Transcript stáhnout

Slovní úlohy
O pohybu 2
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Jan Syblík.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Slovní úlohy o pohybu
Na začátek zopakujme z fyziky vzorec pro výpočet
průměrné rychlosti:
s
v
t
v je průměrná rychlost v km/h (m/s)
s je ujetá dráha v km (m)
t je čas potřebný k ujetí dráhy s v hodinách (sekundách)
Pro úlohy o pohybu si z tohoto vzorce vyjádříme dráhu, popř. čas
s
v
t

s  vt

s
t
v
Slovní úlohy o pohybu.
Ve slovních úlohách o pohybu lze rozlišit
dva základní typy příkladů:
1. příklad:
Kdy a kde se potkají dva vlaky, které vyjely současně proti sobě
ze stanic A a B vzdálených 60 km, jestliže vlak ze stanice A jel
rychlostí 70 km/h a vlak ze stanice B rychlostí 50 km/h?
2. příklad:
Petr vyšel za babičkou průměrnou rychlostí 5 km/h, za ½ hodiny
za ním vyjel po stejné dráze Honza na kole průměrnou rychlostí
20 km/h. Za kolik minut Honza dohoní Petra a kolik km při tom
ujede?
V čem se tyto dva příklady o pohybu liší?
V 1. příkladu se jedná o pohyb dvou vlaků proti sobě.
V 2. příkladu dohání rychlejší Honza pomalejšího Petra.
Slovní úlohy o pohybu.
Ve slovních úlohách o pohybu lze rozlišit
dva základní typy příkladů:
I) Na střetnutí (objekty se pohybují proti sobě)
II) Na dohánění (rychlejší objekt dohání pomalejší objekt)
Slovní úlohy o pohybu.
II) Úlohy na dohánění (rychlejší objekt dohání pomalejší objekt)
v1
náskok
okamžik výjezdu rychlejšího objektu
s1
v2
místo dohnání
s2
v1 je rychlost pomalejšího objektu
v2 je rychlost rychlejšího objektu
s1 je vzdálenost, kterou urazí pomalejší objekt do místa dohnání
s2 je vzdálenost, kterou urazí rychlejší objekt do místa dohnání
Rovnost ujetých drah
s1 = s2
základní rovnice úloh na dohánění
Slovní úlohy o pohybu - úlohy na dohánění
Př. 1: V 8.00 hod. vyjel z místa A cyklista průměrnou rychlostí 20 km/h. V 10.00 hod.
vyjel z místa A za cyklistou motocyklista průměrnou rychlostí 70 km/h. Za jak dlouho
a v jaké vzdálenosti od A dostihne motocyklista cyklistu?
Provedeme náčrt úlohy:
v1  20km /h
8.00
náskok
okamžik výjezdu rychlejšího motocyklisty v 10.00
s1
v2  70km /h
10.00
místo dohnání
A
s2
v1 je rychlost cyklisty v2 je rychlost motocyklisty
s1 je vzdálenost, kterou urazí cyklista do místa dohnání
s2 je vzdálenost, kterou urazí motocyklista do místa dohnání
Rovnost ujetých drah
s1 = s2
základní rovnice úloh na dohánění
Slovní úlohy o pohybu - úlohy na dohánění
Př. 1: V 8.00 hod. vyjel z místa A cyklista průměrnou rychlostí 20 km/h. V 10.00 hod.
vyjel z místa A za cyklistou motocyklista průměrnou rychlostí 70 km/h. Za jak dlouho
a v jaké vzdálenosti od A dostihne motocyklista cyklistu?
v1  20km /h
náskok
okamžik výjezdu rychlejšího objektu v 10.00
8.00
s1
v2  70km /h
10.00
A
místo dohnání
s2
t2 = t je neznámá doba jízdy motocyklu do dohnání
t1 = t + 2 je doba jízdy cyklisty do dohnání
Vyplníme tabulku:
- známé rychlosti
- neznámé časy
- vypočítáme dráhy s1 a s2
s [km] = v.t
cyklista
motocykl.
Dráhy s1 a s2 dosadíme do rovnice
s1 = s2
s1  20t  2
s2  70t
v [km/h]
t [h]
20
t2
t
70
20t  2  70t
Slovní úlohy o pohybu - úlohy na dohánění
Př. 1: V 8.00 hod. vyjel z místa A cyklista průměrnou rychlostí 20 km/h. V 10.00 hod.
vyjel z místa A za cyklistou motocyklista průměrnou rychlostí 70 km/h. Za jak dlouho
a v jaké vzdálenosti od A dostihne motocyklista cyklistu?
v1  20km /h
8.00
náskok
okamžik výjezdu rychlejšího objektu v 10.00
s1
v2  70km /h
10.00
A
místo dohnání
s2
t2 = t je neznámá doba jízdy motocyklu do dohnání
Rovnici s jednou neznámou t vyřešíme:
20(t + 2) = 70t
20t + 40 = 70t
40 = 50t
t = 4/5 h
t
4
48
h
h  48min
5
60
t je doba jízdy motocyklu do dohnání
Slovní úlohy o pohybu - úlohy na dohánění
Př. 1: V 8.00 hod. vyjel z místa A cyklista průměrnou rychlostí 20 km/h. V 10.00 hod.
vyjel z místa A za cyklistou motocyklista průměrnou rychlostí 70 km/h. Za jak dlouho
a v jaké vzdálenosti od A dostihne motocyklista cyklistu?
v1  20km /h
náskok
8.00
okamžik výjezdu rychlejšího objektu v 10.00
s1
v2  70km /h
10.00
A
s2
Řešením rovnice jsme zjistili dobu jízdy motocyklu do dohnání
Zkouška správnosti:
místo dohnání
t
4
48
h
h  48min
5
60
s1 = 20.4/5 + 20.2 = 16 + 40 = 56 km
Dráha cyklisty do dohnání:
Dráha motocyklisty do dohnání: s2 = 70.4/5 = 56 km
Odpověď:
Motocyklista dostihne cyklistu za 48 minut ve vzdálenosti 56 km od A.
s1 = s2
Slovní úlohy o pohybu - úlohy na dohánění
Př. 2: Petr vyšel za babičkou průměrnou rychlostí 5 km/h, za ½ hodiny za ním vyjel
po stejné dráze Honza na kole průměrnou rychlostí 20 km/h.
Za kolik minut Honza dohoní Petra a kolik km při tom ujede?
v1  5km /h
náskok
okamžik výjezdu Honzy (po ½ hodině)
v2  20km /h
s1
místo dohnání
s2
v1 je rychlost Petra
v2 je rychlost Honzy na kole
s1 je dráha Petra do dohnání
s2 je dráha Honzy do dohnání
t2 = t je neznámá doba jízdy Honzy do dohnání
Vyplníme tabulku:
- známé rychlosti
- neznámé časy
- vypočítáme dráhy s1 a s2
s [km] = v.t
Petr
s1  5t  1/ 2
Honza
s2  20t
Dráhy s1 a s2 dosadíme do rovnice
s1 = s2
v [km/h]
t [h]
5
t  1/ 2
20
t
5t  1/ 2  20t
Slovní úlohy o pohybu - úlohy na dohánění
Př. 2: Petr vyšel za babičkou průměrnou rychlostí 5 km/h, za ½ hodiny za ním vyjel
po stejné dráze Honza na kole průměrnou rychlostí 20 km/h.
Za kolik minut Honza dohoní Petra a kolik km při tom ujede?
t2 = t je neznámá doba jízdy Honzy do dohnání
Rovnici s jednou neznámou t vyřešíme:
5(t + 1/2) = 20t
5t + 2,5 = 20t
2,5 = 15t
t = 2,5/15
2,5
5
10
t
h
h
h  10min
15
30
60
Řešením rovnice jsme zjistili dobu jízdy Honzy do dohnání t 
2,5
5
10
h
h
h  10min
15
30
60
30  10 40 10
1


