Pertemuan 2 Metnum 2011 Bilqis

Materi Minggu Ini

• Pengertian Akar Persamaan • Metode Grafik • Metode Tabulasi

• Metode Bolzano (Bagi dua/biseksi)

• Metode Regula Falsi • Tugas II

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 2

Tujuan

• Mencari – –  akar persamaan, artinya  menentukan harga X untuk f(x) = 0 • Contoh umum : – Pada persamaan polinomial pangkat 2 misal – f(x) = X 2 +x-2, untuk mencari x 1 menggunakan rumus ABC  dan x 2 kita bisa

X

1 , 2  

b



b

2  4

ac

2

a

Metnum 02-T.Informatika-ITS 3

• Bagaimana untuk mencari akar persamaan :

f(x) = x

4

f(x) = e

-x

f(x) = x

3

– 3x – 2 = 0 – x = 0 + x

2

– 3x – 3 = 0

• Cara pemecahan  mencoba-coba, memasukkan nilai x, agar f(x) menjadi 0 • Hasil  lama dan belum tentu ketemu  Metnum 02-T.Informatika-ITS 4

Pengertian Akar Persamaan

(1)

Dalam 2 pertemuan ke depan kita akan mempelajari beberapa metode untuk mencari akar 2 persamaan.

Untuk polynomial berderajat 2, tersedia magical formula “ABC”, yang secara analitis dapat membantu mencari akar 2 persamaan tersebut.

Sementara untuk polynomial berderajat 3 atau 4, rumus cukup kompleks. Kita perlu berkali analitis) rumus 2 2 tsb masih dapat digunakan.

2 yang ada mengucap “gladium laviosa” sebelum dapat menggunakannya. Tetapi bagaimanapun juga (secara Tapi untuk polynomial berderajat > 4 ?...

yang bisa kita lakukan hanyalah mencoba menyelesaikan melalui serangkaian pendekatan numeris. Dan untuk itu tersedia beragam metode yang dapat kita pilih.

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 5

Pengertian Akar Persamaan

(2)

Cara termudah mencari akar persamaan polynomial berderajat tinggi adalah dengan menggambarkan fungsi tersebut pada koordinat cartesian. Kemudian mencari titik potong fungsi pada sumbu X.

Cara mudah lainnya?!...

Ada, tapi butuh kesabaran. Yaitu dengan mencoba 2 (trial error). Tetapkan sebarang nilai x dan teliti apakah anda bisa mendapatkan f(x) = 0.

Jika gagal, coba nilai x lainnya. Sampai anda ‘beruntung’ menemukan f(x) = 0. Kedua cara di atas sebenarnya sudah dapat dikategorikan sebagai upaya pendekatan (walaupun tidak sistematis). Di sisi lain terdapat banyak teknik pendekatan yang secara garis besar dikelompokkan dalam 2 kelompok besar, yaitu : Kelompok Metode Akolade Kelompok Metode Terbuka (minggu ini) (pertemuan berikutnya)

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 6

Metoda Grafik

• Taksiran kasar • Tidak bisa dihitung Ea (error aproximate), hanya bisa dihitung Et (error true/sebenarnya) • Pertama buat tabel untuk menggambar grafik • Dari grafik dapat dilihat, dimana fungsi f(x) memotong sumbu x • Titik inilah yang ,menyatakan harga x untuk f(x)=0 Metnum 02-T.Informatika-ITS 7

Metoda Grafik

• dapatkan akar pendekatan dari persamaan

f(x) = e -x

• Pertama, buat dulu tabel :

– x x 0.6

0.7

0.8

0.9

1 0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

f(x)

1 0.804837

0.618731

0.440818

0.27032

0.106531

-0.05119

-0.20341

-0.35067

-0.49343

x

0.5

0.51

0.52

0.53

0.54

0.55

0.56

0.57

0.58

0.59

0.6

f(x)

0.106531

0.090496

0.074521

0.058605

0.042748

0.02695

0.011209

-0.00447

-0.0201

-0.03567

-0.05119

8

Metoda Grafik

• Kemudian gambar grafiknya 1.2

1 0.8

0.6

0.4

0.2

0 -0.2

-0.4

-0.6

-0.8

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 Metnum 02-T.Informatika-ITS 9

Metoda Grafik

• Diketahui harga sebenarnya x =

0,56714329

• Sehingga kita dapat menghitung Et, yaitu :

