Transcript Télécharger - M. Evanno

Géométrie dans l’espace
A) Positions relatives dans l’espace.
Tous les résultats de géométrie plane s’appliquent à chaque plan de l’espace.
1. Détermination d’un plan.
Définition :
Un plan est déterminé par l’une des situations suivantes :
2. Positions relatives de deux droites.
Propriétés :
Deux droites D et D’ de l’espace peuvent être :
1) Coplanaires :
2) Non coplanaires :
Lycée Français de DOHA
Année 2014 – 2015
2nde A
M. Evanno
3. Positions relatives de deux plans.
Propriétés :
Deux droites P et P’ de l’espace peuvent être :
1) Parallèles :
2) Sécants :
4. Positions relatives d’un plan et d’une droite.
Propriétés :
Un plan P et une droite D de l’espace peuvent être :
Lycée Français de DOHA
Année 2014 – 2015
2nde A
M. Evanno
B) Parallélisme dans l’espace.
1. Droites parallèles.
Définition :
Deux droites sont parallèles si et seulement si :
• elles sont coplanaires (c’est-à-dire situées dans un même plan)
• dans ce plan, elles sont parallèles (c’est-à-dire sans aucun point commun ou confondus).
Propriétés :
• Lorsque deux droites sont parallèles :
a) toute droite parallèle à l’une est parallèle à l’autre.
b) tout plan qui coupe l’une coupe l’autre.
• Par un point A donné, il passe une parallèle et une seule à une droite (D) donnée.
2. Plans parallèles.
Définition :
Deux plans sont parallèles si et seulement si ils n’ont aucun point commun ou ils sont confondus.
Propriétés :
• Lorsque deux plans sont parallèles :
a) tout plan parallèle à l’un est parallèle à l’autre
b) tout plan sécant à l’un est sécant à l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.
c) toute droite qui perce l’un, perce l’autre.
• Par un point A donné, il passe un plan et un seul parallèle à un plan (P) donné.
Lycée Français de DOHA
Année 2014 – 2015
2nde A
M. Evanno
3. Droite et plan parallèles.
Définition :
Une droite (D) et un plan (P) sont parallèles si et seulement si (D) et (P) n’ont aucun point
commun ou (D) est contenue dans (P).
Propriétés :
• Si une droite (D) est parallèle à une droite (∆) d’un plan (P) alors (D) est parallèle à (P).
•
Si une droite (D) et un plan (P) sont parallèles alors la parallèle (∆) à (D) menée par un point
A de (P) est contenue dans (P).
•
Lorsqu’une droite (D) et un plan (P) sont parallèles :
a) toute parallèle à (D) est parallèle à (P).
b) tout plan parallèle à (P) est parallèle à (D).
Théorème : Théorème du toit
Lorsque deux plans sécants (P) et (P’) sont parallèles à une même droite (D) alors leur droite
d’intersection (∆) est parallèle à (D).
Propriétés :
• Lorsque deux plans sont parallèles, toute droite de l’un est parallèle à l’autre.
• Si un plan (P’) contient deux droites sécantes (D) et (D’) parallèles à un plan (P) alors (P’)
est parallèle à (P).
Lycée Français de DOHA
Année 2014 – 2015
2nde A
M. Evanno
C) Les solides usuels.
1. Pavé droit.
Appelé également parallélépipède rectangle ses six faces sont des rectangles.
Les segments de
la même couleur
ont la même
mesure.
Le patron est composé de rectangles.
2. Cube.
C'est un cas particulier de pavé droit, dont les six faces sont des carrés et dont la patron est composés
uniquement de carrés.
3. Cylindre de révolution.
C'est un solide engendré par la rotation d'un rectangle autour de l'un de ses côtés, fa droite (MP) est
appelée génératrice du cylindre.
Le patron est composé d’un rectangle et de deux
disques
Théorème :
On calcule le volume de ces trois solides en multipliant l’aire de la base par la hauteur ce qui
peut encore s’écrire : V = B × h .
4. Sphère.
La sphère n’a pas de patron
•
Le volume de la sphère est : V =
Lycée Français de DOHA
Année 2014 – 2015
4π × R 3
.
