Transcript Lineární funkce-sestavení rovnice

Název a adresa školy
Střední škola zemědělská a přírodovědná Rožnov pod Radhoštěm
nábřeží Dukelských hrdinů 570
756 61 Rožnov pod Radhoštěm
Název operačního programu
OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost
Registrační číslo projektu
Název projektu
Označení vzdělávacího
materiálu
Stupeň a typ vzdělávání
Vzdělávací oblast
Vzdělávací obor
CZ.1.07/1.5.00/34.0441
Využití ICT ve výuce
Název tematické oblasti (sady)
Funkce a jejich využití
Název vzdělávacího materiálu
Lineární funkce II. – sestavení rovnice
Druh učebního materiálu
Prezentace
Prezentace slouží k výkladu a procvičení sestavení rovnice lineární funkce na základě znalosti
bodů náležejících grafu funkce, na základě náčrtu grafu, z praktické slovní úlohy... Lze využít
pro výuku tématu v 1. ročníku i pro opakování s maturitním ročníkem.
Anotace
VY_32_INOVACE_M2.HAN.06
Odborné vzdělávání
Matematické vzdělávání
Matematika
Klíčová slova
Lineární funkce, rovnice, soustava rovnic, koeficienty, graf
Ročník
Typická věková skupina
Autor
Datum zhotovení
I., IV.
16 – 19 let
Mgr. Martina Hanáková
20. 5. 2013
www.zlinskedumy.cz
Základní znalosti pro sestavení
rovnice lineární funkce
Souřadnice zadaných bodů musí
vyhovovat rovnici, tzn. dosadíme
postupně za neznámou x a y –
vytvoříme soustavu dvou rovnic
o neznámých a, b
Předpis (rovnice) LF: 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃
 Jednotlivé funkce se liší hodnotou koeficientů
a, b – nutné při řešení nalézt
Grafem je přímka
 Přímka je dána dvěma různými body –
k sestavení rovnice je třeba znát souřadnice
dvou různých bodů grafu lineární funkce
UKÁZKOVÉ ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
Sestavte rovnici lineární funkce, jejíž graf
prochází body 𝐴 1; −1 , 𝐵 −2; 5

Obecný předpis lineární funkce 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃
𝑨 𝟏; −𝟏 : −𝟏 = 𝟏 ∙ 𝒂 + 𝒃
x
y
Dosadíme postupně
𝑩 −𝟐; 𝟓 : 𝟓 = −𝟐 ∙ 𝒂 + 𝒃
souřadnice bodů
x y
za neznámé x, y –
vytvoříme dvě
 Vyřešíme soustavu dvou rovnic
rovnice
−1 = 𝑎 + 𝑏 /∙ −1
5 = −2𝑎 + 𝑏
1 = −𝑎 − 𝑏
5 = −2𝑎 + 𝑏
6 = −3𝑎
𝑎 = −2

−1 = 𝑎 + 𝑏
−1 = −2 + 𝑏
𝑏=1
Zápis rovnice: 𝐲 = −𝟐𝒙 + 𝟏
Nezapomeňte
zapsat výslednou
rovnici – teprve
toto je výsledek!
Sestavte rovnici lineární funkce, jestliže platí
𝑓 2 = −2, 𝑓 6 = 0
Jedná se o alternativní
𝑨 𝟐; −𝟐
x
y
𝑩 𝟔; 𝟎
zápis k zápisu pomocí
souřadnic
x y
Opět dosadíme postupně
souřadnice za neznámé
x, y – vytvoříme soustavu
rovnic a vyřešíme ji
−2 = 2𝑎 + 𝑏 /∙ −1
0 = 6𝑎 + 𝑏
2 = −2𝑎 − 𝑏
−2 = 2𝑎 + 𝑏
0 = 6𝑎 + 𝑏
1
2 = 4𝑎
−2 = 2 ∙ + 𝑏
2
𝟏
𝒂=
𝟐
𝒃 = −𝟑
𝟏
 Zápis rovnice: 𝐲 = 𝒙 − 𝟑
𝟐
Nezapomeňte
zapsat výslednou
rovnici – teprve
toto je výsledek!
Sestavte rovnici lineární funkce, jestliže
znáte její graf
Z grafu vyčteme
souřadnice dvou různých
bodů, sestavíme soustavu
rovnic a vyřešíme ji
𝑨 𝟎; 𝟑
Pokud jsou hodnoty
jednoznačné, je vhodné zvolit
si k dosazení průsečíky se
souřadnicovými osami
x y
𝑩 𝟏; 𝟏
x y
3=0∙𝑎+𝑏
1=1∙𝑎+𝑏
3=𝑏
1=𝑎+3
𝒂 = −𝟐
𝒃=𝟑

Zápis rovnice: 𝐲 = −𝟐𝒙 + 𝟑
Sestavte předpis funkce, která vyjadřuje závislost
množství spotřebovaného benzínu na počtu
ujetých kilometrů, jestliže na počátku cesty bylo
v nádrži 30 l benzínu a po ujetí 100 km 22 l
benzínu. Po kolika km bude nádrž prázdná?



