Transcript matdis 2
MATEMATIKA DISKRIT
TEAM TEACHING MATEMATIKA DISKRIT
MATEMATIKA DISKRIT
3 SKS
Buku Teks :
Discrete Mathematics and Its Applications,
Kenneth H Rossen, McGraw-Hill
Penilaian :
Tugas
Kuis
UTS
UAS
LOGIKA DAN
EKUIVALENSI LOGIKA
Bab 1
Sub-bab 1.1 – 1.2
Tujuan Instruksional khusus
Memahami tentang logika proposional
Memahami tentang penggunaan operator
logika pada proposisi
Memahami tentang ekuivalensi pada logika
proposional
Logika
Logika adalah dasar dari penjabaran matematika
(mathematical reasoning)
Logika mempelajari penjabaran (reasoning) secara
benar
Fokus pada relasi antar pernyataan (statement) /
kalimat (sentence).
Contoh: Dino adalah mahasiswa UB.
Semua mahasiswa UB pandai.
Dino orang pandai.
Perhatikan bahwa logika tidak harus memperhatikan
isi kalimat; jika diketahui bahwa dua kalimat pertama
di atas benar, maka kalimat ketiga harus benar.
Proposisi
Proposisi merupakan sebuah pernyataan atau
kalimat yang punya nilai kebenaran (benar = 1 /
salah = 0). Proposisi disimbolkan dengan huruf p, q,
dsb.
Biasanya berbentuk kalimat deklaratif
Contoh bukan proposisi:
Berapa harga tiket ke Malaysia?
Silakan duduk.
MACAM PROPOSISI
Kalimat deklaratif
yang tidak
memuat penghubungdisebut
proposisi (primitif )
ex:
2 adalah Bilangan bulat
Kalimat deklaratif yg memuat
penghubung ”atau” “dan” ”jika
maka” disebut proposisi
majemuk (compound)
ex:
Taufik Hidayat pandai main bulu
tangkis atau tenis
Konektif
Jika p dan q adalah proposisi, dapat dibentuk
proposisi (majemuk) baru (compound
proposition) dengan menggunakan konektif
Macam-macam konektif:
NOT (negasi)
AND (konjungsi)
Inclusive OR (disjungsi)
Exclusive OR
Implikasi
Implikasi ganda
Simbol
Simbol
Simbol
Simbol
Simbol
Simbol
atau ‾
^
v
Tabel Kebenaran
Negasi
p
p
0
1
1
0
Contoh:
p = Jono seorang mahasiswa
p = Jono bukan seorang mahasiswa
Tabel Kebenaran
Konjungsi
p
q
p q
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Contoh :
p = Harimau adalah binatang
buas
q = Malang adalah ibukota
Jawa Timur
p ^ q = Harimau adalah
binatang buas dan Malang
adalah ibukota Jawa Timur
p ^ q
salah.
Perhatikan bahwa tidak perlu
ada keterkaitan antara p dan q
Tabel Kebenaran
Disjungsi (Inclusive OR)
p
q
pvq
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
Contoh:
p = Jono seorang mahasiswa
q = Mira seorang sarjana hukum
p v q = Jono seorang mahasiswa atau Mira
seorang sarjana hukum
Tabel Kebenaran
Exclusive Disjunction
“Either p or q” (but not both), dengan simbol p q
p
0
0
q
0
1
pq
0
1
1
1
0
1
1
0
p q bernilai benar hanya jika p benar dan q salah,
atau p salah dan q benar
p = "John is programmer, q = "Mary is a lawyer"
p q = "Either John is a programmer or Mary is a lawyer"
Kalimat majemuk
(compound statements)
p, q, r merupakan kalimat / pernyataan sederhana (simple
statements)
Apabila ada dua buah proposisi misalkan proposisi A dan
proposisi B maka dapat dibentuk proposisi baru (Compound
Proposition) dengan menggunakan konektor atau perangkai.