3
•
L’aire de la sphère est : 4π × R 2
2nde A
M. Evanno
5. Pyramide.
C'est un solide qui a une face polygonale appelée base et dont toutes les autres faces sont des triangles.
Elle sera dite régulière si la base est un polygone régulier et si sa hauteur passe par le centre de la base.
Le patron est composé d’un polygone et de triangles.
6. Cône de révolution.
C'est le solide engendré par la rotation d'un triangle rectangle autour d'un des côtés de l'angle droit.
La droite extérieure est appelée génératrice du cône.
Le patron est composé d’un disque et d’une portion
de disque avec α = rayon ÷ génératrice × 360 .
Théorème :
On calcule le volume de ces deux solides en multipliant l’aire de la base par la hauteur et en
B×h
divisant le résultat par 3 ce qui peut encore s’écrire : V =
.
3
Exercice n°1 :
Voici la représentation en perspective du parallélépipède
rectangle ABCDEFGH. Les points I, J, K, L, M, N, O, P
sont les milieux des arêtes sur lesquelles ils sont placés.
1) Citer :
a) un plan parallèle au plan (EOA) ;
b) un plan parallèle au plan (IMG) ;
c) deux plans strictement parallèles au plan (KJN).
2) Citer une droite NON matérialisée par un segment déjà tracé qui soit :
a) strictement parallèle au plan (EAB) ;
b) strictement parallèle au plan (ADE) ;
c) strictement parallèle au plan (AFG) ;
d) strictement parallèle à chacun des deux plans (ABC) et (DGH).
3) Vrai ou Faux ?
a) Le plan (IJN) est parallèle au plan (KPO).
b) Les droites (IG) et (LO) sont coplanaires.
c) La droite (LO) est parallèle au plan (KGC).
Lycée Français de DOHA
Année 2014 – 2015
2nde A
M. Evanno
Exercice n°2 :
PRISME est un prisme droit à base; triangulaire.
Déterminer les positions relatives :
1) des droites (RE) et (MI)
2) des droites (PI) et (EM)
3) de la droite (EM) et du plan (IPS)
4) de la droite (SP) et du plan (PMR)
5) du plan (IRP) et du plan (IEM).
Exercice n°3 :
Soit ABCD un tétraèdre. Le point I est le milieu de [AD]. Le point J est sur la face ACD tel que
(IJ) ne soit pas parallèle à (AC). Tracer la section du tétraèdre ABCD par le plan (IJB).
Exercice n°4 :
SABCD est une pyramide dont la base ABCD est un trapèze.
Démontrer que la droite (CD) est parallèle au plan (SAB).
Exercice n°5 :
ABCDEFGH est un pavé droit, représenté ci-contre en perspective cavalière.
On donne AB = 12cm, AD = 4cm et AE = 8cm.
1)
2)
3)
4)
Tracer un patron du tétraèdre EABD, puis construire ce tétraèdre.
Calculer la longueur DB (valeur exacte, puis valeur arrondie au millimètre).
Calculer l'aire du triangle ADB.
Calculer le volume du tétraèdre EADB.
Lycée Français de DOHA
Année 2014 – 2015
2nde A
M. Evanno
Exercice n°5 :
On considère le prisme droit ABCDEFGH ci-contre. Les faces EFGH et DCGH sont des carrés
de côté 2cm et les faces ADHE et BCGF sont des trapèzes rectangles tels que :
BC = AD = 5cm. Construire, en justifiant les étapes de construction, le patron du prisme
ABCDEFGH en vraie grandeur.
Exercice n°6 :
En faisant tourner le triangle AHS, rectangle en H, autour de (SH), on obtient le cône de
révolution représenté ci-dessous où AS = 6 cm et[ASH = 15°.
En donnant la valeur exacte puis la valeur approchée par défaut au dixième près, calculer :
1) le rayon du cercle de base ;
2) la hauteur du cône ;
3) le volume de ce cône.
Exercice n°7 :
On considère un parallélépipède rectangle ABCDEFGH et I un point de [AB].
