Transcript フィードフォワードとフィードバック制御の応用

第11週： フィードフォワード制御
1/15
制御とは
フィードフォワード制御
逆システム
振動制御と周波数解析、
逆位相法、ハイブリッド制御法
Matlab によるシミュレーション紹介
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2/15
今週の授業の目的
今週の大きな目的
制御工学の概要について改めて学ぶ．また，伝達関数，
ボード線図などをもとに，フィードフォワード制御，フィード
バック制御を学習する．さらに，振動制御やMatlabによるシ
ミュレーション例を学ぶ．今週の授業内容はこれまで学習し
た内容を用いた実際の適用例である．
 制御について学ぶ
 フィードフォワード制御を学ぶ
 フィードバック制御を学ぶ
 振動制御と周波数解析の関係を学ぶ
 Matlabによるシミュレーションの例を知る
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3/13
制御とは
制御とは，「御して制すると書くことから，ある目的に適合するよ
うに，対象とするものに所要の操作を加えること」と定義されてい
る．これを自動的に行うのが自動制御である．
自動制御は自動化によって省力化・無人化を目指すものである．
一連の自動制御装置の中には，頭脳的な働きをする部分があっ
て，そこで計算・判断・指令など制御に必要な処理を行う．この部
分をコントローラと呼ぶ．主にコンピュータが担当する．さらに手足
に相当する装置（アクチュエータ；制御機器）や，目や鼻などの五
感に相当する装置（測定器；センサ）が付随し，これによって制御
対象に所要の操作を行う．制御対象，コントローラ，アクチュエー
タ，センサの各要素は，物と情報の流れをつなぐように一つのシ
ステムを構成し，制御目的を実現するように各要素や，サブシス
テムが統合されている．
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フィードフォワード制御（１）
概念は２回目講義資料で説明．
r
C(=P-1)
P
コントローラ
プラント
y
1  Ts
K
1
P
のとき，コントローラは， C  P 
K
1  Ts
このとき，y=rである．
もし，プラントの値を正しく求めることができず，コントローラがプラ
ントの逆数でなかったら？
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フィードフォワード制御（２）
r
1  TC s
KC
K
1  Ts
コントローラ
プラント
y
プラントの測定誤差や丸め誤差でプラントの真値とコントローラは
下記だったとする．
プラントの真値
K=1
コントローラ
KC=1
TC=1
T=1.05
y
1 s

r 1  1.05s
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フィードフォワード制御（３）
y
1 s

r 1  1.05s
位相[deg]
ゲイン[dB]
1
0
y
r
0.5
-0.5 -3
10
0
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
0
0
1.02
1.01
1
2
3
4
5
6
4
5
6
y
r
拡大図
1
-1
0.99
-2 -3
10
10-2
10-1 100 101
角周波数[rad/s]
102
y=rでないことから，常にゲイン0db
でなく，位相も0degではない．
103
0.98
0
1
2
3
時間
目標値にすぐに，完全に達してい
ない．
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フィードバック制御（１）
そこでフィードバックコントローラとしてPIDコントローラを用いる．
r


1
KP  KI  KD s
s
K
1  Ts
コントローラ
プラント
K K D s 2  K P s  K I 
y
s(1  Ts)

K K D s 2  K P s  K I 
r
1
s(1  Ts)
K K D s 2  K P s  K I 

s1  Ts  K K D s 2  K P s  K I 
K K D s 2  K P s  K I 

K K D  T / K s 2  K P  1/ K s  K I 
y
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フィードバック制御（２）
y
K K D s 2  K P s  K I 

