Transcript Thalès et sa réciproque

THEME :
THALES ET SA RECIPROQUE
EXERCICES
C
Exercice n° 1 : Brevet des Collèges - Aix-Marseille - 1993
On considère la figure ci-après telle que les droites (BD) et (CE)
sont parallèles, et telle que :
AB = 3
AC = 7
AD = 4
BD = 4
B
A
L'unité de longueur est le centimètre .
En précisant chaque fois la propriété utilisée, et en écrivant les
calculs nécessaires, trouver les valeurs exactes de AE, de DE, puis
de CE.
D
Exercice n° 2 : Brevet des Collèges - Nancy-Metz - 1993
E
J'examine une paire de ciseaux.
Quelle que soit son ouverture, les droites (DE) et (AB)
restent parallèles.
DC = EC = 8 cm
CB = CA = 6 cm
Lorsque je l'utilise, l'écartement DE maximal entre mes
doigts est 12 cm.
Quel est l'écartement AB maximal entre les deux lames ?
Exercice n° 3 : Brevet des Collèges - Orléans-Tours - 1993
Sur le schéma ci-dessous, les droites (AB) et (A'B') sont perpendiculaires à la droite (AA').
On donne :
AB = 15 cm , OA = 36 cm et A'B' = 3 cm B
a)Montrer que les droites (AB) et (A'B') sont
parallèles.
b)Calculer la distance OA'.
Préciser la propriété utilisée.
( Le schéma ne respecte pas les dimensions )
A
A'
O
Exercice n° 4 : Brevet des Collèges - Amiens - 94
Dans le dessin ci-dessous :
( MN) est parallèle à (BC) et (BN) est parallèle à (CD)
Les longueurs sont les suivantes :
AM = 3 , MB = 4 et AC = 14
a)Calculez la longueur AN
b)Calculez la longueur BD .
B'
C
N
A
M
B
D
Exercice 5 : Brevet des Collèges - Grenoble -
Sept 90
On suspend au mur une étagère de 2O cm de large. Pour la maintenir à l'horizontale, on dispose d'une
chaînette de 37 cm de longueur. Sur le dessin, l'étagère est représentée par le segment [AB] et la
chaînette par le segment [BC].
a)Quelle est, dans la réalité, la distance du point A au point C ( On donnera
la valeur arrondie, au centimètre ) ?
b)On s'aperçoit que l'étagère est trop étroite; on la remplace par une
étagère de 1O cm plus large .Sur le dessin , la nouvelle étagère est
représentée par le segment [AB'] et la nouvelle chaînette par le segment
[B'C'] .
Les droites (BC) et (B'C') sont parallèles.
Calculer la longueur exacte de la nouvelle chaînette.
Exercice 6 : Brevet des Collèges - Orléans-Tours - 94
L’unité est le cm.
Construire un triangle ABC tel que :
AC = 6,4 AB = 8 et BC = 4,8
a)Démontrer que ABC est un triangle rectangle.
b)Placer sur le segment [AB] le point E tel que BE = 3 . La perpendiculaire à (AC) passant par E coupe
(AC) en F.
E
F
Démontrer que les droites (BC) et (EF) sont parallèles. Calculer CF.
D
5
Exercice 7 : Brevet des Collèges - Antilles-Guyane - 92
G
Sur la figure ci-dessous, les droites D et D' sont parallèles.
De plus GI = 15 cm ; GF = 5 cm ; GH = 12 cm ; EF = 4 cm ;
12
15
Calculer GE et IH.
Exercice 8 :
Brevet des Collèges - Besançon-Lyon-Reims - 92
H
ABCD est un carré de 5 cm de côté.
O est un point de la droite (DC) tel que OC = 15 cm et OD = 10 cm
a)Les segments [OB] et [AD] se coupent en B’. Calculer B'D.
b)On trace la parallèle à (OC) qui passe par B' , elle coupe le segment [OA] en A'.
Calculer A'B’.
Exercice 9 :
Pour évaluer la largeur d'une rivière, nous pouvons procéder ainsi :
Nous plantons quatre piquets A, B, C et D tels que :
A et B sont alignés avec un repère sur l'autre rive (un caillou par exemple).
la droite (AB) est perpendiculaire aux rives.
les points C et D sont alignés avec la même repère ( caillou )
les droites (AC) et (BD) sont parallèles .
Nous mesurons AC, BD et AB. Nous pouvons alors en déduire la distance
entre le caillou et le piquet A.
a)Calculez la distance cherchée si AC = 3 (m) , BD = 5 (m) et AB = 2 (m)
b)Calculez la distance cherchée, de façon générale, en fonction
de AC , BD et AB .
Exercice 10 :
Les droites (EF) et (BC) sont parallèles.
Calculer AF.
I
D'
Exercice 11 : Brevet des Collèges - Créteil-Paris-Versailles - 92
Des élèves participent à un cross.
Avant l'épreuve, un plan leur a été remis. Il est représenté ci-dessous.
