Transcript Pertemuan 4 Teori Dualitas bilqis Teori Dualitas bilqis Cara merubah primal  dual • Pada primal  jadikan bentuk normal – Jk f.tujuan = max,

Pertemuan 4
Teori Dualitas
bilqis
1
Teori Dualitas
bilqis
2
Cara merubah primal  dual
• Pada primal  jadikan bentuk normal
– Jk f.tujuan = max, maka  seluruh pembatas jadikan
 <=
– Jk f. tujuan = min, maka  seluruh pembatas jadikan
 >=
• F. tujuan berubah bentuk
– primal  max, maka dual  min
– Primal  min, maka dual  max
• Kons. Kanan primal  koef.f.tujuan dual
• Koef.f.tujuan primal  kons. Kanan dual
bilqis
3
Cara merubah primal  dual
• Untuk tiap pembatas primal ada 1 var dual
• Untuk tiap var.primal ada 1 pembatas dual
• Tanda pembatas pada dual akan
tergantung pada f.tujuannya
– f.tujuan max, maka pembatas <=
– F.tujuan min, maka pembatas >=
• Dual dari dual  primal
bilqis
4
Primal Perusahaan PT Sayang
Anak
• max Z = 3x1 + 2x2
• batasan :
2x1 + x2 <= 100
X1 + x2 <= 80
X1 <= 40
X1, x2 >= 0
•
•
•
•
Primal  mencari keuntungan max
Berapa boneka dan kereta api yang
Harus di produksi agar keuntungan max
Dual  mencari berapa kebutuhan optimal
Dari sumber daya yang ada
Berapa jam waktu poles dan waktu kayu
X1 = boneka
Yang dipakai sesungguhnya, agar hasil tetap
optimal
X2 = kereta api
Waktu poles max 100 jam
Waktu kayu max 80 jam
bilqis
5
Dengan grafis
bilqis
6
Dengan simpleks
1. Jadikan standard
–
max Z = 3x1 + 2x2 + 0S1 + 0S2 + 0S3
z – 3x1 – 2x2 = 0
–
batasan
2x1 + x2 + S1 = 100
X1 + x2 + S2 = 80
X1 + S3 = 40
X1, x2, S1, S2, S3 >= 0
2. BV  S1, S2, S3
NBV  x1, x2
bilqis
7
3. table
EV
pivot
pivot
LV
pivot
1
-1
bilqis
0
20
8
• Optimal
x1 = 20
X2 = 60
Z = 3.20 + 2.60 = 180
• Keuntungan maksimum adalah 180
• X1 = boneka yang diproduksi sebanyak 20
buah
• X2 = kereta api yang di produksi sebanyak
60 buah
bilqis
9
Dual dari Primal
• Min w =100 y1 + 80 y2 + 40 y3
• Batasan
2 y1 + y2 + y3 >= 3
y1 + y2
>= 2
y1, y2, y3 >= 0
bilqis
10
Dual  TORA
bilqis
11
bilqis
12
Bahasan
• Min w =100 y1 + 80 y2 + 40 y3
• Batasan
2 y1 + y2 + y3 >= 3
y1 + y2
>= 2
Jawaban :
y1 = 1
y2 =1
Maka min w = 100.1 + 80.1 = 180
Hasil sama dengan max Z = 180
Artinya  sumber daya poles perlu 100 jam dan sumber
daya kayu perlu 80 jam agar mendapat hasil optimum
bilqis
13
Contoh Soal
bilqis
14
Primal dengan TORA
bilqis
15
Primal dengan TORA
bilqis
16
Dual dengan TORA
bilqis
17
Dual dengan TORA
bilqis
18
Dual dengan TORA
bilqis
19
Model Primal :
memaksimumkan Z = $160x1 + 200x2
terbatas pada
2x1 + 4x2 ≤ 40 jam tenaga kerja
18x1 + 18x2 ≤ 216 pon kayu
24x1 + 12x2 ≤ 240 M2 tempat penyimpanan
x 1, x 2 ≥ 0
dimana
x1 = jumlah meja yang diproduksi
x2 = jumlah kursi yang diproduksi
bilqis
20
bilqis
21
•
•
•
•