r K K D  T / K s 2  K P  1/ K s  K I 
プラントの真値
K=1
KP=300
コントローラ
KI=150
T=1.05
位相[deg]
ゲイン[dB]
KD=300
0
1
y
r
0.5
-0.05 -3
10
0
10-2
10-1
100
101
102
103
0
0
1.02
1
1.01
-0.1
2
3
4
5
6
4
5
6
y
r
拡大図
1
-0.2 -3
10
10-2
10-1 100 101
角周波数[rad/s]
102
103 0.99
0.98
0
フィードフォワードのボード線図に比べる
と，ゲインは0db，位相も0degに近い．
1
2
3
時間
フィードフォワードに比べ，素早
く目標値に達している．
PID制御の紹介
指令値
r +
KP
e
-
KI s1
d
+ + - +
+
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Km 1
Tms+1 s
y
KD s
荷物の位置
荷物の位置
指令値 r
とびだす可能性
指令値 r
A
B
ひっかかり
t
偏差 e
t
偏差 e
A
一定値を保持
K I  e(t )d
t
0
パワー不足
t
制御入力を増加
de(t )
KD
dt
B
AもBも同一値
t
正の値：制御入力を増加
t
負の値：制御入力を抑制
t
(a)偏差と積分値との関係
(b)偏差と微分値との関係
PID補償器における積分と微分の効果
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フィードフォワード制御とフィードバック制御のまとめ
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フィードフォワード制御
 プラントのモデルがわかっているならば，センサレスで応答のよ
い制御が可能である．
 制御則に含まれない外乱や，プラントの誤差に対応できない．
フィードバック制御
 プラントの誤差や外乱に対応可能である．
 センサを必要とする．
 コントローラの値を大きくすれば応答性はよくなるが，一般的に
プラントへの指令の制約などを有するために，理想的な応答を
得ることはできない．
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振動制御と周波数解析（１）
搬送による搬送物（例えば液体など）の振動は問題となる．これは搬送入力の加
速度によって対象物に慣性力が働き，その力によって振動が発生する．これを題
材にして，プラントのボード線図，入力の周波数解析，入力による振動制御につい
て講義する．
G(s) 
Kn
s 2  2n s  n 2
2
プラントのボード線図
ゲイン[dB]
プラント：２次遅れ系
n=600 rad/s
=0.05
位相[deg]
K=1
20
0
振動を発生させる
-20
周波数帯域
-40
102
101
100
0
103
104
103
102
101
角周波数[rad/s]
104
-90
-180 0
10
プラントのボード線図から，ゲインが0dB以上で
振動を発生させる周波数帯域が確認できる．
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振動制御と周波数解析（２）
入力波形を左下に示す．矩形波と三角波を用いて振動への影響を比較する．また，
入力波形の制約として，最大加速度を10m/s2，矩形波と三角波の入力の２階積分
（位置）が等しくなるようにしている．このため，矩形波の入力波形のほうが早く入
力の終了時間に達している．
入力波形の周波数解析
10
パワースペクトル
入力（加速度）[m/s2]
入力波形
矩形波
三角波
0
矩形波
三角波
3
2
振動を発生させる
周波数帯域
1
-10
0
0.05
時間[s]
0.1
0
0
1000
2000
角周波数[rad/s]
3000
入力波形の周波数解析をしたものを右上に示す．矩形波のほうが高周波数まで
パワースペクトルを有していることが明らかである．また，矩形波のほうが振動を
発生させる周波数帯域にて大きいパワースペクトルを有している．
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振動制御と周波数解析（３）
位置[m]
10
矩形波
三角波
0
-10
0.01
矩形波
三角波
0.005
0
0.01222
矩形波
三角波
0.0122
0.01218
0.1
0.15
0.2
0.25
時間[s]
拡大
矩形波入力終了時間
三角波入力終了時間
0.01
矩形波
三角波
0.005
0
0
拡大位置[m]
目標位置[m]
入力加速度
2
[m/s ]
先の入力を用いたシミュレーションを示す．振動検証のため，入力の２階積分を目
標位置，プラント出力の２階積分を位置として図示する．また，位置は拡大したも
のも示す．
0.1
時間[s]
0.2
入力の終了時間が短いのは矩形波入力であるが，目標位置に早く収束している
のは三角波入力である．振動制御の手法はさまざま挙げられるが，入力波形の工
夫でも振動は抑制できる．
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スペクトルの概念

u(t )  A0   An sinnt 
n1
An ：スペクトル
n：角振動数
ハイブリッド整形法
振動系を含む駆動システムを対象に周波数特性，時間特性の
定量的な設計仕様をハイブリッドに制御系設計に取り込み設計
(Ⅱ)
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅰ)
(Ⅱ)
コントローラ
プラント
ω1 ω２
ω ３ ω４
ハイブリッド整形法
(Ⅰ)：周波数仕様
(Ⅱ)：時間仕様
ノッチフィルタ
s 2  2n s  n 2
G(s) 
2
s  n s  n
0
0
-10
-20
-10
-30
n=10
-40 0
10
n=10
=0.01
=0.1
=0.05
=0.1
101
-20
102 100
n=30
n=50
101
102
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コントローラ設計
コントローラの伝達関数
K P ( s  2 n s   n )
K( s ) 
( Tl s  1 )( s 2   n s   n 2 )
2
2
振動
GS(s)
目標入力
R(s)
制御入力
+
‐
振動プロセス
Y1(s)
位置
K(s)
E(s)
U(S)
コントローラ
GM(s)
モータシステム
プラント : G(s)
Y2(s)
最適化問題の定式化
制御仕様を保証するペナルティ関数
Re[ rcl ]  0
安定性
・閉ループ
・コントローラ
Re[ rK ]  0
KP  0
Kl  0
周波数応答 ・ローパスフィルタ
・ノッチフィルタ
K (  s )  0[dB] l  314[rad/s]
K (  l )  -20[dB]  s  12.3[rad/s]
オーバーシュート量
maxOS  0.001[m]
入力電圧
max u  5[V]
評価関数
min J  Ts  J P
K (s)
Ts : 搬送時間
J P : ペナルティ項
計算手法：シンプレックス法
数回の試行によるJが最小となるKP，Tlの初期シンプレックス
液体搬送振動制御コントローラの解析
TＳ = 2.82[s] max u = 3.0084[V]
max Os = 8.94×10-4 [m]
コントローラのボード線図
タンク搬送の制御
シミュレーション結果
液体搬送制御実験結果
P制御
KP = 36
Ｓ
)
(Same setting time T
提案ハイブリッド整形法
高速で運ぶタンク内の液体の揺れを抑えるには？
① 通常の搬送， ②振動制御した搬送，③振動制御した超高速搬送
振動のダイナミクスと周波数特性
Acceleration
G(s)
Vibration
1
s2
Desired
Position
G
N
G(s)  Gi (s)  
i 1
i 1
Real Position
+
伝達関数 (モード N):
N
+
1st mode
2nd mode
Nth mode
ki
2
ni
s 2  2inis  ni2
1
2 N

