Transcript Slovní úlohy o pohybu - 2. varianta

Slovní úlohy o pohybu
Varianta 2:
Pohyby stejným směrem.
Jak při řešení rovnic postupovat?
1. Pozorně si přečti text úlohy (raději několikrát).
2. Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec
nic, jako neznámou.
3. Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři
všechny ostatní údaje z textu.
4. Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu
úlohy a na jejím základě sestav rovnici
a vyřeš ji.
5. Proveď zkoušku, kterou ověříš, že získané
výsledky vyhovují všem podmínkám úlohy.
6. Napiš odpovědi na otázky zadané úlohy.
Slovní úloha o pohybu – varianta 2.
Touto variantou se myslí úlohy, ve kterých
pohybující se tělesa vycházejí, vyjíždějí, odlétají
ze stejného místa, jen v jiném čase a pohybují se
stejným směrem. Jelikož je těleso vyrážející
později rychlejší, předpokládá se, že těleso první
za určitou dobu dostihne.
A
A
C
B
B
Slovní úloha o pohybu – varianta 2.
Ukázka zadání takové úlohy:
Chodec jde průměrnou rychlostí
4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním
cyklista průměrnou rychlostí
24 km/h. Za jakou dobu předjede
cyklista chodce a kolik kilometrů
přitom ujede?
Slovní úloha o pohybu – varianta 2.
A
B
C
s1
A
B
s2
Tato
rovnost
plynoucí
Obě logická
pohybující
se tělesa
přitom
zurazí
textu
úlohy dráhu,
je i základem
stejnou
a tudíž pro
platí,
sestavení
pro výpočet
že dráha srovnice
1 se rovná dráze s2.
hledané neznámé.
s1 = s2
Slovní úloha o pohybu – varianta 2.
A
B
C
s1=v1.t1
A
B
s2=v2.t2
Ujetá dráha se přitom vypočítá
jako součin průměrné rychlosti
pohybujícího se tělesa a doby
pohybu: s = v . t
v1.ts1 = v
s2 .t2
Příklad:
Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním
cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede
cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
A v1= 4 km/h C
B
A v2= 24 km/h
B
t
A potom ty neznámé…
Bod C je místo, kde
se bude nacházet
chodec v době, kdy
bude cyklista
teprve vyjíždět.
Při
řešení případě
nejen slovních
úloh
o pohybu
V našem
je to čas
pohybu
je
proosob.
větší názornost vždy velmi přínosný
obou
Nejprve
tedy ty známé …
obrázek vykreslující situaci úlohy. Do něj si
Jelikož o čase cyklisty něco víme, bude tou úplně
zapíšeme všechny známé i neznámé údaje.
neznámou čas chodce. Označíme si jej tedy t.
Příklad:
Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním
cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede
cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
A v1= 4 km/h C
B
A v2= 24 km/h
B
t
Jaký tedy bude čas cyklisty a co
o něm vlastně víme?
Víme, že cyklista vyjel o 20 minut později
a tedy i čas bude o 20 minut kratší.
Ovšem pozor! Rychlost máme vyjádřenou
v km/h. Můžeme tedy počítat i s minutami?
Bod C je místo, kde
se bude nacházet
chodec v době, kdy
bude cyklista
teprve vyjíždět.
Příklad:
Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním
cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede
cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
A v1= 4 km/h C
B
A v2= 24 km/h
B
t
Správně. Nemůžeme, a proto si
20 minut převedeme na hodiny.
20 : 60 = 0,33333333333333 …
Kdepak. Každé zaokrouhlení znamená
odchýlení od přesného výsledku a my přece
chceme počítat přesně!
Víme, jak
na to?
A jej, perioda!
Co s tím?
Zaokrouhlíme
to?
Příklad:
Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním
cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede
cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
A v1= 4 km/h C
B
A v2= 24 km/h
B
t
Tak co s tím? Jak jinak a přesně
můžeme vyjádřit část celku, když nám
to desetinná čísla neumožňují?
20 1
20 : 60 
 h
60 3
Správně,
pomocí
zlomků.
A je to!
Máme,
co jsme
potřebovali.
Příklad:
Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním
cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede
cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
A v1= 4 km/h C
B
A v2= 24 km/h
B
t
t – 1/3
Jak tedy vyjádříme, že cyklista vyjel
o 20 minut, což je 1/3 hodiny později a což
znamená, že jeho čas bude o 1/3 kratší?
1
t
3
Příklad:
Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním
cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede
cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
s1 = v1 . t = 4 . t
A v1= 4 km/h C
B
A v2= 24 km/h
B
t
t – 1/3
s2 = v2 . (t-1/3) = 24 . (t-1/3)
A protože víme, že s1 se rovná s2, tak platí:
4t = 24.(t-1/3)
Příklad:
Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním
cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede
cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
 1
4t  24   t  
 3
4t  24t  8
4t  24t  8
 20t  8
t  0,4 h
t  24 min
Kdyby už někdo
nevěděl, jak se přijde
na minuty, tak:
0,4 . 60 = 24
Prostě převod
jednotek. 
Příklad:
Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním
cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede
cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
s1 = v1 . t = 4 . t
A v1= 4 km/h C
B
A v2= 24 km/h
B
t1 = 24 minut
t – 1/3
s2 = v2 . (t-1/3) = 24 . (t-1/3)
Tak jsme vypočítali, že čas t je 24 minut. Znamená to
tedy, že cyklista dojede chodce za 24 minut?
Kdepak. POZOR! Čas t je časem chodce. Znamená to
tedy, že 24 minut půjde chodec, než jej cyklista dojede.
Příklad:
Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním
cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede
cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
s1 = v1 . t = 4 . t
A v1= 4 km/h C
B
A v2= 24 km/h
B
t1 = 24 minut
t2–=1/3
4 min
s2 = v2 . (t-1/3) = 24 . (t-1/3)
O cyklistovi však víme, že vyjel za chodcem až za
20 minut, což znamená, že jeho čas je o 20 minut
kratší!
24 – 20 = 4 min
Příklad:
Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním
cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede
cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
s1 = v1 . t = 4 . t
A v1= 4 km/h C
B
A v2= 24 km/h
B
t1 = 24 minut
t2 = 4 min
s2 = v2 . (t-1/3) = 24 . (t-1/3)
A kolik kilometrů cyklista ujede?
s2  v 2  t 2  24 
A proč ne 4, ale 4/60?
No protože si opět
musíme dát pozor na
stejné jednotky.
4 96

