C2 - Théorème de Thalès TD Troisième

1 Le théorème de Thalès vu en quatrième

Propriété 1 (Vu en quatrième) On considère les droites (AM) et (BN) sécantes en un point O.

Si les droites (AB) et (MN) sont parallèles alors OA OM = OB ON = AB M N B N M O A ✄ ✂ Exercice n° 1 Aux sports d’hiver ✁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✍ Un skieur dévale, tout schuss, une piste rectiligne représentée ci-contre par le segment [BC] de longueur 1200 m.

À son point de départ C, le dénivelé par rapport au bas de la piste, donné par la longueur AC, est de 200 m.

Après une chute, le skieur est arrêté au point D sur la piste.

Le dénivelé, donné par la longueur DH, est alors de 150 m.

Calculer la longueur DB qu’il lui reste à parcourir.

2 Une nouvelle configuration de Thalès

✄ ✂ Activité n° 1 ✁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PARTIE A : Avec le logiciel de géométrie dynamique geogebra ✍ 1. Avec geogebra, tracer deux droites (OA) et (OB).

2. Tracer la droite (AB), puis placer un point M sur (OA) qui n’appartient pas à la demi-droite [OA).

3. Construire la droite parallèle à la droite (AB) passant par M.

4. Construire le point d’intersection de cette droite avec la droite (OB). On nommera ce point N.

5. Dans la ligne « Saisie » du logiciel, écrire la formule : Distance[O,A]/Distance[O,M].

Le résultat s’affiche dans la fenêtre algébrique située à gauche. Que fait-on calculer au logiciel ?

6. Faire de même avec les rapports : OB ON et AB M N .

7. Que constate-t-on pour les trois valeurs affichées ?

8. Déplacer les points de la figure. Que constate-t-on ?

9. Quelle égalité de rapports peut-on alors conjecturer ?

Partie B : Démonstration 1. Construire, sur la figure ci-contre, A’ et B’, les points symé triques des points A et B par rapport au point O.

B M 2. Démontrer que les droites (A’B’) et (MN) sont parallèles.

3. Prouver que OA ′ = OB ′ = A ′ B ′ .

OM ON M N 4. En déduire que la conjecture faite à la partie A question 9.

est vraie.

✄ ✂ Exercice n° 2 ✁ A O N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✍ Les droites (EF) et (HD) sont parallèles et G est le point d’intersection des droites (ED) et (FH).

On donne GH = 15 cm ; GF = 6 cm ; GD = 14,2 cm et HD = 7,3 cm.

Calculer les longueurs EF et EG.

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C2 - Théorème de Thalès

3 Activité 2 - Conséquences

1. Une contraposée ...

TD 2. Construction de points : Troisième

4 La réciproque du théorème de Thalès

1. Soit une propriété du type « Si . . .

alors . . .

».

Cette propriété est écrite sous la forme d’une implication.

Par exemple : « Si un triangle a deux côtés de même longueur alors ce triangle est isocèle » .

Donner la condition ou donnée de cette propriété et la conclusion.

De même avec l’implication : « Si il pleut alors le sol sera mouillé » .

Et encore avec « Si x = 2 alors x 2 = 4 » .

2. La réciproque d’une propriété est une implication qui échange le rôle entre condition et conclusion.

Le problème est qu’une réciproque n’est pas forcément vraie !

Donner la réciproque des implications précédentes.

Ces réciproques sont-elles vraies ou fausses ? Justifier.

3. Énoncer la réciproque du théorème de Thalès.

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C2 - Théorème de Thalès TD 4. Nous allons rechercher la vérité de cette réciproque.

Soit la figure suivante : A B Troisième O Placer un point M sur la droite (OA) et un point sur la droite (OB) tels que OM OA 5. Compléter le tableau suivant : = ON OB = 1 3 .

Position relative de O, A et M A, O et M sont alignés dans cet ordre Position relative de O, B et M (MN) et (AB) sont-elles parallèles ?

6.

Bilan Les droites (AB) et (AC) sont sécantes ; M est un point de la droite (AB) et N est un point de la droite (AC) tels que AM = AN .

AB AC Quelles conditions faut-il ajouter pour que les droites (MN) et (BC) soient parallèles ?

5 Exercices

5.1

Pour calculer des longueurs connaissant des droites parallèles

✄ ✂ Exercice n° 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✍ ✁ Dans chacun des cas suivants, écrire tous les rapports égaux.

✄ ✂ Exercice n° 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✍ ✁ LOT est un triangle tel que OL = 9 cm ; OT = 7 cm et LT = 5 cm.

On appelle M le milieu du segment [LO] et N le milieu du segment [TL].

