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La démonstration en
mathématiques
En géométrie, des constatations ou des mesures sur un
dessin n'est pas suffisant. Elles permettent seulement
d'établir des conjectures :
Définition :
Une conjecture est un énoncé qui semble vrai alors
qu'on ne l'a pas encore prouvé.
Pour prouver que des énoncés de géométrie sont vrais,
il faut effectuer des démonstrations. Pour cela, il
faut suivre plusieurs étapes :
Avec un exemple…
Soit une droite (u) et deux points A et B de (u) . Par A tracer
la droite (d) perpendiculaire à (u) et par B la droite (d’)
perpendiculaire à (u) .
Que peut-on dire des droites (d) et (d’) ? (conjecture)
(d’)
(d)
(u)
A
B
Conjecture: (d)//(d’)
(d)
(u)
(d’)
A
B
BUT : (d) // (d’)
HYPOTHESES ou
INFORMATIONS:
A (u)
B  (u)
A (d)
(d)  (u)
B (d')
(d')  (u)
Conclusion
Donc (d) // (d’)
Pour construire une démonstration, l’ouvrier mathématicien a
besoin d’outils
Ces outils portent entre autres le nom de
théorèmes
Laquelle de ces fiches contient-elle le précieux
Ces théorèmes nombreux
théorème ?
sont réunis sur des fiches par
thème
Fiche :Comment démontrer qu’un triangle est isocèle
C’est
bienque
cette
Fiche :Comment
démontrer
deux distances sont
(d)
(d’)
égales
fiche .
Fiche :Comment
démontrer
que deux droites sont
Quels
théorèmes
A
(u)
perpendiculaires
B
contient-elle ?
Fiche :Comment démontrer qu’un quadrilatère est un
rectangle
BUT : (d) // (d’)
A  (d)
A  (u) (d)  (u)
B  (d’)
B  (u)
(d’)  (u)
Hypothèses:
Fiche :Comment démontrer que deux droites sont
parallèles
Fiche :Comment démontrer que deux distances sont
égales
Fiche :Comment démontrer qu’un triangle est rectangle
Comment démontrer que deux droites
sont parallèles
Quel théorème
semble être le
mieux adapté à
ce problème ?

Si deux droites sont symétriques par rapport à
un point alors elles sont parallèles .

Si deux droites déterminent avec une sécante
des angles alternes-internes de même mesure alors
elles sont parallèles

Si deux droites déterminent avec une sécante
des angles alternes-externes de même mesure alors
elles sont parallèles
(d’)
(d)
A
(u)
B
C’est sûrement le bon

Si deux droites déterminent avec une sécante
théorème .
des angles correspondants de même mesure alors
Observons le
elles sont parallèles

Si un quadrilatère est un trapèze alors ses
bases sont parallèles

Si un quadrilatère est un parallélogramme
alors ses côtés opposés sont parallèles
BUT : (d) // (d’)
A  (d)
A  (u) (d)  (u)
B  (d’)
B  (u)
(d’)  (u)
Hypothèses:

Si deux droites sont parallèles à une même
droite alors elles sont parallèles

Si deux droites sont perpendiculaires à une
même droite alors elles sont parallèles
Mais il faut savoir que …
l’on a deux droites perpendiculaires
à une même droite
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite
alors elles sont parallèles
Ce théorème permet de démontrer que deux droites ….
Sont parallèles
Rédigeons notre première démonstration :
On a les hypothèses:
Les deux droites (d) et (d’) sont
perpendiculaires à la même droite (u)
Or si : deux droites sont perpendiculaires
à une même droite
Donc
Alors elles sont
les droites (d) et (d’) sont parallèles
parallèles