 3 km
60
12
3
3
10 10
1

 3 km
Dráha Honzy do dohnání: s2  20 
60
3
3
Zkouška správnosti: Dráha Petra do dohnání:
s1  5 
Odpověď:
Honza dostihne Petra za 10 minut a ujede přitom 3 a 1/3 km.
s1 = s2
Slovní úlohy o pohybu
Jednotlivé části slovní úlohy na pohyb:
1. Určit, o jaký typ úlohy jde – na střetnutí,
nebo na dohánění
2. Náčrt úlohy a zvolení neznámé
3. Sestavení rovnice (lze pomocí tabulky)
4. Vyřešení rovnice
5. Zkouška správnosti pro slovní zadání (ne jako
u prostých rovnic L = a P = )
6. Slovní odpověď
Slovní úlohy o pohybu - úlohy na dohánění
Př. 3: V 9.00 hod. vyjel z Prahy po dálnici na Brno kamion rychlostí 70 km/h. Po ujetí
40 km vyrazilo za ním z Prahy vozidlo Celní správy rychlostí 130 km/h.
V kolik hodin a jak daleko od Prahy dostihne auto Celní správy kamion?
náskok 40 km
v1  70km /h
okamžik výjezdu Celní správy
v2  130km /h
s1
místo dohnání
s2
v2 je rychlost Celní správy
v1 je rychlost kamionu
s1 je dráha kamionu do dohnání
s2 je dráha Celní správy do dohnání
t2 = t je neznámá doba jízdy Celní správy do dohnání
Vyplníme tabulku:
- známé rychlosti
- neznámé časy
- vypočítáme dráhy s1 a s2
s [km] = v.t
kamion
Celní spr.
Dráhy s1 a s2 dosadíme do rovnice
s1 = s2
v [km/h]
 40

s1  70
 t
 70

s2  130t
t [h]
70
40
t
70
130
t
 40

70
 t   130t
 70

Slovní úlohy o pohybu - úlohy na dohánění
Př. 3: V 9.00 hod. vyjel z Prahy po dálnici na Brno kamion rychlostí 70 km/h. Po ujetí
40 km vyrazilo za ním z Prahy vozidlo Celní správy rychlostí 130 km/h.
V kolik hodin a jak daleko od Prahy dostihne auto Celní správy kamion?
t2 = t je neznámá doba jízdy Celní správy do dohnání
Rovnici s jednou neznámou t vyřešíme:
 40

70
 t   130t
 70

40 + 70t = 130t
40 = 60t
t = 40/60
40
2
h  h  40min
60
3
40
2
t
h  h  40min
Řešením rovnice jsme zjistili dobu jízdy Celní správy do dohnání
60
3
2 260
2
 86 km
Zkouška správnosti: Dráha kamionu do dohnání: s1  40  70  
3
3
3
s1 = s2
2 260
2
 86 km
Dráha Celní správy do dohnání: s2  130  
3
3
3
Odpověď:
Celní správa dostihne kamion v 9.40 a ujede přitom 86 a 2/3 km.
t
Slovní úlohy o pohybu - úlohy na dohánění
Př. 3: V 9.00 hod. vyjel z Prahy po dálnici na Brno kamion rychlostí 70 km/h. Po ujetí
40 km vyrazilo za ním z Prahy vozidlo Celní správy rychlostí 130 km/h.
V kolik hodin a jak daleko od Prahy dostihne auto Celní správy kamion?
Jiný způsob řešení úlohy: okamžik výjezdu Celní správy
x
náskok 40 km
v1  70km /h
v2  130km /h
= 70∙t
s1
místo dohnání
s2 = 130∙t
v2 je rychlost Celní správy
v1 je rychlost kamionu
s1 je dráha kamionu do dohnání
s2 je dráha Celní správy do dohnání
t je neznámá doba jízdy Celní správy do dohnání
Dráha s2: s2 = v2∙t → po dosazení známé rychlosti v2 → s2 = 130.t
x je dráha, kterou ujede kamion od výjezdu Celní správy do dohnání Tj. za čas t
Dráha s1: s1 = 40 + x → s1 = 40 + v1∙t → po dosazení v1 → s1 = 40 + 70.t
Dráhy s1 a s2 dosadíme do rovnice
s1 = s2
40  70t  130t
Slovní úlohy o pohybu - úlohy na dohánění
Př. 3: V 9.00 hod. vyjel z Prahy po dálnici na Brno kamion rychlostí 70 km/h. Po ujetí
40 km vyrazilo za ním z Prahy vozidlo Celní správy rychlostí 130 km/h.
V kolik hodin a jak daleko od Prahy dostihne auto Celní správy kamion?
t je neznámá doba jízdy Celní správy do dohnání
Rovnici s jednou neznámou t vyřešíme: 40 + 70t = 130t
40 = 60t
t = 40/60
t
40
2
h  h  40min
60
3
2
3
Řešením rovnice jsme zjistili dobu jízdy Celní správy do dohnání t  h  40min
Zkouška správnosti:
2 260
2

 86 km
3
3
3
2 260
2
 86 km
Dráha Celní správy do dohnání: s2  130  
3
3
3
Dráha kamionu do dohnání: s1  40  70 
s1 = s2
Odpověď:
Celní správa dostihne kamion v 9.40 hod. a ujede přitom 86 a 2/3 km.
Slovní úlohy o pohybu – příklady k procvičení.
Nákladní automobil vyjel z místa A rychlostí 60 km/h. Za 1 hodinu 30 minut
za ním vyjelo osobní auto rychlostí 90 km/h.
Za kolik minut dožene osobní auto nákladní a v jaké vzdálenosti od místa A?
s1 = s2
60(t + 1,5) = 90t
t=3h
Slovní úlohy o pohybu – příklady k procvičení.
Děti se vypravily na kolech na chatu vzdálenou 30 km. vyrazily v 8.30 hodin
a jely rychlostí 12 km/h. V 9.00 hodin vyjel za nimi na kole tatínek rychlostí
24 km/h.
V kolik hodin se setkali a jak daleko do chaty to bylo?
s1 = s2
12(t + 0,5) = 24t
t = 0,5 h
Slovní úlohy o pohybu – příklady k procvičení.
V 8 hodin vyjel z Chebu nákladní automobil průměrnou rychlostí 32 km/h.
V 10 hodin vyjel za ním po stejné trase osobní automobil průměrnou
rychlostí 80 km/h.
V kolik hodin a v jaké vzdálenosti od Chebu dožene osobní automobil
nákladní?
s1 = s2
32(t + 2) = 80t
1
t 1 h
3
Na závěr ještě jednou
Jednotlivé části slovní úlohy na pohyb:
1. Určit, o jaký typ úlohy jde – na střetnutí,
nebo na dohánění
2. Náčrt úlohy a zvolení neznámé
3. Sestavení rovnice (lze pomocí tabulky)
4. Vyřešení rovnice
5. Zkouška správnosti pro slovní zadání (ne jako
u prostých rovnic L = a P = )
6. Slovní odpověď