3.1 Preshaping制御（入力整形法）
（１）振動モデル
（２）Preshaping 制御の方法
・多重モード制御 ・ロバスト制御
・時変システム制御
（３）正確な位置決めと、振動制御の両立
（４）実装化の手順
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Matlabによるシミュレーション紹介（２）
モータを用いた搬送システムのPID制御を用いた位置決めのシミュ
レーションを示す．
指令値
r +
KP
e
-
KI s1
d
+ + - +
+
Km 1
Tms+1 s
y
KD s
搬送開始
位置
搬送物
搬送終了
位置
搬送開始
位置
搬送物
搬送終了
位置
液体搬送実験
① 固有振動数より遅い周期で振動させる
u1  A1 sin 1t
A1  1, 1  2 1.5  9.42[rad/s]
② 固有振動数より早い周期で振動させる
u 2  A2 sin 2t
A2  1, 2  2  8  50.27[rad/s]
③ 固有振動数と同じ周期で振動させる
u 3  A3 sin 3t
A3  1, 3  2  2  13.07[rad/s]
T1
f1[Hz]
T2
f2[Hz]
T
f[Hz]
液面振動数と同じ周期で動かすことで，共振現象を引き起こし，
液面振動が励起する
液体搬送実験
④液面制振制御
液体・振子（赤色)：固有振動数2.35[Hz] T3=0.21[s]
液体・振子（青色)：固有振動数1.93[Hz] T2=0.26[s]
1
1  K3
K3
1  K3
(3)
1周目：台形波(制御しない場合)
0
1
1  K2
T3
K2
1  K2
2周目：赤色だけを制振する(3)
3周目：青色だけを制振する(2)
time
T2
0
1
D23
(2)
time
D23  (1 K 2)(1  K3 )
K3
D23
4周目：赤色・青色両方を制振する(2,3)
0 T3
K2
D23 K 2 K3
D23
T2 T2  T3
(2,3)
time
２つの異なる対象の場合
高周波数の正弦波入力で容器を振動させた例
低周波数の正弦波入力で容器を振動させた例
共振周波数の正弦波入力で容器を振動させた例
補足資料(実験結果)
30/25
T
T1
f[Hz]
固有周波数
f1[Hz]
速度周波数
f1< f <f2
T
共振する
f[Hz]
T2
f2[Hz]
• 状態空間モデル
(１) 振動モデル
FFT計測
1st mode
G
2nd
mode
1
…
…
Nth
mode
2 N
• 伝達関数モデル
N
G(s)  Gi (s)
i 1
kini2
 2
2
s

2


s


i 1
i ni
ni
N
frequency
 X  AX  Bu

Y  CX
 x1   A1 0  0   x1   B1 
   
 x   B 
x
0
A

0
2
 2   
  2    2 u
              
  
   

x
0
0

A
N   xN   BN 
 N  

 x1 

x 

 y  C1 C2  CN  2 


 

 xN 

1 
 0
 0 
Ai   2
; Bi   2 ;

 ni  2ini 
kini 
Ci  1 0
;
 x0i 
xi   
 x1i 
(2)Preshape 制御
Single Mode:
Input
N=1
k1n21
G(s)  2
s  21n1s  n21
Input
1
K1
time
K1  e
T1 

