Transcript Matematika Ekonomi
Matematika Ekonomi
FUNGSI
Definisi
FUNGSI
Suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain.
Y = a + bx
INDEPENDENT VARIABLE
Notasi Fungsi Y = f(x) Y = 5 + 0.8 x f(x) = 5 + 0.8 x
5 0.8
X Y Konstanta Koef. Variable x Variabel bebas Variabel terikat
Jenis-jenis Fungsi
•
Fungsi Polinom :
fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebasnya.
y = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+…...+ a
n
x
n
•
Fungsi Linear :
fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu (fungsi berderajat satu).
y = a
0
+ a
1
x
a 1 ≠ 0
• Fungsi Kuadrat :
berderajat dua.
y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2
fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua, sering juga disebut fungsi
a 2 ≠ 0
• Fungsi berderajat n :
fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat n (n = bilangan nyata).
y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + …+ a n-1 x n-1 + a n x n an ≠ 0
•
Fungsi Pangkat :
fungsi yang veriabel bebasnya berpangkat sebuah bilangan nyata bukan nol.
y = x
n
n = bilangan nyata bukan nol.
•
Fungsi eksponensial :
fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol.
y = n
x
n > 0
(pehatikan n dan x pada kedua jenis fungsi tsb.)
•
Fungsi logaritmik :
fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponensial, variabel bebasnya merupakan bilangan logaritmik.
y =
n
log x
•
Fungsi trigonometrik dan fungsi hiperbolik :
fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan-bilangan goneometrik.
persamaan trigonometrik p ersamaan hiperbolik
y = sin x y = arc cos x
Berdasarkan letak ruas variabel-variabelnya, fungsi dibedakan menjadi 2 jenis:
Fungsi Umum Linier Kuadrat Kubik Bentuk Eksplisit
y = f(x) y = a y = a y = a 0 0 0 + a 1 x + a 1 x + a 2 x 2 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3
Bentuk Implisit
f(x, y) = 0
a a a
0 0 0 + a 1 x – y = 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 1 x + a 2 x 2 – y = 0 + a 3 x 3 – y = 0
Penggambaran
Fungsi Linier
FUNGSI LINIER
Fungsi Linear
atau fungsi berderajat satu ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu. bentuk umum persamaan linear
y = a + bx
a : adalah penggal garisnya pada sumbu vertical -
y
b : adalah koefisien arah atau lereng garis yang bersangkutan.
Penggal dan Lereng
Garis Lurus
a: penggal garis y= a + bx, yakni nilai y pada x = 0 b: lereng garis, yakni
y
/
x
pada x = 0, pada x = 1, pada x = 2,
y
y
y
/ / /
x
x
x
b b b
lereng fungsi linear selalu konstan
y a 0 c y=a
y = a berupa garis lurus sejajar sumbu horizontal x, besar kecilnya nilai x tidak mempengaruhi nilai y
x
x = c berupa garis lurus sejajar subu vertikal y, besar kecilnya nilai y tidak mempengaruhi nilai x
Pembentukan Persamaan Linier
Cara Dwi- Koordinat
• Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing- masing (x 1 , y 1 ) dan (x 2 , y 2 ), maka rumus persamaan linearnya adalah:
y y
2
y
1
y
1 =
x x
2
x
1
x
1
Cara Koordinat- Lereng
Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x 1 , y 1 ) dan lereng garisnya adalah b, maka rumus persamaan linearnya adalah:
y – y 1 = b (x – x 1 )
b = lereng garis
Cara Penggal- Lereng
• Sebuah persamaan linear dapat pula dibentuk apabila diketahui penggalnya pada salah satu sumbu dan lereng garis yang memenuhi persamaan tersebut.
y = a + bx
(a= penggal, b= lereng)
Cara Dwi-Penggal
• • Sebuah persamaan linear dapat dibentuk apabila diketahui penggal garis tersebut pada masing- masing sumbu, penggal pada sumbu vertical (ketika x = 0) penggal pada sumbu horizontal (ketika y = 0). Apabila a dan c masing-masing ádalah penggal pada sumbu sumbu vertikal dan horizontal dari sebuah garis lurus, maka persamaan garisnya adalah :
y
a
a c x
a = penggal vertikal b = penggal horizontal
y
-4
c
Y = 2 + 0,5 x
B
5 4 3,5 3 2 1
a A b
0 1 2 3 4 5 6
P x
Hubungan Dua
Garis Lurus
• Dalam sistem sepasang sumbu silang, dua buah garis lurus mempunyai empat macam kemungkinan bentuk hubungan yang : – berimpit, – sejajar, – berpotongan – dan tegak lurus.
