Transcript DIFERENSIAL-FUNGSI-SEDERHANA-Lanjutan
http://rosihan.web.id
DIFERENSIAL
(FUNGSI SEDERHANA) Lanjutan……
Hakekat Derivatif dan Diferensial
y
x
lereng
x
lim 0
y
x
dari kurva
dy dx y
f(x) dy/dx
terdiri dari 2 suku, dy dinamakan diferensial y, dx merupakan diferensial dari x
.
Diferensial dari x : dx = ∆x Diferensial dari y : dy=(dy/dx) ∆x
Variabel terikat http://rosihan.web.id
dy/dx
slope) dari kurva y = f(x) pada kedudukan
x tertentu.
lereng taksiran (approximated
∆y/∆x
true slope)
lereng yang sesungguhnya (the Lereng taksiran ini dapat lebih besar (over
estimated), atau lebih kecil (under estimated),
atau sama dengan lereng sesungguhnya (teragantung pada jenis fungsinya dan besar kecilnya perubahan pada variabel bebas) http://rosihan.web.id
Fungsi y = f(x) yang linier, lereng taksiran = lereng sesungguhnya, berapapun ∆x
dy/dx = ∆y/ ∆x
P
∆x = dx
R
y = f(x)
Q
∆y = dy Perubahan x = ∆x Perubahan y = ∆y Diferensial x = dx Diferensial y = dy Kuosien diferensi = ∆y/ ∆x Derivatif = dy/dx dy/dx = ∆y/ ∆x
http://rosihan.web.id
0 y Fungsi y = f(x) yang non-linier P S R
QR=∆y QS=dx
Q
∆x = dx
y (a) dy >
∆y Over-estimated
x 0 P S Q R
QR=dy QS=∆x ∆x = dx
(b) dy <
∆y Under-estimated
http://rosihan.web.id
x
Derivatif dari derifatif
Setiap fungsi bisa diturunkan lebih dari 1 kali (tergantung derajatnya).
Turunan pertama (turunan dari fungsi awal), turunan kedua (turunan dari fungsi pertama, dst.
contoh
:
y
f
(
x
)
x
3 4
x
2 5
x
7
y
'
dy
/
dx
3
x
2 8
x
5
y
''
d
2
y
/
dx
2 6
x
8
y
' ''
d
3
y
/
dx
3 6
y
'
v
d
4
y
/
dx
4 0 http://rosihan.web.id
Hubungan antara fungsi dan Derivatifnya
Dengan mengetahui hub. antara fungsi dan derivatifnya besarnya turunan pertama dan turunan kedua akan bisa dikenali bentuk gambar dari fungsi tersebut Kita akan mengetahui kurva menaik atau menurun, titik ekstrim dan juga titik beloknya.
http://rosihan.web.id
contoh
:
y
y
'
f dy
( /
x
)
dx
1 3
x
2
x
3
8
x
4
x
2
5
12
x
5 fungsi
fungsi kuadrat kubik
y
''
d
2
y
/
dx
2
2
x
8
fungsi linear
y
' ''
d
3
y
/
dx
3
2
konstanta
Perhatikan pengurangan derajat fungsi pada masing masing turunannya http://rosihan.web.id
Fungsi Menaik dan Menurun
Turunan pertama dari sebuah fungsi non-linear dapat digunakan untuk menentukan apakah kurva dari fungsi yang bersangkutan menaik atau menurun pada kedudukan tertentu.
Lereng nol Lereng positif fungsi menaik Lereng negatif fungsi menurun Lereng nol
y = f(x) f’(a) > 0, y = f(x) menaik f’(a) < 0, y = f(x)menurun
http://rosihan.web.id
Uji Tanda
Apabila turunan pertama f’(x) = 0, berarti y = f(x) berada di titik ekstrim Untuk menentukan apakah titik ekstrim tersebut merupakan titik maksimum ataukah minimum, maka perlu dilakukan uji tanda terhadap f’(a) = 0.