1
112

n1 1  12
time
Vibration Output
Vibration Output
time
0
T1
time
Preshaping入力の原理と公式
kn2
G(s)  2
s  2n  n2
Input
A1
Aj
A2
…
t1
tj
t2

time
M
f1   Aj e
 (t M t j )
M
 (t M t j )
sin(t jn 1   2 )  0
j 1
f 2   Aj e
j 1
cos(t jn 1   2 )  0
M=2
1
1  Ki
0
Ki  e
Ki
1  Ki
Ti
Ti 
time

 i
1i2

ni 1  i2
A
c
c
e
le
ra
tio
n
Preshaping原理の連続入力への拡張
G s  
T 
T
2

n 1  2




K
T  T
Tb
T
im
e
(
b
)
F
i
r
s
t
i
n
p
u
t
( b) 第1入
力
A
c
c
e
le
ra
tio
n
Tb
T
im
e
(c
)
S
e
c
o
n
d
in
p
u
t
( c) 第2入
力
Tb
T
im
e
(d) (b)と(c)の合成
A
c
c
e
le
ra
tio
n
T
s 2  2n s   n
A
c
c
e
le
ra
tio
n
A
c
c
e
le
ra
tio
n
1
2

n
K  exp 

1  2

Tb
T
im
e
(a) 制振を考慮していない
目標距離搬送のための入力
k n
(d)／(1+K)
Tb
T
im
e
(e) 目標距離にするための修正
ロバスト性の向上化
M
Changing of mass, arm’s
range
f1   Aj e
 (t M t j )
M
 (t M t j )
j 1
f 2   Aj e
j 1
Changing nature frequency,
damping ratio
sin(t jn 1   2 )  0
cos(t jn 1   2 )  0
M
f1
 (t t )
  Aj t j e M j sin(t jn 1   2 )  0
n j 1
M
f 2
 (t t )
  Aj t j e M j cos(t jn 1   2 )  0
n j 1
M=3
2K
1 2K  K 2
1
1 2K  K 2
0
K e
K2
1 2K  K 2
T
2T
T
time


1 2

n 1   2
D23  (1  K2 )(1  K3 )
D123  (1  K1 )(1  K2 )(1  K3 )
Multiple Mode
1
1  K3
1
1  K1
K3
1  K3
0
1
1  K2
T3
time
K2
1  K2
1
D23
K3
D23
0 T3
1
D23
time
0
K3
D23
T3
T2 T2  T3
K3
D123
(2,3
)
time
0
T3
time
K2
D23 K 2 K3
D23
T2
K2
D123
(2,3
)
T2  T3
1
D123
K2
D23 K 2 K3
D23
(1)
T1
0
(2)
T2
0
K1
1  K1
(3)
time
K1
D123
K 2 K3
D123
T2 T2  T3
T1
(1,2,3)
K1K3
D123
T1  T3
K1K2
D123
K1K2 K3
D123
time
T1  T2 T1  T2  T3
制御系設計のための簡易モデル：
振子モデルの導出
振子モデルの運動方程式
L
ml 2  cl 2  mgl  mlu
L
hs  
2
hs
q
h
l
m
伝達関数
c
u
H s ( s)
kn2
G(s) 
 2
U (s) s  2n s  n2
L
k ,
2g
c l

,
2m g
g
n 
l
液面振動固有周波数
R
hs
hs
g
n 
1 tanh(1 )
R
R
g；重力加速度
R；円筒容器の半径
hs；液面高さ
e1；第1種ベッセル関数の1次導関数の
最小正根
シミュレーション条件
amax  5 m / s 2
vmax  1 m / s 2
x 1m
kini2
Gi (s) 
 2
a(s) s  2ini  ni2
 ( s)
First Mode
f1  6 Hz
k1  0.6
1  0.04
K1  1
T1  0.083
Second Mode
f 2  8 Hz
k2  0.3
2  0.04
K2  1
T2  0.062
Third Mode
f3  10 Hz
k3  0.1
3  0.04
K3  1
T3  0.050
1
5
0
0
0.5
1
1.5
2
0.5
0
0
0.5
1
1.5
0
-5
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
0.5
0
1
po si ti o n
po s i ti o n
time
5
2
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
0.5
0
2
1
1
an gl e
an g l e
T3
1
ve l o c i ty
ve l o c i ty
1
0
-1
K3
1  K3
0
time
ac c e l e rati o n
ac c e l e rati o n
0
-5
1
1  K3
Single Mode
0
0.5
1
1.5
2
0
-1
課 題 １
振動完全抑制のためのタンク回
転を用いたアクティブ制振制御
The arm length is long
(previous report)
Without preshaping
With preshaping
レーザセンサ
溶湯搬送・注湯ラインの
最適化・制御
hc(t)
実ライン
建設工事タワークレーン用
『荷振れ防止装置』
実用化事例
荷振れセンサを必要としない制振コントローラにより、旋回起動時・停止時
の旋回スピードを自動制御して吊荷の残留振動を抑制
操作ボックス
指令値の変化に対応
制振コントローラ
インバータ
モータ
共
振
周
波
数
巻上
ロープ長
動作中のロープ長
変化に対応
旋回クレーン
搬送荷物の揺れを測定する
センサが不要
建設工事タワークレーン用荷振れ防止搬送
← 振動制御なし
振動制御あり →
共振（共鳴）教育
揺れない原理を教育に応用→揺れる教育
創
造
的
社
会
教
育
実
り
あ
る
産
学
官
連
携
簡単な制御法
1/15
制御とは
フィードフォワード制御
フィードバック制御
振動制御と周波数解析
Matlab によるシミュレーション紹介
TUT, System & Control laboratory
2/15
今週の授業の目的
今週の大きな目的
制御工学の概要について改めて学ぶ．また，伝達関数，
ボード線図などをもとに，フィードフォワード制御，フィード
バック制御を学習する．さらに，振動制御やMatlabによるシ
ミュレーション例を学ぶ．今週の授業内容はこれまで学習し
た内容を用いた実際の適用例である．
 制御について学ぶ
 フィードフォワード制御を学ぶ
 フィードバック制御を学ぶ
 振動制御と周波数解析の関係を学ぶ
 Matlabによるシミュレーションの例を知る
TUT, System & Control laboratory
3/13
制御とは
制御とは，「御して制すると書くことから，ある目的に適合するよ
うに，対象とするものに所要の操作を加えること」と定義されてい
る．これを自動的に行うのが自動制御である．
自動制御は自動化によって省力化・無人化を目指すものである．
一連の自動制御装置の中には，頭脳的な働きをする部分があっ
て，そこで計算・判断・指令など制御に必要な処理を行う．この部
分をコントローラと呼ぶ．主にコンピュータが担当する．さらに手足
に相当する装置（アクチュエータ；制御機器）や，目や鼻などの五
感に相当する装置（測定器；センサ）が付随し，これによって制御
対象に所要の操作を行う．制御対象，コントローラ，アクチュエー
タ，センサの各要素は，物と情報の流れをつなぐように一つのシ
ステムを構成し，制御目的を実現するように各要素や，サブシス
テムが統合されている．
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4/15
フィードフォワード制御（１）
概念は２回目講義資料で説明．
r
C(=P-1)
P
コントローラ
プラント
y
1  Ts
K
1
P
のとき，コントローラは， C  P 
K
1  Ts
このとき，y=rである．
もし，プラントの値を正しく求めることができず，コントローラがプラ
ントの逆数でなかったら？
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5/15
フィードフォワード制御（２）
r
1  TC s
KC
K
1  Ts
コントローラ
プラント
y
プラントの測定誤差や丸め誤差でプラントの真値とコントローラは
下記だったとする．
プラントの真値
K=1
コントローラ
KC=1
TC=1
T=1.05
y
1 s