Množství benzínu klesá přímo úměrně s ujetými
kilometry – jedná se tedy o lineární funkci.
Je nutné nalézt body, pomocí nichž sestavíme rovnici
této funkce. 𝐀 𝟎; 𝟑𝟎 ; 𝑩 𝟏𝟎𝟎; 𝟐𝟐
30 = 0𝑎 + 𝑏 22 = 100𝑎 + 30
𝒃 = 𝟑𝟎
−8 = 100𝑎
𝐲 = −𝟎, 𝟎𝟖𝒙 + 𝟑𝟎
𝒂 = −𝟎, 𝟎𝟖
Prázdná nádrž ⟹ 𝑦 = 0 ⟹ 0 = −0,08𝑥 + 30
𝒙 = 𝟑𝟕𝟓 𝐤𝐦
PŘÍKLADY K PROCVIČENÍ
Př. 1 Sestavte rovnici lineární funkce jejíž graf
prochází body 𝐴 8; 1 , 𝐵 −12; 6 .
Je tato funkce klesající?
𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃
1 = 8𝑎 + 𝑏 /∙ −1
6 = −12𝑎 + 𝑏
−1 = −8𝑎 − 𝑏
6 = −12𝑎 + 𝑏
5 = −20𝑎
𝟏
𝒂=−
1
1=8∙ −
+𝑏
4
1 = −2 + 𝑏
klesající
𝒃=𝟑
funkce
𝟒
𝟏
𝐲=− 𝒙+𝟑
𝟒
Př. 2 Sestavte rovnici lineární funkce jejíž graf
prochází bodem 𝐴 −1; −7 , a protíná
souřadnicovou osu y v hodnotě −4.
Souřadnicovou osu y protíná tzv.
„průsečík s osou y“ a ten má tedy
dle zadání souřadnice 0; −4
−4 = 0𝑎 + 𝑏
𝒃 = −𝟒
−7 = −1𝑎 + 𝑏
−7 = −𝑎 − 4
𝒂=𝟑
𝐲 = 𝟑𝒙 − 𝟒
Nebo si stačí
pamatovat, že
hodnota, v níž graf
lineární funkce
protíná osu y se
rovná koeficientu b
v rovnici lineární
funkce ⟹ 𝑷𝒚 𝟎; 𝒃
Př. 3 Vyberte rovnici lineární funkce, která
odpovídá znázorněnému grafu.
a) y = x + 6
b) y = 6 − x
c) y = −x − 6
d) y = x − 6
Př. 4 Vyberte rovnici lineární funkce, která
odpovídá znázorněnému grafu. Určete její
definiční obor a obor hodnot.
𝑫𝒇 = −𝟔; 𝟏𝟒
𝑯𝒇 = −𝟖; 𝟐
a) y = x − 5
b) y = 2x + 1
c) y = x + 10
d) y =
1
x
2
−5
Př. 5 Doplňte chybějící souřadnice bodů grafu
𝐴 0; 𝑦 , 𝐵 𝑥; −6 lineární funkce, jestliže víte, že
její graf prochází také body 𝐶 2; −8 , 𝐷 6; 4 .

Je nutné sestavit rovnici této
funkce pomocí zadaných bodů C, D:

Dosazením známých souřadnic do
sestavené rovnice určíme chybějící
souřadnice bodů A, B:
Bod A: y = 3 ∙ 0 − 14
𝑦 = −14
𝑨 𝟎; −𝟏𝟒
𝐲 = 𝟑𝒙 − 𝟏𝟒
Bod B: −6 = 3𝑥 − 14
8 = 3𝑥
8
𝑥=
3
𝟖
𝑩 ; −𝟔
𝟑
Použitá literatura

KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled
středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: nakladatelství Petra Velanová, 2006,
239 s. ISBN 978-808-6873-053.

HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro
SOŠ, SOU a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 2011, 415 s. ISBN
978-807-1963-189.

HRUŠKA, Miroslav. Státní maturita z matematiky v testových úlohách
včetně řešení. 1. vyd. Olomouc: Rubico, 2012, 190 s. ISBN 978-80-7346149-2.

Grafy funkcí byly vytvořeny autorkou materiálu v programu GeoGebra
(volně šiřitelný software pro matematiku a geometrii; zdroj: www.geogebra.org)

Kliparty MS Office
Klipart MS Office [cit. 20.5.2013]. Dostupný pod licencí Microsoft Office 2013
na WWW: http://office.microsoft.com/cs-cz/images/