Berimpit :
y 1 = ny 2 a 1 = na 2 b 1 = nb 2
Sejajar :
a 1 ≠ a 2 b 1 = b 2
Berpotongan :
b 1 ≠ b 2
Tegak Lurus :
b 1 = - 1/b 2
PENCARIAN AKAR- AKAR
PERSAMAAN LINEAR
• • • Pencarian besarnya harga bilangan- bilangan anu dari beberapa persamaan linear, dengan kata lain penyelesaian persamaan- persamaan linear secara serempak (simultaneously), dapat dilakukan melalui tiga macam cara : cara substituís cara eliminasi cara determinan
Cara Substitusi
Contoh : Carilah nilai variable- variable x dan y dari dua persamaan berikut: 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23 untuk variabel x, diperoleh x = 23-4y 2x + 3y = 21 2(23 – 4y) + 3y = 21 46 – 8y + 3y = 21 46 – 5y = 21, 25 = 5y, y = 5 x = ?
Cara Eliminasi
• Dua persamaan dengan dua bilangan anu dapat diselesaikan dengan cara menghilangkan untuk sementara (mengeliminasi) salah satu dari bilangan anu yang ada, sehingga dapat dihitung nilai dari bilangan anu yang lain.
2
x
3
y
21
x
4
y
23 1 2
x
3
y
21 2 2
x
8
y
46
-
5
y
25 ,
y
5
Cara Determinan
• • Cara determinan bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang jumlahnya banyak.
Determinan secara umum dilambangkan dengan notasi determinan derajad 2
a d b
e
ae db determinan derajad 3 a
d g b e h c i f
aei
bfg
chd
gec
dbi
afh
• • Ada 2 persamaan :
ax + by = c dx + ey = f
Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan :
c x
Dx D
f a d a y
Dy D
d a d b e b
ce ae
fb
db e c f b
af
dc ae
db e
Determinan
• • Contoh :
2x + 3y = 21 d x + 4y = 23
Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan : 21
x
Dx
D
23 2 1 2
y
Dy D
1 2 1 3 3 4 15 5 3 4 21 23 3 25 5 5 4
TIME TO
PEMBAGIAN KELOMPOK
KELOMPOK 1 2 3 4 5 6 7 8
001 002 004 009 033 036 038 043 006 007 012 017 020 023 024 025
ANGGOTA
019 030 031 046 047 051 049 037 011 013 022 034 045 041 048 044 008 010 016 021 026 032 039 040 029 054
Tentukan penggal x dan penggal y dari persamaan-persamaan:
5x - 10y – 20 = 0
Gambarkan persamaan fungsi linier di bawah ini (dengan metode subtitusi):
a). Y = 3x + 1 b). Y = 3x c). Y = -2x + 10
Bentuklah persamaan linier yang garisnya melalui pasangan titik-titik berikut:
a). (-1, 4) dan (1, 0) b). (-1, -2) dan (-5, -2) c). (0, 0) dan (1, 5) d). (1, 4)dan (2, 3)
Bentuklah persamaan linier yang garisnya melalui titik (-1, 3) danmempunyai koefisien arah atau lereng sebesar :
a). -1 b). 2 c ). 5 D). 0
Tentukan titik potong dari pasangan garis garis berikut :
a). y = -2 + 4x dan y = 2 + 2x b). y = -2 + 4x dan y = 6 C). y = 6 dan y = 10 – 2x d). y = 2 + 2x dan y = 10 – 2x
MINUTE PAPERS
hari ini?
TERIMAKASIH
SELAMAT BELAJAR