r 1  1.05s
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6/15
フィードフォワード制御（３）
y
1 s

r 1  1.05s
位相[deg]
ゲイン[dB]
1
0
y
r
0.5
-0.5 -3
10
0
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
3
0
0
1.02
1.01
1
2
3
4
5
6
4
5
6
y
r
拡大図
1
-1
0.99
-2 -3
10
10-2
10-1 100 101
角周波数[rad/s]
102
y=rでないことから，常にゲイン0db
でなく，位相も0degではない．
103
0.98
0
1
2
3
時間
目標値にすぐに，完全に達してい
ない．
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7/15
フィードバック制御（１）
そこでフィードバックコントローラとしてPIDコントローラを用いる．
r


1
KP  KI  KD s
s
K
1  Ts
コントローラ
プラント
K K D s 2  K P s  K I 
y
s(1  Ts)

K K D s 2  K P s  K I 
r
1
s(1  Ts)
K K D s 2  K P s  K I 

s1  Ts  K K D s 2  K P s  K I 
K K D s 2  K P s  K I 

K K D  T / K s 2  K P  1/ K s  K I 
y
8/15
フィードバック制御（２）
y
K K D s 2  K P s  K I 

r K K D  T / K s 2  K P  1/ K s  K I 
プラントの真値
K=1
KP=300
コントローラ
KI=150
T=1.05
位相[deg]
ゲイン[dB]
KD=300
0
1
y
r
0.5
-0.05 -3
10
0
10-2
10-1
100
101
102
103
0
0
1.02
1
1.01
-0.1
2
3
4
5
6
4
5
6
y
r
拡大図
1
-0.2 -3
10
10-2
10-1 100 101
角周波数[rad/s]
102
103 0.99
0.98
0
フィードフォワードのボード線図に比べる
と，ゲインは0db，位相も0degに近い．
1
2
3
時間
フィードフォワードに比べ，素早
く目標値に達している．
PID制御の紹介
指令値
r +
KP
e
-
KI s1
d
+ + - +
+
15/15
Km 1
Tms+1 s
y
KD s
荷物の位置
荷物の位置
指令値 r
とびだす可能性
指令値 r
A
B
ひっかかり
t
偏差 e
t
偏差 e
A
一定値を保持
K I  e(t )d
t
0
パワー不足
t
制御入力を増加
de(t )
KD
dt
B
AもBも同一値
t
正の値：制御入力を増加
t
負の値：制御入力を抑制
t
(a)偏差と積分値との関係
(b)偏差と微分値との関係
PID補償器における積分と微分の効果
TUT, System & Control laboratory
フィードフォワード制御とフィードバック制御のまとめ
9/15
フィードフォワード制御
 プラントのモデルがわかっているならば，センサレスで応答のよ
い制御が可能である．
 制御則に含まれない外乱や，プラントの誤差に対応できない．
フィードバック制御
 プラントの誤差や外乱に対応可能である．
 センサを必要とする．
 コントローラの値を大きくすれば応答性はよくなるが，一般的に
プラントへの指令の制約などを有するために，理想的な応答を
得ることはできない．
TUT, System & Control laboratory
10/15
振動制御と周波数解析（１）
搬送による搬送物（例えば液体など）の振動は問題となる．これは搬送入力の加
速度によって対象物に慣性力が働き，その力によって振動が発生する．これを題
材にして，プラントのボード線図，入力の周波数解析，入力による振動制御につい
て講義する．
G(s) 
Kn
s 2  2n s  n 2
2
プラントのボード線図
ゲイン[dB]
プラント：２次遅れ系
n=600 rad/s
=0.05
位相[deg]
K=1
20
0
振動を発生させる
-20
周波数帯域
-40
102
101
100
0
103
104
103
102
101
角周波数[rad/s]
104
-90
-180 0
10
プラントのボード線図から，ゲインが0dB以上で
振動を発生させる周波数帯域が確認できる．
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11/15
振動制御と周波数解析（２）