Construire sur cette figure :
1) les intersections des plans (EHI) et (AFB) ;
2) les intersections des plans (EHI) et (HDG) ;
3) les intersections des plans (EHI) et (BDF) ;
4) les intersections des plans (EHI) et (FBC).
Lycée Français de DOHA
Année 2014 – 2015
2nde A
M. Evanno
Exercice n°8 :
ABCD est un tétraèdre. I est le milieu de [AD], J ∈[BD] et K ∈[CD] tels que :
DJ = 0,75BD et DK = 0, 25DC.
1) Représenter ce tétraèdre en perspective cavalière et y placer les points I, J, K.
2) Déterminer et construire (s’ils existent) les points :
a) L, intersection de la droite (I J) et du plan (ABC) ;
b) M, intersection de la droite (IK) et du plan (ABC).
3) Déterminer, en justifiant, l’intersection du plan (I JK) et du plan (ABC).
Exercice n°9 :
Un silo à grain sert à stocker les récoltes en attendant de les livrer. Un silo se remplit par le haut
à l’arrivée de la moissonneuse et se vide par le bas en remplissant les camions de livraisons.
Voici une représentation d’un silo à grain vue de face. Il s’agit un cylindre encadré par deux
troncs de cône.
1) Quel est le volume de ce silo ?
2) Une benne céréalière peut contenir entre 57 et 79m3 de grain suivant les modèles. Quel est le
nombre minimum de bennes nécessaires pour vider un silo aux trois quarts plein ?
Exercice n°10 :
ABCDE est une pyramide telle que BCDE soit un parallélogramme de centre O et de hauteur
AO. I est le milieu du segment [AB]. J est le milieu du segment [AC].
1) Représenter cette pyramide en perspective cavalière et y placer les points I et J.
2) Préciser, en justifiant, les intersections :
a) des plans (ABC) et (ACD) ;
b) des plans (ABD) et (AEC) ;
c) de la droite (AO) et du plan (BED) ;
d) des droites (DI) et (AO).
3) Démontrer que la droite (I J) et le plan (BCD) sont parallèles.
4) Démontrer que la droite (I J) et la droite (ED) sont parallèles.
5) En déduire l’intersection des plans (ABC) et (EID).
Lycée Français de DOHA
2nde A
Année 2014 – 2015
M. Evanno
Exercice n°11 :
ABCDEFGH est un pavé droit tel que : AB = 8 cm ; AD = 4 cm et AE = 3 cm.
On appelle I le milieu de [EF] et J celui de [AB].
On coupe le solide par un plan passant par I, J, C et G.
Partie A : Etude d’un patron
1) Quelle est la nature de IJCG ? Justifier. Représenter JBC puis I JCG en vraie grandeur.
2) Calculer la longueur JC. On donnera la valeur exacte sous la forme a b où a et b sont des
entiers naturels puis la valeur arrondie au mm près.
3) Quelle est la nature du solide AJCDEIGH? Tracer un patron possible.
Partie B : fabrication en grande quantité
Le patron du solide AJCDEIGH est utilisé pour fabriquer une boîte en carton. Une entreprise
confectionnant ces boîtes souhaite optimiser ses coûts de production.
1) Positionner les faces pour faire tenir le patron dans un carré de 15cm de côté.
2) De quelle longueur de carton de 3m de large a-t-on besoin pour fabriquer 1000 boîtes ?
Exercice n°12 :
Soit SABCD une; pyramide de sommet S et dont la base ABCD est un rectangle.
Soit I, J, K et L les milieux respectifs des arêtes [SA], [SB], [SC] et [SD].
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Démontrer que (IJ)//(AB).
En déduire que (IJ)//(ABC).
Démontrer que (IK)//(ABC).
Déduire des questions précédentes que (IJK)//(ABC).
Le plan (SCD) est-il parallèle; à la droite (IJ) ? Justifier votre; réponse.
Les plans (SAB) et (SCD) sont-ils parallèles ? Justifier votre; réponse;.
Lycée Français de DOHA
Année 2014 – 2015
2nde A
M. Evanno
Exercice n°13 :
La figure ci-dessous représente un cube ABCDEFGH en perspective cavalière.
