Kn 2
G(s)  2
2
s  2n s  n
入力信号
出力のs領域
出力の時間領域
U (s)  1
 1   2n  n / 1   2 
 L K
2
2
2
 s  n   1   n 
1
K

n
 t
2
e
sin
1


nt
2
1 
n

Y (s)  G(s)U (s)
Kn 2
 2
s  2n s  n 2
課題１：
出力の時間領域の応答を導出すること．
（導出過程を丁寧に記述すること）
1   2n  n / 1   2
K
2
2
2
s  n   1   n
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２次系（インパルス応答）（２）
減衰係数が 0<<1 の場合，

減衰係数が =1 の場合，
n
 t
2
y(t )  K
e
sin
1


nt
2
1 
n
y(t)
K

y(t )  Kn 2tent
y(t)
n
 t
e
1  2
n
0
t
n
 t
K
e
1  2
0
n
t
y(t)
減衰係数が >1 の場合，

Kn nt n
y(t ) 
e
e
2
2  1
 2 1t
e
n  2 1t

0
t
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２次系（インディシャル応答）（１）
減衰係数が 0<<1 の場合，
伝達関数
Kn 2
G(s)  2
2
s  2n s  n
入力信号
U ( s) 
1
s
出力のs領域
Y (s)  G(s)U (s)
Kn 2
1
 2
s  2n s  n 2 s
 s  2n
1
 2
2 
s  2n s  n s


2
2
1


(
s


)


/
1




1



n
n
n
n

 K  
2 
2
2
2
2
2

s


(
s


)

(
1


)


s




1



n
n
n
n


２次系（インディシャル応答）（２）
減衰係数が 0<<1 の場合，
出力のs領域
Y (s)  G(s)U (s)
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課題２：
出力の時間領域の応答を導出す
ること．（導出過程を丁寧に記述
すること）


2
2
1


(
s


)


/
1




1



n
n
n
n

 K  
2 
2
2
2
2
2
s  n   1  n 
 s (s  n )  (1   )n
出力の時間領域
y(t )  L1[Y (s)]





nt 
2
2

 K 1  e  cos 1   nt 
sin
1


nt
2
1 


特に，減衰係数が =0 の場合，
y(t )  K 1  cos(nt )




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２次系（インディシャル応答）（３）
減衰係数が =1 の場合，
伝達関数
Kn 2
Kn 2
G(s)  2
2 
2
s  2n s  n s  n 
入力信号
出力のs領域
U ( s) 
1
s
出力の時間領域
y(t )  L1[Y (s)]
 K 1  (1  nt )ent 
Y (s)  G(s)U (s)
Kn 2 1

s  n 2 s
1

1 
n

 K  
2 
 s s  n  s  n 
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２次系（インディシャル応答）（４）
減衰係数が >1 の場合，
出力の時間領域
y(t )  L1[Y (s)]
伝達関数
Kn 2
G(s)  2
2
s  2n s  n
入力信号
U ( s) 
出力のs領域
1
s


 1 ent
n
2
 K 1 





1
e
2
2

1



    1 e
2
n  2 1t
 2 1t

Y (s)  G(s)U (s)
Kn 2
1
 2
s  2n s  n 2 s


 



 1     2 1 / 2  2 1    2 1 / 2  2 1 

 K  

2
2

s
s






1

s






1


n
n
n
n 



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２次系（インディシャル応答）（５）
減衰係数が 0<<1 の場合，





nt 
2
2

y(t )  K 1  e  cos 1   nt 
sin
1


nt
2
1 


減衰係数が =1 の場合，




y(t )  K 1 (1 nt )ent 
減衰係数が >1 の場合，


 1 ent
n
2
y(t )  K 1 





1
e
2
2

1

 2 1t


    1 e
2
n  2 1t

y(t)
K
=0.1
=0.5
=1
=5
0
t
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高次系
１入力１出力の線形システムは，ai（i=1，2，・・・，n）， aj（j=1，2，・・・，m）を定数
として，一般に次の微分方程式で表される．
an y ( n) (t )  an1 y ( n1) (t )   a1 y (1) (t )  a0 y(t )
 bmu ( m) (t )  bm1u ( m1) (t )   b1u (1) (t )  b0u(t )
ただし
y ( n1) (0)    y (1) (0)  y(0)  u ( m1) (0)    u (1) (0)  u(0)  0
伝達関数
Y (s) bm s m  bm1s m1   b1s  b0
G(s) 

U (s) an s n  an1s n1   a1s  a0
一般にn≧mであり， n＞mのとき厳密にプロパーな伝達関数， n≧mのときプロ
パーな伝達関数と呼ぶ．（制御工学ではn≧mの場合を取り扱う）
伝達関数G(s)において，分母多項式のsの次数が３以上の高次系については，
１次遅れ系，２次遅れ系の合成系としてみなすことができる．
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むだ時間系
信号の伝達に遅れが生じる系．例えば，ネットワークを利用する
ような遠隔制御などのことである．むだ時間L>0とすると，入出力
信号は，
y(t)=u(t-L)
の関係となる．また，伝達関数は以下の式である．
G(s) 
Y (s) sL
e
U ( s)
u(t)
u(t)
入力
0
t
U(s)
出力
e-sL
Y(s)
0
t
L
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