入力波形を左下に示す．矩形波と三角波を用いて振動への影響を比較する．また，
入力波形の制約として，最大加速度を10m/s2，矩形波と三角波の入力の２階積分
（位置）が等しくなるようにしている．このため，矩形波の入力波形のほうが早く入
力の終了時間に達している．
入力波形の周波数解析
10
パワースペクトル
入力（加速度）[m/s2]
入力波形
矩形波
三角波
0
矩形波
三角波
3
2
振動を発生させる
周波数帯域
1
-10
0
0.05
時間[s]
0.1
0
0
1000
2000
角周波数[rad/s]
3000
入力波形の周波数解析をしたものを右上に示す．矩形波のほうが高周波数まで
パワースペクトルを有していることが明らかである．また，矩形波のほうが振動を
発生させる周波数帯域にて大きいパワースペクトルを有している．
TUT, System & Control laboratory
12/15
振動制御と周波数解析（３）
位置[m]
10
矩形波
三角波
0
-10
0.01
矩形波
三角波
0.005
0
0.01222
矩形波
三角波
0.0122
0.01218
0.1
0.15
0.2
0.25
時間[s]
拡大
矩形波入力終了時間
三角波入力終了時間
0.01
矩形波
三角波
0.005
0
0
拡大位置[m]
目標位置[m]
入力加速度
2
[m/s ]
先の入力を用いたシミュレーションを示す．振動検証のため，入力の２階積分を目
標位置，プラント出力の２階積分を位置として図示する．また，位置は拡大したも
のも示す．
0.1
時間[s]
0.2
入力の終了時間が短いのは矩形波入力であるが，目標位置に早く収束している
のは三角波入力である．振動制御の手法はさまざま挙げられるが，入力波形の工
夫でも振動は抑制できる．
TUT, System & Control laboratory
スペクトルの概念

u(t )  A0   An sinnt 
n1
An ：スペクトル
n：角振動数
ハイブリッド整形法
振動系を含む駆動システムを対象に周波数特性，時間特性の
定量的な設計仕様をハイブリッドに制御系設計に取り込み設計
(Ⅱ)
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅰ)
(Ⅱ)
コントローラ
プラント
ω1 ω２
ω ３ ω４
ハイブリッド整形法
(Ⅰ)：周波数仕様
(Ⅱ)：時間仕様
ノッチフィルタ
s 2  2n s  n 2
G(s) 
2
s  n s  n
0
0
-10
-20
-10
-30
n=10
-40 0
10
n=10
=0.01
=0.1
=0.05
=0.1
101
-20
102 100
n=30
n=50
101
102
TUT, System & Control laboratory
コントローラ設計
コントローラの伝達関数
K P ( s  2 n s   n )
K( s ) 
( Tl s  1 )( s 2   n s   n 2 )
2
2
振動
GS(s)
目標入力
R(s)
制御入力
+
‐
振動プロセス
Y1(s)
位置
K(s)
E(s)
U(S)
コントローラ
GM(s)
モータシステム
プラント : G(s)
Y2(s)
最適化問題の定式化
制御仕様を保証するペナルティ関数
Re[ rcl ]  0
安定性
・閉ループ
・コントローラ
Re[ rK ]  0
KP  0
Kl  0
周波数応答 ・ローパスフィルタ
・ノッチフィルタ
K (  s )  0[dB] l  314[rad/s]
K (  l )  -20[dB]  s  12.3[rad/s]
オーバーシュート量
maxOS  0.001[m]
入力電圧
max u  5[V]
評価関数
min J  Ts  J P
K (s)
Ts : 搬送時間
J P : ペナルティ項
計算手法：シンプレックス法
数回の試行によるJが最小となるKP，Tlの初期シンプレックス
液体搬送振動制御コントローラの解析
TＳ = 2.82[s] max u = 3.0084[V]
max Os = 8.94×10-4 [m]
コントローラのボード線図
タンク搬送の制御
シミュレーション結果
液体搬送制御実験結果
P制御
KP = 36
Ｓ
)
(Same setting time T
提案ハイブリッド整形法
高速で運ぶタンク内の液体の揺れを抑えるには？
① 通常の搬送， ②振動制御した搬送，③振動制御した超高速搬送
振動のダイナミクスと周波数特性
Acceleration
G(s)
Vibration
1
s2
Desired
Position
G
N
G(s)  Gi (s)  
i 1
i 1
Real Position
+
伝達関数 (モード N):
N
+
1st mode
2nd mode
Nth mode
ki
2
ni
s 2  2inis  ni2
1
2 N

