Transcript Angles

CHAPITRE
Angles
Objectifs du chapitre.
Énigme du chapitre.
Une bande de papier aux bords parallèles a été
découpé comme le montre le dessin ; les deux
pointes forment respectivement des angles de
34˚ et 18˚.
Quelle est la mesure de l’angle formé par le
« creux » ?
E
34˚
F
18˚
B
C
A
6
— Connaître et utiliser les propriétés relatives aux angles formés par deux parallèles et une sécante et leurs réciproques.
— Sur papier uni, reproduire un angle au
compas.
— Maîtriser l’utilisation du rapporteur.
I/ Angles complémentaires et supplémentaires
Activité A. Angles complémentaires et supplémentaires
— Angles complémentaires : la somme de leurs mesures est 90˚.
— Angles supplémentaires : la somme de leurs mesures est 180˚.
On donne les angles suivants :
dS = 140˚.
[ = 50˚; CEF
[ = 75˚; P[
[ = 105˚; GAB
[ = 15˚; HUK
[ = 130˚; LY
COB
QR = 40˚; MIN
Dans cette liste, relever :
— les paires d’angles complémentaires ;
— les paires d’angles supplémentaires.
Définition
Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90˚.
Exemples
[
[
L’angle EF
G a pour mesure 24˚ et l’angle GF
H a pour mesure 66˚.
G
H
66◦
F
G
G
E
24◦
F
66◦
H
E
[
[
Les deux angles EF
G et GF
H sont complémentaires car 24 + 66 = 90.
Définition
Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180◦ .
Exemple
[ a pour mesure 62˚ et l’angle Pd
L’angle SUP
UL a pour mesure 118˚.
24◦
F
P
P
U
118◦
62◦
S
U
L
P
118◦
S
62◦
U
L
[ et Pd
Les deux angles SUP
UL sont supplémentaires car : 62 + 118 = 180.
Faire les exercices 1 2 3 4 F 5 F
II/ Angles adjacents et opposés par le sommet
Activité B. Angles adjacents et opposés par le sommet
Partie A : Angles adjacents
Voici deux angles adjacents :
1. Comment peut-on définir avec un vocabulaire adapté deux angles adjacents ?
2. Dans chaque cas, expliquer pourquoi les deux angles ne sont pas adjacents.
d et DJE
[ adjacents et supplémentaires.
3. Tracer, au rapporteur, deux angles ADJ
Partie B : Angles opposés par le sommet
1. Tracer deux demi-droites [OA) et [OB).
2. Construire A0 le symétrique du point A par rapport à O.
3. Construire B 0 le symétrique du point B par rapport à O.
0 OB 0 en utilisant une propriété de la symétrie centrale.
[ et A\
4. Comparer les angles AOB
Énoncer la propriété ainsi démontrée.
0 OB 0 sont opposés par le sommet.
[ et A\
On dit que les angles AOB
Définition
Deux angles sont adjacents s’ils ont le même sommet, un côté commun et sont situés de part et
d’autre de ce côté commun.
Exemple
[ sont âdjacents.
Les angles T[
ES et SEV
S
T
V
E
Définition
Deux angles sont opposés par le sommet s’ils ont le même sommet et leurs côtés dans le prolongement l’un de l’autre.
Remarque
Deux angles opposés par le sommet sont symétriques par rapport à ce sommet.
Exemple
[ et CAE
[ sont opposés par
Les angles BAD
le sommet.
B
D
A
C
[ et BAE
[ sont opposés par
Les angles DAC
le sommet.
Propriété
Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
Exemple
Dans l’exemple précédent, on a :
[ = CAE
[
BAD
Faire les exercices 6 7 8 F
et
[ = BAE.
[
DAC
E
III/ Angles alternes-internes et correspondants
Activité C. Angles alternes-internes et correspondants
On considère deux droites et une sécante.
On dit que deux angles sont :
— correspondants : s’ils sont d’un même côté de la sécante, l’un des angles est entre les deux
droites et l’autre à l’extérieur.
— alternes : s’ils sont de part et d’autre de la sécante
— internes : s’ils sont entre les deux droites.
Colorier de couleurs différentes chaque paire d’angles correspondants.
Colorier de couleurs différentes chaque paire d’angles alternes-internes.
Définition
Soit (d) et (d 0 ) deux droites coupés en A et B par une sécante (∆).
— Deux angles alternes-internes
— ont pour sommets A et B
— sont situés de part et d’autre de (∆), et entre les droites (d) et (d 0 ).
— Deux angles correspondants :
— ont pour sommet A et B,
— sont situés d’un même côté de (∆), l’un entre les droites (d) et (d 0 ), l’autre à l’extérieur.
Exemples
[ et ABD
[ sont corresponLes angles EAB
dants.
[ et ABD
[ sont alternesLes angles GAB
internes.
E
B
G
A
C
H
F
D
Faire les exercices 9 10 11 F
IV/ Angles formés par deux parallèles et une sécante
Activité D. Droites parallèles, sécantes et angles, TICE
1. Placer deux points A et B.
2. Tracer une droite (AC) et placer un point D (n’appartenenant pas à la demi-droite [AC)).
3. Tracer une droite (d) parallèle à (AC) passant par B. Placer deux points E et F de part
et autre du point B sur la droite (d).
4. Tracer la droite (AB). Placer deux points G et H n’appartenant pas à [AB], G ∈
/ [AB) et
H∈
/ [BA).
5. Nommer une paire d’angles correspondants. Tracer-les sur la figure.
6. Nommer une paire d’angles alternes-internes. Tracer-les sur la figure.
7. Que remarquez-vous sur la mesure de ces angles ?
Propriété
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes qu’elles
déterminent sont égaux.
Exemples
Si les droites (BC) et (DE) sont parallèles
[ et ABF
[ sont égaux.
alors les angles CAB
D
A
C
F
B
E
Propriété
Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles correspondants qu’elles
déterminent sont égaux.
Exemples
Si les droites (BC) et (DE) sont parallèles
[ et ABF
[ sont égaux.
alors les angles GAD
G
D
A
C
F
B
E
H
Faire les exercices 12 13 14 F
V/ Reconnaissance angulaire du parallélisme
Activité E. Angles correspondants égaux
C
A
E
B
G
D
F
1. Reproduire à l’aide d’instruments de géométrie la figure ci-dessus, en respectant le programme suivant.
— Tracer la droite (AB).
— Tracer la droite (CD) passant par le point A.
[ à l’aide du rapporteur.
— Mesurer l’angle BAC
[ et BAC
[ de même mesure.
— Tracer la droite (EF ) de façon à obtenir des angles GBE
2. (a) Comment semblent être les droites (CD) et (EF ) ?
(b) Recopier et complèter la phrase suivante. « Deux droites coupées par une sécante et
forment avec cette sécante des angles . . . sont . . ..
Propriété
Si deux droites sont coupées par une sécante en formant deux angles alternes-internes égaux alors
ces deux droites sont parallèles.
Exemples
[ et ABF
[ sont égaux alors
Si les angles CAB
les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
D
A
C
F
B
E
Propriété
Si deux droites sont coupées par une sécante en formant deux angles correspondants égaux, alors
ces deux droites sont parallèles.
Exemples
[ et ABF
[ sont égaux alors
Si les angles GAD
les droites (BC) et (DE) sont parallèles.
G
D
A
C
F
B
E
H
Remarque
Les propriétés ci-dessus sont des réciproques des propriétés de la section IV/
Faire les exercices 15 16 17 F
Problèmes :
Faire les exercices 18 19 F 20 F