1. Montrer que les droites (MN) et (OT) sont parallèles.

2. Calculer la longueur MN.

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C2 - Théorème de Thalès TD Troisième ✄ ✂ Exercice n° 5 ✁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✍ Voici un schéma de fonctionnement d’un appareil photo graphique argentique : un objet [AB] situé à une distance image [A’B’] située à une distance d d ′ de l’objectif O a une de O.

1. Prouver que les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles.

2. Démontrer l’égalité : d d ′ = 3. Pour un certain appareil, d ′ AB A ′ B ′ .

= 50 mm.

Un sapin d’une hauteur de 12 m se trouve à 15 m de l’objectif.

Quelle est la hauteur de l’image qui se forme sur la pellicule ?

5.2

Montrer que des droites ne sont pas parallèles

✄ ✂ Exercice n° 6 ✁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✍ 1. Construire le triangle T RI tel que RI = 8 cm , RT = 6 cm et T I = 10 cm .

2. Quelle est la nature du triangle T RI ?

3. Placer le point T P = 6 , 1 cm .

O sur le segment [ T R ] tel que T O = 3 , 6 cm et le point P sur le segment [ T I ] tel que 4. Les droites ( OP ) et ( RI ) sont-elles parallèles ?

✄ ✂ Exercice n° 7 ✁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✍ L’unité de longueur choisie est le mètre. Pour et (CD) sont-elles parallèles ?

x = 2 , 5 , les droites (AB)

5.3

Montrer que des droites sont parallèles

✄ ✂ Exercice n° 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✍ ✁ ABC est un triangle. D est un point de [AB] et E est un point de (AC) n’appartenant pas à [AC].

On donne AB = 4 ; AC = 3 ; AD = 1,2 et AE = 0,9.

1. Alexis a écrit le raisonnement suivant : Quel théorème Alexis a-t-il utilisé ?

2. Trace une figure.

3. La réponse d’Alexis est-elle juste ?

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C2 - Théorème de Thalès TD Troisième ✄ ✂ Exercice n° 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✍ ✁ Soit un triangle ACE avec B un point du segment [AC] et D un point du segment [AE].

On donne les longueurs suivantes : AB = 6,3 cm ; BC = 4,9 cm ; AE = 16 cm et DE = 7 cm.

Prouver que les droites (BD) et (CE) sont parallèles.

✄ ✂ Exercice n° 10 ✁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✍ Pour consolider un bâtiment, des charpentiers ont construit un contrefort en bois. Sur le schéma ci-contre, les mesures sont en mètres.

1. En considérant que le montant [BS] est perpendiculaire au sol, calculer la longueur AS.

2. Calculer les longueurs SM et SN.

3. Démontrer que la traverse [MN] est bien parallèle au sol.

5.4

Un méli-mélo

✄ ✂ Exercice n° 11 O M K ✁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✍ Sur la figure ci-contre : – les droites ( M K ) et ( OD ) sont parallèles ; D – les points E, S, M et O sont alignés dans cet ordre ; – les points F, S, K et D sont alignés dans cet ordre.

On donne SO = 6 cm , SD = 10 cm , SM = 4 , 8 cm , SE On ne demande pas de reproduire la figure sur la copie.

= 2 cm , SF = 3 cm .

S F 1. Calculer SK .

E 2. Les droites ( EF ) et ( OD ) sont-elles parallèles ? Justifier.

✄ ✂ Exercice n° 12 Le triangle M N P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✍ ✁ est tel que M P = 8 cm , P N = 12 cm et M N = 15 cm . Le point A est sur le segment [ M P ] , tel que P A = 4 , 8 cm .

La parallèle à la droite ( P N ) passant par par B coupe la droite ( N P ) en C .

A coupe la droite ( M N ) en B . La parallèle à la droite ( M P ) passant 1. Faire la figure.

2. Démontrer que le quadrilatère ABCP est un parallélogramme.

3. Calculer AB .

4. Préciser la nature du parallélogramme ABCP .

✄ ✂ Exercice n° 13 ✁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✍ A G D Sur la figure ci-contre, les droites (DE) et (BC) sont parallèles, de même que les droites (EG) et (CF).

Prouver que les droites (DG) et (BF) sont parallèles.

B E F C N. SANS page 5 Lycée Français Jean Giono

C2 - Théorème de Thalès TD Troisième

5.5

Exercices corrigés

✄ ✂ Exercice n° 14 ✁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✍ Enoncé O B A D C E Sur la figure ci-contre (qui n’est pas en vraie grandeur) les droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles et les dimen sions sont les suivantes : OA OD = 5 = 6 , cm 3 ; AC cm ; = DE AB = 4 cm ; = 5 , 04 cm .

1. Calculer OB et CD .

2. Les droites ( AD ) et ( CE ) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

Solution 1. Calculer A B OB et est sur est sur ( O C ) ( O D ) CD . Dans le triangle OAB, ( AB ) // ( CD ) D’après le théorème de Thalès, O A O C O B = O D = AB CD (1) Calculons OB .