Beberapa contoh bentukan compound statements, seperti:
(pq)^r
p(q^r)
(p)( q)
(pq)^( r)
dll
Tingkat Presedensi
Urutan penyelesaian logika jika
menemui proposisi majemuk
Tabel Kebenaran (p r) q
p
q
r
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
(p r) q
HITUNG
Lengkapilah tabel dibawah
kesimpulan akhirnya
p
q
0
0
1
1
0
1
0
1
p q
ini
p q
serta
berikan
(p q) v (p q)
Implikasi
Disebut juga proposisi kondisional (conditional
proposition) dan berbentuk
“jika p maka q”
Notasi simboliknya : p q
Contoh:
p = Jono seorang mahasiswa
q = Mira seorang sarjana hukum
p q = Jika Jono seorang mahasiswa maka
Mira seorang sarjana hukum
Tabel Kebenaran
Implikasi
p
q
pq
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Hypotesa dan konklusi
Dalam implikasi p q
p disebut antecedent, hypothesis, premise
q disebut konsekuensi atau konklusi
(consequent, conclusion)
Perlu dan Cukup
Kondisi “perlu” dinyatakan oleh konklusi.
Kondisi “cukup” dinyatakan oleh hipotesa.
Perlu = necessary; Cukup = sufficient
Contoh:
Jika Jono seorang mahasiswa maka Mira seorang
sarjana hukum
Kondisi perlu: Mira seorang sarjana hukum
Kondisi cukup: Jono seorang mahasiswa
Tabel kebenaran
Implikasi Ganda (Biimplikasi)
Implikasi Ganda (double implication) dibaca
“p jika dan hanya jika q”
Notasi simboliknya p q
p
q
pq
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
(p q) ^ (q p)
KESIMPULAN BIIMPLIKASI
p q ekivalen dengan (p q)^(q p)
p
0
q
0
pq
1
(p q) ^ (q p)
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
Ekivalensi Logikal
Dua proposisi yang tabel kebenarannya identik
disebut ekivalen (logically equivalent).
Contoh: p q ekivalen (logically equivalent to) p
q
p
q
pq
pq
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
Konversi dan Inversi
Konversi dari p q adalah q p
Inversi dari p q adalah p q
Apakah Konversi dan Inversi diatas
equivalent???
BUKTIKAN!!!!
Kontrapositif
kontrapositif dari proposisi p q adalah
qp
Buat Tabel Kebenarannya dan apakah
p q dan q p ekivalen???
JAWAB KONTRAPOSITIF
p q dan q p ekivalen
p
0
0
q
0
1
pq
1
1
qp
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
Ekivalensi Logika
Ekivalensi
Nama
pTp
pFp
Identity laws
pTT
pFF
Domination laws
ppp
ppp
Idempotent laws
(p) p
Double negation laws
pqqp
pqqp
Commutative laws
(p q) r p (q r)
(p q) r p ( q r)
Associative laws
Ekivalensi Logika
Ekivalensi
Nama
p (q r) (p q) (p r)
p (q r) (p q) (p r)
Distributive laws
(p
q) ( p) ( q)
(p q) ( p) ( q)
De Morgan’s laws
p (p q) p
p (p q) p
Absorption laws
p p T
p p F
Negation laws
Ekivalensi Logika
Ekivalensi
p q p q
p q q p
p q p q
p q (p q)
(p q) p q
(p q) (p r) p (q r)
(p r) (q r) (p q) r
(p r) (q r) (p q) r
(p r) (q r) (p q) r
(p q) (p r) p (q r)
(p r) (q r) (p q) r
Ekivalensi
p q (p q) (q p)
p q p q
p q (p q) (p q)
(p q) p q
Tautology
Proposisi yang selalu bernilai benar (true)
dalam keadaan apapun
Contoh: p p v q
p
0
0
1
q
0
1
0
ppvq
1
1
1
1
1
1
Kontradiksi
Proposisi
yang selalu bernilai salah
(false) dalam keadaan apapun
Contoh : p ^ p
p
p ^ ( p)
0
0
1
0
Latihan-1
1.
Dari bbrp kalimat dibawah ini mana yang
termasuk proposisi ? Tentukan nilai
kebenaran dari proposisi tsb.
7 merupakan sebuah bilangan prima.
Jangan lakukan.
Jika 10 habis dibagi dengan 4, maka juga habis
dibagi dengan 2.
x + y = y + x untuk setiap pasangan dari
bilangan real x dan y
Jam berapa sekarang?
Latihan
2. Tentukan apakah (p (p q)) q adalah
tautologi?
3. Tunjukkan bahwa manakah yang ekivalen
dari ketiga logika berikut?
a. p q
b. (p q) (p q)
c. (p q) ^ (q p)