3.1 Preshaping制御（入力整形法）
（１）振動モデル
（２）Preshaping 制御の方法
・多重モード制御 ・ロバスト制御
・時変システム制御
（３）正確な位置決めと、振動制御の両立
（４）実装化の手順
14/15
Matlabによるシミュレーション紹介（２）
モータを用いた搬送システムのPID制御を用いた位置決めのシミュ
レーションを示す．
指令値
r +
KP
e
-
KI s1
d
+ + - +
+
Km 1
Tms+1 s
y
KD s
搬送開始
位置
搬送物
搬送終了
位置
搬送開始
位置
搬送物
搬送終了
位置
液体搬送実験
① 固有振動数より遅い周期で振動させる
u1  A1 sin 1t
A1  1, 1  2 1.5  9.42[rad/s]
② 固有振動数より早い周期で振動させる
u 2  A2 sin 2t
A2  1, 2  2  8  50.27[rad/s]
③ 固有振動数と同じ周期で振動させる
u 3  A3 sin 3t
A3  1, 3  2  2  13.07[rad/s]
T1
f1[Hz]
T2
f2[Hz]
T
f[Hz]
液面振動数と同じ周期で動かすことで，共振現象を引き起こし，
液面振動が励起する
液体搬送実験
④液面制振制御
液体・振子（赤色)：固有振動数2.35[Hz] T3=0.21[s]
液体・振子（青色)：固有振動数1.93[Hz] T2=0.26[s]
1
1  K3
K3
1  K3
(3)
1周目：台形波(制御しない場合)
0
1
1  K2
T3
K2
1  K2
2周目：赤色だけを制振する(3)
3周目：青色だけを制振する(2)
time
T2
0
1
D23
(2)
time
D23  (1 K 2)(1  K3 )
K3
D23
4周目：赤色・青色両方を制振する(2,3)
0 T3
K2
D23 K 2 K3
D23
T2 T2  T3
(2,3)
time
２つの異なる対象の場合
高周波数の正弦波入力で容器を振動させた例
低周波数の正弦波入力で容器を振動させた例
共振周波数の正弦波入力で容器を振動させた例
補足資料(実験結果)
79/25
T
T1
f[Hz]
固有周波数
f1[Hz]
速度周波数
f1< f <f2
T
共振する
f[Hz]
T2
f2[Hz]
• 状態空間モデル
(１) 振動モデル
FFT計測
1st mode
G
2nd
mode
1
…
…
Nth
mode
2 N
• 伝達関数モデル
N
G(s)  Gi (s)
i 1
kini2
 2
2
s

2


s


i 1
i ni
ni
N
frequency
 X  AX  Bu

Y  CX
 x1   A1 0  0   x1   B1 
   
 x   B 
x
0
A

0
2
 2   
  2    2 u
              
  
   

x
0
0

A
N   xN   BN 
 N  

 x1 

x 

 y  C1 C2  CN  2 


 

 xN 

1 
 0
 0 
Ai   2
; Bi   2 ;

 ni  2ini 
kini 
Ci  1 0
;
 x0i 
xi   
 x1i 
(2)Preshape 制御
Single Mode:
Input
N=1
k1n21
G(s)  2
s  21n1s  n21
Input
1
K1
time
K1  e
T1 