Et = kesalahan di acu terhadap harga sebenarnya

Et = 0,56714329 – 0,57 0,56714329 * 100 % = 0,5 % Metnum 02-T.Informatika-ITS 10

Metode Tabulasi

Metode Tabulasi ini sebenarnya merupakan perluasan dari metode Grafik. Karena Metode Grafik hanya memberikan pendekatan kasar, maka hasil lebih presisi dapat diperoleh melalui metode Tabulasi ini.

contoh : dapatkan akar pendekatan dari persamaan f(x) = e -x - x x f(x)

0 0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 T. Inf - ITS / 2009 - 2014 1 0.804837

0.618731

0.440818

0.27032

0.106531

-0.05119

-0.20341

-0.35067

-0.49343

-0.63212

x

0.5

0.51

0.52

0.53

0.54

0.55

0.56

0.57

0.58

0.59

0.6

KomNum

f(x)

0.106531

0.090496

0.074521

0.058605

0.042748

0.02695

0.011209

-0.00447

-0.0201

-0.03567

-0.05119

x

0.56

0.561

0.562

0.563

0.564

0.565

0.566

0.567

0.568

0.569

0.57

f(x)

0.011209

0.009638

0.008068

0.006498

0.004929

0.00336

0.001792

0.000225

-0.00134

-0.00291

-0.00447

11

Metoda Bagi Dua

• • Taksiran lebih halus dari grafik Disebut juga metoda setengah interfal (interval halfing), bolzano atau biseksi • • Dapat dihitung Ea dan Ee Algoritma : 1. pilih taksiran awal XL (Xlower) dan Xu (Xupper), dengan syarat f(XL) x f(Xu) < 0, ini berarti terjadi perubahan tanda antara f(Xl) dan f(Xu) Metnum 02-T.Informatika-ITS 12

Metode Bolzano

(2) Istilah “ perubahan tanda ” dalam metode ini memiliki arti penting. Karena mengingat sifat fungsi yang kontinu, maka adanya 2 nilai fungsi f(x i ) dan f(x i+n ) yang memiliki tanda berbeda menunjukkan fungsi tersebut memotong koordinat (setidaknya satu kali) di antara x i dan x i+n (ingat!... yang kita cari adalah nilai x dimana f(x) = 0) Y f(x) x 1 x 3 x 4 x 2 X

T. Inf - ITS / 2009 - 2014 KomNum 13

bilqis

Metoda Bagi Dua

14

bilqis

Metoda Bagi Dua

15

bilqis

Metoda Bagi Dua

16

bilqis

Metoda Bagi Dua

17

Metoda Bagi Dua

contoh : dapatkan akar dari persamaan f(x) = x 3 yang terletak di antara x = 1 dan x = 2.

+ x 2 – 3x – 3 = 0 Untuk x = L : f(1) = (1)3 + (1)2 – 3.1 – 3 = -4 Untuk x = u : f(2) = (2)3 + (2)2 – 3.2 – 3 = 3 Ada perubahan tanda antara x=1 dan x=2, jadi salah satu akar persamaan memang terletak di antara x=1 dan x=2. sekarang kita tentukan interval yang baru : xr = (xL + xu) / 2 = (1 + 2) / 2 = 1,5 f(xr=1,5) = -1,875 Sehingga interval yang baru antara x = 1,5 dan x = 2.

iterasi

1 2 3 4 5 … bilqis ∞

x L

1 1,5 1,5 1,625 1,6875 2 2 1,75

x u

1,75 1,75

x r

1,5 1,75 1,625 1,6875 1,71875

f(x L )

- 4,0 - 1,875 - 1,875 - 0,94335 - 0,40942 3,0

f(x u )

3,0 0,17187 0,17187 0,17187

f(x r )

- 1,875 0,17187 - 0,94335 - 0,40942 - 0,12478

- 0,00000

18

bilqis

Metoda Bagi Dua contoh lain

Nilai sebenarnya X = 2

19

Metoda Bagi Dua contoh lain

bilqis

Cari iterasi 3 dan iterasi 4

20

bilqis

Metoda Posisi Salah

21

bilqis

Metoda Posisi Salah

22

bilqis

Metoda Posisi Salah

23

PR

ketelitian 2 angka di belakang koma • Buat Program Metoda Grafik + Et  • Buat program Tabulasi + Ea + Et  kel 1 kel 2 • Buat Program Metoda Bagi Dua + Ea + Et  kel 3,4 • • Buat Program Posisi Salah + Ea + Et   komputer dan tiap kelompok mengopikan programnya ke komputer kel 5,6 minggu depan, buka pintu dan nyalakan bilqis 31