Hasil optimum
X1 = meja  4
X2 = kursi  8
Jadi keuntungan max adalah :
– Max
Z =2.240
bilqis
22
Model primal : maks
Model dual : min
• Model DUAL :
meminimumkan Z = 40y1 + 216y2 + 240y3
terbatas pada
2y1+ 18y2 + 24y3 ≥ 160
4y1 + 18y2 + 12y3 ≥ 200
y 1, y 2, y 3 > 0
bilqis
23
bilqis
24
•
•
•
•
Hasil optimum
y1  20
y2  6,67
Jadi min
w =2.240
bilqis
25
Contoh 2 :
meminimumkan Z = 6x1 + 3x2
terbatas pada
2x1 + 4x2 ≥ 16 pon nitrogen
4x1 + 3x2 ≥ 24 pon phospate
x1, x2 ≥0
dimana
x1 = jumlah sak pupuk Super-gro
x2 = jumlah sak pupuk Crop-quik
Z = total biaya pembelian pupuk
bilqis
26
Dual :
memaksimumkan Zd = 16y1 + 24y2
terbatas pada
2y1 + 4y2 ≤ 6, biaya dari Super-gro
4y1 + 3y2 ≤ 3, biaya dari Crop-quik
y1 , y2 ≥0
dimana
y1 = nilai marjinal nitrogen
y2 = nilai marjinal phospate
bilqis
27
Contoh 3:
memaksimumkan Z = 10x1 + 6x2
terbatas pada
x1 + 4x2
≤ 40
3x1 + 2x2
= 60
2x1 + x2
≥ 25
x 1, x 2
≥0
bilqis
28
Shg Perubahan Batasan :
memaksimumkan Zp = 10x1 + 6x2 terbatas
pada
x1 + 4x2 ≤ 40
3x1 + 2x2 ≤ 60
-3x1 – 2x2 ≤ -60
-2x1 – x2 ≤ -25
x 1, x 2 ≥ 0
bilqis
29
• Bentuk dual :
meminimumkan
Zd = 40y1 + 60y2 – 60y3 – 25y4
terbatas pada
y1 + 3y2 –3y3 – 2y4 ≥ 10
4y1 + 2y2 –2y3 – y4 ≥ 6
y 1, y 2, y 3, y 4
≥0
bilqis
30
primal
• Max z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3
• Batasan
x1 + 2 x2 + x3 <= 10
2 x1 – x2 + 3 x3 = 8
x1, x2, x3 >= 0
bilqis
31
Primal  normal
• Max z = 5 x1 + 12 x2 + 4 x3
• Batasan
x1 + 2 x2 + x3 <= 10
2 x1 – x2 + 3 x3 <= 8
- 2 x1 + x2 - 3 x3 <= - 8
x1, x2, x3 >= 0
bilqis
32
dual
• Min W = 10 y1 + 8 y2 - 8 y3’
• Batasan
y1 + 2 y2 - 2 y3 >= 5
2 y1 – y2 + y3 >= 12
y1 + 3 y2 - 3 y3 >= 4
y1 , y2 , y3 >= 0
bilqis
33
Primal dengan TORA
bilqis
34
bilqis
35
Dual dengan TORA
bilqis
36
bilqis
37
bilqis
38
Primal dengan manual
Itr
BV
0
1
2
x1
x2
x3
s1
R2
Solusi
z
-(2M+5)
M-12
-(3M+4)
0
0
-8M
s1
1
2
1
1
0
10
R2
2
-1
3
0
1
8
z
-7/3
-40/3
0
0
4/3+M
32/3
x2
1/3
7/3
0
1
-1/3
22/3
s2
2/3
-1/3
1
0
1/3
8/3
z
-3/7
0
0
40/7
-4/7+M
368/7
x2
1/7
1
0
3/7
-1/7
22/7
x1
5/7
0
1
1/7
2/7
26/7
bilqis
39
Primal (cont’d)
Itr
3
BV
x1
x2
x3
s1
R2
Solusi
z
0
0
3/5
29/5
-2/5+M
54 4/5
x2
0
1
-1/5
2/5
-1/5
12/5
x1
1
0
7/5
1/5
2/5
26/5
bilqis
40
Dual dengan manual
bilqis
41
Contoh Lain
Reddy Mikks model :
Primal
max z = 5x1+4x2
st:
6x1 + 4x2 ≤ 24 (M1)
x1 + 2x2 ≤ 6 (M2)
-x1 + x2 ≤ 1
x2 ≤ 2
x1, x2 ≥ 0
Optimal solution :
x1 = 3, x2 = 1.5, z = 21
Dual
min w = 24y1+6y2+y3+2y4
st:
6y1+y2-y3 ≥5
4y1+2y2+y3+y4 ≥4
y1, y2, y3, y4 ≥ 0
Optimal solution :
y1=0.75, y2=0.5, y3=y4=0, w=21
bilqis
42
PR
• Cari bentuk dual dari primal berikut ini dan
cari jawaban primal dan dual
• Max Z = -5x1 + 2x2
• Batasan
-x1 + x2 <= -2
2x1 + 3x2 <= 5
X1, x2 >=0
bilqis
43