TURUNAN PARSIAL dan TURUNAN PARSIAL ORDO TINGGI

Kelompok 4: Iska Widia Asri Diah Lutfiyatul H 111070270 Kelas 2k 111070149

A. Fungsi Dua Peubah atau Lebih

Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0.

Contoh: 1. z = 2x + y 2. z = ln 3. z = 1 – 2 4. xy + xz – yz = 0 5. xy - e = 0 6. ln = 0 7. arc tan - 2z = 0

B. Turunan parsial Dua dan Tiga Peubah

Andaikan f adalah fungsi dengan dua peubah x dan y. Jika y dijaga agar tetap konstan, misalnya y = y 0, maka f (x, y

0

) adalah fungsi dengan peubah tunggal x turunannya di x = x

0

disebut turunan parsial f terhadap x di (x

0 , y 0

) dan dinyatakan sebagai f

x

(x

0 , y 0

). Jadi,

f x

(x

0 , y 0

) =

Dengan cara yang serupa, turunan parsial f terhadap y di (x

0 ,y 0

) dinyatakan dengan f

y

(x

0 ,y 0

) dan dirumuskan dengan

f y

(x

0 ,y 0

) = Dari pada menghitung

f x

(x

0 ,y 0

) dan f

y

(x

0 ,y 0

) secara langsung dari rumus di atas, biasanya kita dapat menentukan f

x

(x, y) dan f

y

(x, y) dengan menggunakan aturan-aturan standar turunan, kemudian kita mensubsititusikan x = x 0 dan y = y

0

.

Contoh :

Tentukan f

x

(1, 2) dan f

y

jika f (x, y)= x 2 y + 3y 3 (1, 2),

Penyelesaian:

Jika z = f (x, y), kita menggunakan notasi notasi alternative berikut:

f x

(x, y) = =

f y

(x, y) = =

f x

(x 0 , y 0 ) =

f y

(x 0 , y 0 ) = (x0, y0) (x0, y0)

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu: 1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah.

2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah.

3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.

Definisi :

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan dan dan didefinisikan oleh = dan =

Contoh :

Tentukan turunan parsial pertama dari a. z =

Penyelesaian:

Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara berturut didefinisikan oleh: = = =

Contoh:

Jika f (x, y, z) = xy + 2yz + 3zx, tentukan f

x , f y , f z

.

Penyelesaian:

C. Turunan Parsial Ordo Tinggi

Turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n, untuk n ≥ 2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi.

Jadi andaikan z = F(x,y) maka: Turunan parsial tingkat dua adalah

= z xx = . ( ) = f xx = z xy = . ( ) = f xy = z yy = . ( ) = f yy = z yx = . ( ) = f yx Bila Z dan turunan parsialnya kontinu maka berlaku = =

Demikian pula, jika W = F(x,y,z) Turunan parsial tingkat dua adalah , , , , , , ,

Contoh:

Z =5x

4 ─ 2x 2 y + y 3

carilah 4 macam turunan parsial kedua dari z.

Penyelesaian: