Transcript MetNum4-Penyelesaian Persamaan Linier Simultan
Penyelesaian Persamaan Linier Simultan
Nana Ramadijanti
Persamaan Linier Simultan
Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas a ij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan x i untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan
Persamaan Linier Simultan
Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai x i untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan.
a a a
11 21 ...
m
1 AX = B Matrik A = Matrik Koefisien/ Jacobian. Vektor x = vektor variabel vektor B = vektor konstanta.
a
12
a
22 ...
a m
2 ...
...
...
...
a a
1
n
2
n
...
a mn
x x
2 ...
x n
1
b b
...
b
1 2
n
Persamaan Linier Simultan
Persamaan Linier Simultan atau Sistem Persamaan Linier mempunyai kemungkinan solusi : Tidak mempunyai solusi Tepat satu solusi Banyak solusi
Augmented Matrix
matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan menambahkan vector B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan:
Augmented (A) = [A B]
a a
11 21 ...
a m
1
a a
12
a
22 ...
m
2
a a
13
a
23 ...
m
3 ...
...
...
...
a a
1
n a
2
n
...
mn b b b
...
1 2
m
Contoh 1 :
Seorang pembuat boneka ingin membuat dua macam boneka yaitu boneka A dan boneka B. Kedua boneka tersebut dibuat dengan menggunakan dua macam bahan yaitu potongan kain dan kancing. Boneka A membutuhkan 10 potongan kain dan 6 kancing, sedangkan boneka B membutuhkan 8 potongan kain dan 8 kancing.
Permasalahannya adalah berapa buah boneka A dan boneka B yang dapat dibuat dari 82 potongan kain dan 62 kancing ?
Contoh 1
Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan : x y = jumlah boneka A = jumlah boneka B Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa: Potongan kain 10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82 Kancing 6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62 Atau dapat dituliskan dengan : 10 x + 8 y = 82 6 x + 8 y = 62 Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan di atas.
Contoh 2 :
Perhatikan potongan peta yang sudah diperbesar ( berikut : 3 zoom ) sebagai 4 2 1 Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus, sehingga tampak kasar. Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial. Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih halus.
Contoh 2 :
4 titik yang ditunjuk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu :
y
ax
3
bx
2
cx
d
Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut : Titik 1 3 = 8 a + 4 b + 2 c + d Titik 2 Titik 3 Titik 4 6 = 343 a + 49 b + 7 c + d 14 = 512 a + 64 b + 8 c + d 10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d Nilai a, b, c dan d adalah penyelesaian dari permasalahan di atas.
Contoh 2 :
Setelah nilai a, b, c dan d diperoleh maka persamaan polinomialnya didapatkan dan dengan menggunakan step x yang lebih kecil dapat digambarkan grafiknya dengan lebih halus.
Theorema 4.1.
Suatu persamaan linier simultan mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat syarat sebagai berikut.
Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar, dimana jumlah persamaan sama dengan jumlah variable bebas.
Persamaan linier simultan non-homogen dimana minimal ada satu nilai vector konstanta B tidak nol atau ada bn 0.
Determinan dari matrik koefisien persamaan linier simultan tidak sama dengan nol.
Metode Analitik
metode grafis aturan Crammer invers matrik
Metode Numerik
Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss-Jordan Metode Iterasi Gauss-Seidel
Metode Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas matrik diubah menjadi augmented matrik :
a a
11 21 ...
a
n1
a a a
12 22 ...
n
2 ...
...
...
...
a a
2
n a
1
n
...
nn b
1
b
2 ...
b n
Metode Eliminasi Gauss
a a
11 21
a a
31 ...
n
1 ubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).
a
12
a
22
a
32 ...
a n
2
a
13
a
23
a
33 ...
a n
3 ...
...
...
...
...
a
1
n a
2
n a
3
n
...
a nn b b b
...
b
1 2 3
n
c
11 0 0 ...
0
c
12
c
22 0 ...
0
c
13
c
23
c
33 ...
0 ...
...
...
...
...
c
1
n c
2
n c
3
n
...
c nn d d d d
...