On peut y lire les indications suivantes :
AB = 400 m ; AC = 300 m
Il est précisé que l'angle A est droit, que
BE = 2 AB et que la droite (BC) est parallèle à la
droite (DE)
a)Calculer BC.
b)Calculer AD, puis CD .
c)Calculer DE .
d)Vérifier que la longueur du parcours ABCDE est
3 000 m .
Arrivée
Départ
B
A
E
C
D
Exercice 12 : Brevet des Collèges - Créteil - Paris - Versailles - 94
L’unité de longueur est le centimètre. On ne demande pas de C
refaire la figure ci-après.
On donne :
BAˆ C = BDˆ E = 90°
1.a)Démontrer que (AC) et (DE) sont parallèles .
b)On donne AB = 5 , AD = 9 et BC = 7,5 . Calculer BD , puis BE .
2.a)Calculer AC .
b)Calculer cos ABˆ C .
J
D
A
I
B
E
3. On donne AI = 3 et BJ = 3 . Les droites (IJ) et (AC) sont-elles
parallèles .
Exercice 13 : Brevet des Collèges - Orléans-Tours - 94
L’unité est le cm.
Construire un triangle ABC tel que :
AC = 6,4 AB = 8 et BC = 4,8
a)Démontrer que ABC est un triangle rectangle.
b)Placer sur le segment [AB] le point E tel que BE = 3.La perpendiculaire à (AC) passant par E coupe
(AC) en F.
Démontrer que les droites (BC) et (EF) sont parallèles. Calculer CF.
Exercice 14 : Brevet - Nantes - 92
E
Les points T , H , A , L , E sont disposés comme sur le dessin
ci-dessous
TE = 4,2 , TA = 3 , TL = 2,8 et TH = 2
H
T
L
A
L'unité de longueur est le mètre.
Les droites (LE) et (HA) sont-elles parallèles? Justifier .
Exercice 15 : Brevet des Collèges - Bordeaux - 94
E
L’unité de longueur est le centimètre.
On donne :
AB = 7,5 ; BC = 9 ; AC = 6 ; AE = 4 ; BF = 6
(ED) et (BC) sont parallèles
a)Calculer AD.
b)Les droites (EF) et (AB) sont-elles parallèles ?
La figure n’est pas en vraie grandeur.
D
A
F
B
C
Exercice 16 : Brevet - Rouen - 92
ABC est un triangle rectangle en A. E est un point du segment [AB]. F est un point du segment [AC].
On donne :
AB = 8 cm ; AF = 6,5 cm ; AE = 5 cm ; FC = 3,9 cm
a)Faire une figure.
b)Les droites (EF) et (BC) sont-elles parallèles? Justifier la réponse.
Exercice 17 : Brevet des Collèges - Caen - 92
L'unité est le centimètre.
ABC est un triangle rectangle en A tel que:
AC = 4,8 et BC = 6
1 . Construire , en utilisant la règle et le compas , le triangle ABC ( on laissera les traits de construction
apparents ) .
2 . Déterminer AB .
3 . Soit D le point de [AC] tel que AD = 1,8 .
La droite perpendiculaire à la droite (AC) et passant par D coupe [BC] au point E .
Déterminer EC et ED .
4 . I est le milieu de [BD] .Calculer EB .
En déduire que les droites (EI) et (DB) sont perpendiculaires .
5 . Calculer l'aire du trapèze ABED .
Exercice 18 : Brevet des Collèges - Lille - 92
1 . Tracer un triangle ABC tel que
AB = 6 cm , AC = 4,8 cm et BC = 8,4 cm.
Sur la demi-droite d'origine B contenant A, placer le point E tel que BE = 11 cm.
Sur la demi-droite d'origine C contenant A, placer le point F tel que CF = 8,8 cm.
2 . Calculer AE et AF.
3 . Prouver que (EF) est parallèle à (BC).
4 . Calculer la longueur du segment [EF].
Exercice 19 : Brevet des Collèges - Limoges - 92
ABC est un triangle tel que
AB = 4 cm, BC = 6 cm et Bˆ = 52° .
On désigne par I le point de [AB] tel que :
BI = 2,4 cm.
Placer J sur [AC] tel que les droites (IJ) et (BC) soient parallèles.
a)Faire une figure.
b)Calculer IJ .
c)Tracer la parallèle à (AB) passant par J. Elle coupe (BC) en K. Montrer que IJKB est un losange.
Exercice 20 :
On suppose que les droites (AB) et (DE) sont parallèles,
ainsi que les droites (BC) et (EF).
A
D
O
B
E
Démontrer que (DF) est parallèle à (AC) .
Exercice 21 :
F
On considère deux cercles C et C’ concentriques de centre
O et de rayons respectifs R et R’.
Soient [Ox) et [Oy) deux demi-droites d’origine O.
La demi-droite [Ox) coupe le cercle C en A et le cercle C’ en A’. La demi-droite [Oy) coupe le cercle C en
B et le cercle C’ en B’.
Montrer que les droites (AB) et (A’B’) sont parallèles.