Jika f’(x) > 0 untuk x < a dan f’(x) < 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum.
Jika f’(x) < 0 untuk x < a dan f’(x) > 0 untuk x > a, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum.
http://rosihan.web.id
Titik ekstrim fungsi parabolik
Turunan pertama dari fungsi parabolik y = f(x) berguna untuk menentukan letak titik ekstrimnya.
Sedangkan turunan kedua berguna untuk mengetahui jenis titik ekstrim yang bersangkutan.
Perhatikan fungsi parabolik berikut dan turunan-turunannya, serta hubungan secara grafik.
y = f(x) = x 2 - 8x + 12 ………….fungsi parabolik y’ = f’(x) = dy/dx = 2x – 8 …….fungsi linear y” = f”(x) = d 2 y/dx 2 = 2 ……….konstanta
Parabola y = f(x) = x
2
- 8x + 12 , mencapai titik ekstrim – dalam hal ini titik minimum yaitu (4, -4)
y’ = 0, nilai variabel bebas x = 4. x = 4
dalam persamaan Parabola
dimasukkan ke didapat nilai y = -4
http://rosihan.web.id
12 y -4 -8 2 0 2 4 6 (4,-4) y = x 2 – 8x + 12 y’= 2x - 8 y” = 2 x http://rosihan.web.id
Parabola y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ =
0
Jika y” < 0 : bentuk parabolanya terbuka ke bawah, titik ekstrimnya adalah titik maksimum.
Jika y” > 0 : bentuk parabolanya terbuka ke atas, titik ekstrimnya adalah titik minimum.
http://rosihan.web.id
Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik Titik maksimum atau minimum fungsi kubik, serta titik beloknya dapat dicari melalui turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut.
Perhatikan fungsi kubik dan turunannya berikut :
y = 1/3x 3 – 3x 2 + 8x – 3 ………….fungsi kubik y’ = x 2 – 6x + 8 ……………………fungsi kuadratik y” = 2x – 6 ………………………..fungsi linear
http://rosihan.web.id
Jika y’ = 0,
x 2 – 6x + 8 = 0 (x – 2)(x – 4) = 0
x 1 = 2, x 2 = 4
Untuk x
1
= 2 dimasukkan pada persamaan kubik maka y = 3.67 (2, 3.67) titik ekstrim maksimum Untuk x
1
= 2 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = -2 < 0 (turunan kedua negatif) Untuk x
2
= 4 dimasukkan pada persamaan kubik maka y = 2.33 (4, 2.33) titik ekstrim minimum Untuk x
2
= 4 apabila dimasukkan dalam turunan ke dua, maka y” = 2 > 0 (turunan kedua positif) Jika y” = 0 2x – 6 = 0 x = 3, nilai x = 3 dimasukkan dalam persamaan kubik didapatkannilai y = 3 titik belok (3,3) http://rosihan.web.id
y 8 3.67
(2,3.67) (3,3) (4,2.33) 2 0 2 3 (3,-1) 4 -2 -4 -6 y’ = x 2 – 6x + 8 y’’= 2x – 6 y = 1 / 3 x 3 – 3x 2 + 8x + 3 y” = 2 x http://rosihan.web.id
Fungsi Kubik y = f(x) mencapai titik ekstrim pada y’ = 0 Jika y” < 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik maksimum Jika y” > 0 pada y’ = 0, maka titik ekstrimnya adalah titik minimum Fungsi kubik y = f(x) berada di titik belok pada y” = 0 http://rosihan.web.id
Relationship between marginal-cost and average-cost functions TC = C(Q) MC = C'(Q) total cost marginal cost AC = C(Q)/Q
d dQ C
Q
average cost
C
Q Q
2 1
C
1
Q
C
C
Q Q
C 1
Q
MC
AC
0 MC AC http://rosihan.web.id
Q
Penerapan lain :
Elastisitas dengan rumus umum :
Ey Ex
x
lim 0
y
/
x
/
y x
dy dx
x y
http://rosihan.web.id