1 2 3
n
Operasi Baris Elementer
Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem yang baru yang mempunyai himp solusi yang sama dan lebih mudah untuk diselesaikan Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian step yang menerapkan 3 tipe operasi. Operasi ini disebut Operasi Baris Elementer 1. Multiply an equation through by an nonzero constant.
2. Interchange two equation.
3. Add a multiple of one equation to another.
Metode Eliminasi Gauss
Sehingga penyelesaian dapat diperoleh dengan:
x
d n n c nn x n
1 1
c n
1 ,
n
1
c n
1 ,
n x n
d n
1 ..........
..........
..........
.......
x
2 1
c
22
d
2
c
23
x
3
c
24
x
4 ...
c
2
n x n
x
1 1
c
11
d
1
c
12
x
2
c
13
x
3 ...
c
1
n x n
Contoh :
Selesaikan sistem persamaan berikut:
x x
1 1 2
x
1
x
2 2
x
2
x
3
x
3 6 2
x
2 2
x
3 10 Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut : 1 1 2 1 2 1 1 2 1 6 2 10
Contoh :
Lakukan operasi baris elementer
B
2
B
3
B
1 2
B
1
B
3
B
2 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 2 0 1 2 2 6 4 2 6 4 6
Contoh :
Penyelesaian :
x
3
x
2 6 2 3 1 1 4 ( 2 ) 3 2
x
1 1 1 6 2 3 1
Algoritma Metode Eliminasi Gauss
Metode Eliminasi Gauss Jordan
Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal
a a a
31
a
11 21 ...
n
1
a
12
a
22
a
32 ...
a n
2
a
13
a
23
a
33 ...
a n
3 ...
...
...
...
...
a
1
n a
2
n a
3
n
...
a nn b b b
...
b
1 2 3
n
1 0 0 ...
0 0 1 0 ...
0 0 0 1 ...
0 ...
...
...
...
...
0 0 0 ...
1
d d d d
...
1 2 3
n
Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,…,dn dan atau:
x
1
d
1 ,
x
2
d
2 ,
x
3
d
3 ,....,
x n
d n
Contoh :
Selesaikan persamaan linier simultan:
x
1 2
x
1
x
2 4
x
2 3 8 Augmented matrik dari persamaan linier simultan 1 2 1 4 3 8
B B
2 / 2 1 0 Lakukan operasi baris elementer
B
Penyelesaian persamaan linier simultan : x 1 = 2 dan x 2 = 1 1 2 2
b
1
B
2 1 0 1 0 1 1 0 1 1 2 3 1 3 2 2 1
Contoh :
x
y
2
z
2
x
4
y
3
z
9 1 3
x
6
y
5
z
0 B 2 -2B 1
x
y
2
z
2
y
7
z
9 1 7 3
x
6
y
5
z
0 B 3 -3B 1 1 2 3 1 4 6 2 3 5 9 1 0 B 2 -2B 1 1 0 3 1 2 6 2 7 5 9 17 0 B 3 -3B 1
Example 3 Using Elementary row Operations(2/4)
x
y
2
z
9 2
y
7
z
3
y
11
z
17 27 ½ B 2
x
y
2
z
9
y
3
y
7 2
z
11
z
17 2 0 B 3 -3B 2 1 0 0 1 2 3 2 7 11 9 17 27 ½ B 2 1 0 0 1 1 3 2 7 2 11 9 17 2 27 B 3 -3B 2
Example 3 Using Elementary row Operations(3/4)
x
y
2
z
9
y
7 2 1 2
z z
17 2 3 2 -2 B 3
x
y
2
z
9
y
7 2
z z
17 2 3 B 1 - B 2 1 0 0 1 1 0 2 7 2 1 2 9 17 2 3 2 -2 B 3 1 0 0 1 1 0 2 7 2 1 9 3 17 2 B 1 - B 2
Example 3 Using Elementary row Operations(4/4)
x
11 2
y
7 2
z z z
35 2 17 2 3 B 2 + 7/2 B 3 B 1 - 11/2 B 3 1 0 0 0 1 0 11 2 7 2 1 35 2 3 17 2 B 2 + 7/2 B B 1 - 11/2 B 3 Solusi x = 1, y=2 dan z=3 3
x
1
y
2
z
3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 3
Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Metode Iterasi Gauss Seidel
a
11
a
21
a
31 ...
a n
1 Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah. Bila diketahui persamaan linier simultan
x
1
x
1
x
1 ...
x
1 ...
a
12
a
22
a
32 ...
a n
2
x
2
x
2
x
2 ...
x
2 ...
a
13
a
23
a
33 ...
a n
3
x
3
x
3
x
3 ...
x
3 ...