D’après (1) , on a O A O C = O B O D 5 9 = OB 6 , 3 9 × OB = 5 × 6 , 3 OB = 31 , 5 9 OB = 3 , 5 cm 2. Montrons que ( AD ) // ( CE ) .

Voici une figure à main levée résumant la situa tion : C A O B Calculons CD .

D D’après (1) , on a O A O C = A B C D 5 9 = 4 CD 5 × CD = 9 × 4 36 CD = 5 CD = 7 , 2 cm C Voici une figure à main levée résumant la situation : A O D Les points O, A et C d’une part et les points O, D et E sont alignés dans le même ordre.

D’une part, D’autre part, O A = O C O D O E 5 9 = 6 11 , , 3 34 = 630 1134 = 5 9 Comme O A O C = O O D E , d’après la réciproque du théorème de Thalès, ( AD ) // ( CE ) .

E N. SANS page 6 Lycée Français Jean Giono

C2 - Théorème de Thalès TD Troisième ✄ ✂ Exercice n° 15 ✁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✍ Enoncé L F E M K G [ EF G est un triangle rectangle en EG ] . La droite passant par K F .

K est le milieu du segment et perpendiculaire à la droite ( EF ) coupe le segment [ EF ] en L .

1.

a ) Démontrer que les droites lèles.

( LK ) et ( F G ) sont paral b ) Démontrer que L est le milieu du segment [ EF ] .

2. Les droites ( F K ) et ( GL ) sentent les droites ( F K ) et se coupent en ( GL ) M . Que repré pour le triangle EF G ?

En déduire que la droite ( EM ) coupe le segment [ F G ] en son milieu.

Solution 1.

a ) Montrons que ( LK ) // ( F G ) .

( LK ) ⊥ ( EF ) ( F G ) ⊥ ( EF ) alors, ( LK ) // ( F G ) .

b ) Montrons que L est le milieu du segment [ EF ] .

Dans le triangle EF G , K milieu de [ EG ] .

La parallèle à ( F G ) passant par K coupe D’après la seconde propriété des milieux, L est le milieu de [ EF ] .

[ EF ] en L .

2. Montrons que M est le centre de gravité du triangle EF G .

Dans le triangle EF G , ( KF ) ( LG ) est la médiane issue de F , est la médiane issue de G , alors, le point M intersection des médianes ( KF ) et ( LG ) est le centre de gravité du triangle EF G .

La troisième médiane issue de E est la droite ( EM ) : elle coupe donc le segment [ F G ] en son milieu.

5.6

En pratique

✄ ✂ Exercice n° 16 D ✁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✍ Pour trouver la hauteur BD d’un arbre, on dispose des renseignements suivants : HA = 1 m ; BH = 5 m et OH = 0 , 9 m .

O Les points Les angles A , H et et B sont alignés, ainsi que les points sont droits.

1. Démontrer que les droites ( OH ) et O , A et ( BD ) sont parallèles.

D .

B H A 2. Calculer la hauteur de l’arbre.

✄ ✂ Exercice n° 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✍ ✁ Pimpim est en maillot de bain près d’un lac, il se demande si il peut le traverser à la nage.

Pour cela, il doit connaître sa longueur. Il est à 18 m du lac et au bord du lac il y a une maison de 3 m de haut.

Dans l’alignement du toit de la maison, il voit le sommet d’une montagne située juste derrière le lac et haute de 400 m. Quelle distance Pimpim devra t-il parcourir à la nage ?

N. SANS page 7 Lycée Français Jean Giono

C2 - Théorème de Thalès TD Troisième m 382 r2 age tn doi pim ✄ ✂ Exercice n° 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✍ ✁ Selon la légende, les peuples antiques mesuraient la hauteur de sommets inaccessibles à l’aide d’un bâton, appliquant alors une technique qui repose sur le théorème de Thalès.

Pim Expliquer le résultat annoncé.

✄ ✂ Exercice n° 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

✍ ✁ Un jeune berger se trouve au bord d’un puits de forme cylindrique dont le diamètre vaut 75 cm : il aligne son regard avec le bord inférieur du puits et le fond du puits pour en estimer la profondeur.

Le fond du puits et le rebord sont horizontaux. Le puits est vertical.

1. En s’aidant du schéma ci-dessous (il n’est pas à l’échelle), donner les longueurs CB, FG, RB en mètres C R hauteur du rebord : 1 m B hauteur du regard : 1,80 m diamètre 75 cm sol épaisseur du mur : 20 cm F G 2. Calculer la profondeur BG du puits.

3. Le berger s’aperçoit que la hauteur d’eau dans le puits est 2,60 m.

Le jeune berger a besoin de 1 m 3 d’eau pour abreuver tous ses moutons.

En trouvera-t-il suffisamment dans ce puits ?

N. SANS page 8 Lycée Français Jean Giono