C
Exercice 22 :Brevet des Collèges - Bordeaux - 92
Reproduire la figure ci-dessous, la compléter et la joindre votre
copie.
1 . D est un point du segment [AB] tel que
1
AD = AB ;
3
La droite (DE) est parallèle à la droite (BC) .
Sachant que BC = 8 cm , calculer la valeur exacte de DE.
2 . La bissectrice de l'angle DBC coupe la droite (DE) en F.
Montrer que DFˆB = DBˆF .
A
E
D
B
C
Quelle est la nature du triangle BDF ? Justifier.
3 . J désigne le milieu du segment [BF] et L le symétrique de D par rapport à J.
Quelle est la nature du quadrilatère BDFL ? Justifier.
Démontrer que L appartient à la droite (BC).
4 . Le cercle de diamètre [BL] coupe la droite (AB) en B et K.
Quelle est la nature des triangles BJL et BKL ?
5 . Les droites (BJ) et (KL) se coupent en H.
Montrer que les droites (DH) et (BL) sont perpendiculaires.
Exercice 23 :
Le quadrilatère ABCD est un trapèze rectangle
( les angles de sommets A et D sont droits ).
Le quadrilatère ABHD est un carré. On donne
AB = 6 cm et DC = 8 cm.
a)Calculer la longueur AC.
b)On désigne par I le points d'intersection de (AC) et (BH) .Calculer la
longueur CI.
B
A
I
D
H
C
Exercice 24 : Brevet des Collèges - Dijon - 92
L'unité est le centimètre .
AB = 2 ; AE = 3 ; ED = 1 ; DF = 5 ;
(BE) est perpendiculaire à (AB).
(CD) est perpendiculaire à (AF).
a)Réaliser la figure ci-dessus en vraie grandeur.
b)En précisant chaque fois dans quel triangle on opère ,
calculer cos BÂE ; puis utiliser ce résultat pour montrer
A
que AC = 6.
c)Démontrer que (BE) est parallèle à (CF).
C
B
F
E
D
Exercice 25 :
Construire un carré ABCD de côté 5 cm .
a)Calculer BD.
b)Placer le point I de [BD] tel que BI = 2,8 cm , puis le point J de [BC] tel que JC = 3 cm.
La droite (IJ) est-elle parallèle à la droite (DC)?
c)Placer le point S sur le segment [BC] tel que BS = 4 cm.
La droite passant par S et parallèle à (CD), coupe (BD) en T.
4
Calculer BT et ST ( BT sera donné au centième )
A
B
Quelle est la nature du triangle BST ?
Exercice 26 : Brevet des Collèges - Bordeaux - 1993 :
ABCD est un trapèze rectangle de bases
[AB] et [CD] tel que, en cm,
AB = 4 , DC = 8 et AD = 3 .
3
D
8
C
Faire un dessin en vraie grandeur et compléter au fur et à mesure.
a)Les diagonales du trapèze se coupent en G.
GA
GB
1
=
=
Montrer que :
GC
GD 2
b)Les demi-droites [DA) et [CB) se coupent en O. Montrer que A est le milieu de [OD] et B celui de [OC].
c)Montrer que la droite (OG) coupe le segment [DC] en son milieu.
Exercice 27 : Brevet des Collèges- Lyon - Sept 92 :
a)Tracer un cercle (C) de centre A et de rayon 3 cm. Tracer un diamètre [IJ] de ce cercle.
b)Tracer un rayon [AK] du cercle (C) tel que l'angle JÂK mesure 60° .
Démontrer que le triangle AJK est équilatéral. En déduire KJ.
B étant le milieu de [AJ], les droites (KB) et (AJ) sont perpendiculaires. Pourquoi ?
c)Calculer IB .
d)Démontrer que le triangle IJK est rectangle.
Calculer les longueurs des côtés IJ et IK. Calculer l'angle JIK.
e)Tracer la droite qui passe par B et qui est parallèle à la droite (JK) . Cette droite coupe la droite (IK)
en M.
Calculer MB et IM. En donner les valeurs exactes.
Donner une valeur approchée de IM, arrondie au dixième le plus proche.
Exercice 28 :
Un trapèze ABCD de bases [AB] et [CD] est tel que :
AB = 12 cm, BC = 4 cm, CD = 7 cm et AD = 6 cm
a)Construire un tel trapèze .
b)Soit I le point d’intersection des droites (AD) et (BC).
Calculer le périmètre du triangle ABI.
Exercice 29 :
Tracer un triangle ABC tel que
AB = 5,7 cm ; AC = 7,8 cm et BC = 10,5 cm
Placer le point M sur [AB] tel que AM = 19 mm , puis le point N sur [AC] tel que AN = 26 mm .
a)Prouver que les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
b)Soit I le point d’intersection de la parallèle à (AB) passant par N et de (BC), et J le point
d’intersection de la parallèle à (AC) passant par M et de (BC).
Prouver que
BI = IJ = JC = 3,5 cm
Exercice 30 :
Sachant que les droites (EG) et (BD) sont parallèles,
calculer CD .