 96 : 60  1,6 km
60 60
Příklad:
Chodec jde průměrnou rychlostí 4 km/h. Za 20 minut vyjel za ním
cyklista průměrnou rychlostí 24 km/h. Za jakou dobu dojede
cyklista chodce a kolik kilometrů přitom ujede?
t = 4 min
s = 1,6 km
Na závěr se provede zkouška toho, zda získané hodnoty vyhovují
podmínkám úlohy:
Kolik kilometrů ušel chodec při rychlosti 4 km/h
za 24 minut své chůze do doby, než jej cyklista
dojel?
24 96
s1  v 1  t 1  4 

 96 : 60  1,6 km
60 60
Chodec ušel do doby, než jej cyklista dojel,
stejnou dráhu jako on.
Můžeme tedy napsat odpověď:
Cyklista dojede
chodce
za 4 minuty
a ujede přitom
1,6 km.
Příklad:
Za cyklistou, který jel rychlostí 16 km/h, vyjel o 3 hodiny
později motocyklista rychlostí 48 km/h. Kdy motocyklista
dohonil cyklistu?
Příklad:
Za cyklistou, který jel rychlostí 16 km/h, vyjel o 3 hodiny
později motocyklista rychlostí 48 km/h. Kdy motocyklista
dohonil cyklistu?
s1 = v1 . t = 16 . t
A v1= 16 km/h C
B
A v2= 48 km/h
B
t
t–3
s2 = v2 . (t-3) = 48 . (t-3)
16t  48  t  3
16t  48t  144
 32t  144
t  144 :  32  4,5 h
4,5  3  1,5 h
Motocyklista dojel cyklistu za 1,5 hodiny.
Příklad:
Z vesnice vyjel traktor rychlostí 20 km/h. Za 10 minut jel za
ním motocyklista rychlostí 60 km/h. Za jakou dobu a v jaké
vzdálenosti od vesnice dohoní motocyklista traktoristu?
Příklad:
Z vesnice vyjel traktor rychlostí 20 km/h. Za 10 minut jel za
ním motocyklista rychlostí 60 km/h. Za jakou dobu a v jaké
vzdálenosti od vesnice dohoní motocyklista traktoristu?
s1 = v1 . t = 20 . t
A v1= 20 km/h C
B
A v2= 60 km/h
B
t
t – 1/6
 1
20t  60   t   s2 = v2 . (t-1/6) = 60 . (t-1/6)
 6
15  10  5 min
5
20t  60t  10
s  60.
 5 km
 40t  10
60
Motocyklista
dohoní traktoristu za 5 minut,
t  10 :  40  0,25 h  15 min
ve vzdálenosti 5 kilometrů.
Příklad:
V 7 hodin vyšel chodec průměrnou rychlostí 5 km/h.
V 10 hodin vyjel za ním cyklista rychlostí 14 km/h.
Kdy ho dojede?
Příklad:
V 7 hodin vyšel chodec průměrnou rychlostí 5 km/h.
V 10 hodin vyjel za ním cyklista rychlostí 14 km/h.
Kdy ho dojede?
s1 = v1 . t = 5 . t
A v1= 5 km/h C
B
A v2= 14 km/h
B
t
t–3
5t  14  t  3 s2 = v2 . (t-3) = 14 . (t-3)
5t  14t  42
 9t  42
2
t  42 :  9   4 h  4 hod 40 min
3
Cyklista dojede chodce v 11:40 hodin.
Příklad:
V 6:30 hodin vyplul z přístavu parník plující rychlostí
12 km/h. Přesně v 10:00 hodin za ním vyplul motorový člun,
který plul průměrnou rychlostí 40 km/h. V kolik hodin
dohoní člun parník?
Příklad:
V 6:30 hodin vyplul z přístavu parník plující rychlostí
12 km/h. Přesně v 10:00 hodin za ním vyplul motorový člun,
který plul průměrnou rychlostí 40 km/h. V kolik hodin
dohoní člun parník?
s1 = v1 . t = 12 . t
A v1= 12 km/h C
B
A v2= 40 km/h
B
t
t – 3,5
s2 = v2 . (t-3,5) = 40 . (t-3,5)
12t  40  t  3,5
12t  40t  140
 28t  140
t  140 :  28  5 h
Člun dohoní parník v 11:30 hodin.