Les points I, J et K sont des points des arêtes respectives [AE], [BF] et [CG] tels que :
1
1
BJ = BF ; CK = CG et I milieu de [AE].
5
3
Partie A : construction
Reproduire cette figure en perspective cavalière. Cette figure sera complétée au fur et à mesure
des questions, sans effacer les traits de construction.
Partie B : intersection de (I JK) et (ABC)
1) Quelle est la nature de l’intersection des plans (ABC) et (IJK) ?
2) Justifier que les droites (JK) et (BC) sont sécantes.
3) En déduire l’intersection du plan (ABC) et de la droite (JK).
La représenter précisément sur la figure.
4) Construire de même l’intersection du plan (ABC) et de la droite (IJ).
5) En déduire l’intersection des plans (ABC) et (IJK).
Justifier et la représenter sur la figure.
Partie C : intersection du plan (I JK) avec les faces du cube
1) Justifier que les plans (IJK) et (ADE) sont sécants selon une droite parallèle à (JK).
2) Construire sur la figure l’intersection du plan (IJK) et de la face ADHE.
On appellera L le point d’intersection entre le plan (IJK) et l’arête [HD].
3) Terminer la construction de l’intersection du plan (IJK) avec les faces du cube.
4) Comment vérifier que la construction du point L est correcte ? (Il y a plusieurs possibilités
graphiques).
Exercice n°14 :
SABCD est une pyramide régulière de sommet S, dont la base ABCD est un carré de côté a de
centre O et dont les quatre autres faces sont des triangles équilatéraux.
1) Quelle est la nature du triangle ASC ?
2) Donner les mesures de chacun de ses côtés en fonction de a.
3) Quelle est la nature du triangle ASO ?
4) Calculer la longueur du segment [SO], hauteur de la pyramide, en fonction de a.
5) Quelle est la mesure de l'angle ASO ? de l'angle ASC?
6) Déduire de la question 2 le volume de la pyramide SABCD en fonction de a.
7) Faire; un patron et une représentation en perspective cavalière; de cette pyramide en prenant
a = 4cm.
Lycée Français de DOHA
Année 2014 – 2015
2nde A
M. Evanno
Exercice n°15 : Dans l’espace
Un pavé droit ABCDEFGH a pour dimensions :
AB =12, AD = 5 et DH =10.
Un point M se déplace sur le segment [BF] privé de F.
Le point N est symétrique de M par rapport au centre
du pavé (on a donc HN = BM et N appartient à [DH]).
M parcourt [BJ] privé de J, où J est le milieu de [BF].
1) On pose MB = x .
a) Quelles valeurs x peut-il prendre ?
b) Démontrer que : BD = 13 .
c) En utilisant le théorème de Thalès, justifier que :
d) En déduire que : IB =
x
IB
=
.
10 − x IB + 13
13 x
.
10 − 2 x
2) On pose, pour tout x ∈ [0 ; 5[ : f ( x) =
13 x
.
10 − 2 x
a) Montrer que, pour tout x ∈ [0 ; 5[ , f ( x) = −6,5 +
65
.
10 − 2 x
b) Soient a et b deux réels tels que : 0 ≤ a < b < 5 . Montrer que : f (a ) < f (b) .
c) En déduire le tableau de variation de f sur [0 ; 5[ .
a) Résoudre l’inéquation : f ( x) ≥ 13 .
Exercice n°16 :
L’unité est le centimètre. Un jouet a la forme d’une demi–boule surmontée d’un cône de
révolution de sommet A, comme l’indique la figure ci–contre.
A
B
O
C
Le segment [BC] est un diamètre de la base du cône ; le point O est le centre de cette base.
On donne AB = 7 et BC = 6 .
1) Construire en vraie grandeur le triangle rectangle AOB.
2) Calculer la valeur exacte de AO.
3) Calculer la valeur exacte du sinus de l’angle BAO.
4) En déduire une mesure de l’angle BAO (on donnera le résultat arrondi au degré près).
5) Calculer le volume de ce jouet, cône et demi–boule réunis (résultat arrondi au cm3 près).
Lycée Français de DOHA
Année 2014 – 2015
2nde A
M. Evanno