1
112

n1 1  12
time
Vibration Output
Vibration Output
time
0
T1
time
Preshaping入力の原理と公式
kn2
G(s)  2
s  2n  n2
Input
A1
Aj
A2
…
t1
tj
t2

time
M
f1   Aj e
 (t M t j )
M
 (t M t j )
sin(t jn 1   2 )  0
j 1
f 2   Aj e
j 1
cos(t jn 1   2 )  0
M=2
1
1  Ki
0
Ki  e
Ki
1  Ki
Ti
Ti 
time

 i
1i2

ni 1  i2
A
c
c
e
le
ra
tio
n
Preshaping原理の連続入力への拡張
G s  
T 
T
2

n 1  2




K
T  T
Tb
T
im
e
(
b
)
F
i
r
s
t
i
n
p
u
t
( b) 第1入
力
A
c
c
e
le
ra
tio
n
Tb
T
im
e
(c
)
S
e
c
o
n
d
in
p
u
t
( c) 第2入
力
Tb
T
im
e
(d) (b)と(c)の合成
A
c
c
e
le
ra
tio
n
T
s 2  2n s   n
A
c
c
e
le
ra
tio
n
A
c
c
e
le
ra
tio
n
1
2

n
K  exp 

1  2

Tb
T
im
e
(a) 制振を考慮していない
目標距離搬送のための入力
k n
(d)／(1+K)
Tb
T
im
e
(e) 目標距離にするための修正
ロバスト性の向上化
M
Changing of mass, arm’s
range
f1   Aj e
 (t M t j )
M
 (t M t j )
j 1
f 2   Aj e
j 1
Changing nature frequency,
damping ratio
sin(t jn 1   2 )  0
cos(t jn 1   2 )  0
M
f1
 (t t )
  Aj t j e M j sin(t jn 1   2 )  0
n j 1
M
f 2
 (t t )
  Aj t j e M j cos(t jn 1   2 )  0
n j 1
M=3
2K
1 2K  K 2
1
1 2K  K 2
0
K e
K2
1 2K  K 2
T
2T
T
time


1 2

n 1   2
D23  (1  K2 )(1  K3 )
D123  (1  K1 )(1  K2 )(1  K3 )
Multiple Mode
1
1  K3
1
1  K1
K3
1  K3
0
1
1  K2
T3
time
K2
1  K2
1
D23
K3
D23
0 T3
1
D23
time
0
K3
D23
T3
T2 T2  T3
K3
D123
(2,3
)
time
0
T3
time
K2
D23 K 2 K3
D23
T2
K2
D123
(2,3
)
T2  T3
1
D123
K2
D23 K 2 K3
D23
(1)
T1
0
(2)
T2
0
K1
1  K1
(3)
time
K1
D123
K 2 K3
D123
T2 T2  T3
T1
(1,2,3)
K1K3
D123
T1  T3
K1K2
D123
K1K2 K3
D123
time
T1  T2 T1  T2  T3
制御系設計のための簡易モデル：
振子モデルの導出
振子モデルの運動方程式
L
ml 2  cl 2  mgl  mlu
L
hs  
2
hs
q
h
l
m
伝達関数
c
u
H s ( s)
kn2
G(s) 
 2
U (s) s  2n s  n2
L
k ,
2g
c l

,
2m g
g
n 
l
液面振動固有周波数
R
hs
hs
g
n 
1 tanh(1 )
R
R
g；重力加速度
R；円筒容器の半径
hs；液面高さ
e1；第1種ベッセル関数の1次導関数の
最小正根
シミュレーション条件
amax  5 m / s 2
vmax  1 m / s 2
x 1m
kini2
Gi (s) 
 2
a(s) s  2ini  ni2
 ( s)
First Mode
f1  6 Hz
k1  0.6
1  0.04
K1  1
T1  0.083
Second Mode
f 2  8 Hz
k2  0.3
2  0.04
K2  1
T2  0.062
Third Mode
f3  10 Hz
k3  0.1
3  0.04
K3  1
T3  0.050
1
5
0
0
0.5
1
1.5
2
0.5
0
0
0.5
1
1.5
0
-5
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
0.5
0
1
po si ti o n
po s i ti o n
time
5
2
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
0.5
0
2
1
1
an gl e
an g l e
T3
1
ve l o c i ty
ve l o c i ty
1
0
-1
K3
1  K3
0
time
ac c e l e rati o n
ac c e l e rati o n
0
-5
1
1  K3
Single Mode
0
0.5
1
1.5
2
0
-1
課 題 １
振動完全抑制のためのタンク回
転を用いたアクティブ制振制御
The arm length is long
(previous report)
Without preshaping
With preshaping
レーザセンサ
溶湯搬送・注湯ラインの
最適化・制御
hc(t)
実ライン
建設工事タワークレーン用
『荷振れ防止装置』
実用化事例
荷振れセンサを必要としない制振コントローラにより、旋回起動時・停止時
の旋回スピードを自動制御して吊荷の残留振動を抑制
操作ボックス
指令値の変化に対応
制振コントローラ
インバータ
モータ
共
振
周
波
数
巻上
ロープ長
動作中のロープ長
変化に対応
旋回クレーン
搬送荷物の揺れを測定する
センサが不要
建設工事タワークレーン用荷振れ防止搬送
← 振動制御なし
振動制御あり →
共振（共鳴）教育
揺れない原理を教育に応用→揺れる教育
創
造
的
社
会
教
育
実
り
あ
る
産
学
官
連
携