...
...
...
...
...
...
a
1
n a
2
n a
3
n
...
a nn x n x n x n
...
x n
...
b
1
b
2
b
3 ...
b n
Metode Iterasi Gauss Seidel
Berikan nilai awal dari setiap x kemudian persamaan linier simultan diatas dituliskan menjadi: i (i=1 s/d n)
x
1 1
a
11
b
1
a
12
x
2
a
13
x
3 ....
a
1
n x n
x
2 1
a
2 2
b
2
a
21
x
1
a
23
x
3 ....
a
2
n x n
..........
..........
..........
..........
..........
..........
...
x n
1
a nn
b n
a n
1
x
1
a n
2
x
2 ....
a nn
1
x n
1
Metode Iterasi Gauss Seidel
Dengan menghitung nilai-nilai menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap sudah sama dengan nilai x i simultan tersebut. x i (i=1 s/d n) xi (i=1 s/d n) pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai ditentukan.
x i (i=1 s/d n) dengan nilai x i pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang Untuk mengecek kekonvergenan
Catatan
Hati-hati dalam menyusun sistem persamaan linier ketika menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel ini. Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing x i pada semua persamaan di diagonal utama (a ii ).
Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk setiap x i pada diagonal utama. Masalah ini adalah ‘masalah pivoting’ yang harus benar-benar diperhatikan, karena penyusun yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak diperoleh hasil yang benar.
Contoh
x
1 2
x
1
x
2 4
x
2 5 14 Berikan nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0 Susun persamaan menjadi:
x
1 5
x
2
x
2 1 4 14 2
x
1 (5,1) (4,3/2) (7/2,7/4)
Contoh
(13/4 , 15/8) (25/8 , 31/16) (49/16 , 63/32 ) (97/32 , 127/64)
Contoh :
Selesaikan sistem persamaan berikut:
x x
1 1 2
x
1
x
2 2
x
2
x
3
x
3 6 2
x
2 2
x
3 10 Augmented matrik dari persamaan linier simultan tersebut : 1 1 2 1 2 1 1 2 1 6 2 10
Hasil Divergen
Hasil Konvergen
2
x
1
x
1
x
2
x
2 2
x
1
x
2
x
3 2
x
3
x
3 10 2 6
Algoritma Metode Iterasi Gauss-Seidel
Soal
Selesaikan dg Eliminasi Gauss-Jordan x1 + x2 + 2x3 = 8 -x1 – 2x1 + 3x3 = 1 3x1 – 7x2 + 4x3 = 10 x – y + 2z – w = -1 2x + y - 2z -2w = -2 -x + 2y – 4z + w = 1 3x - 3w = -3
x
y
2
z
9 2
x
4
y
3
z
1 3
x
6
y
5
z
0
Selesaikan dg Gauss Seidel 5x1 + 2x2 + 6x3 = 0 -2x1 + x2 + 3x3 = 0 X1 – 2x2 + x3 – 4x4 = 1 X1 + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2 X1 – 12x2 – 11x3 – 16x4 = 5
Contoh Penyelesaian Permasalahan Persamaan Linier Simultan
Mr.X membuat 2 macam boneka A dan B. Boneka A memerlukan bahan 10 blok B1 dan 2 blok B2, sedangkan boneka B memerlukan bahan 5 blok B1 dan 6 blok B2. Berapa jumlah boneka yang dapat dihasilkan bila tersedia 80 blok bahan B1 dan 36 blok bahan B2.
Model Sistem Persamaan Linier : Variabel yang dicari adalah jumlah boneka, anggap:
x1 x2 adalah jumlah boneka A adalah jumlah boneka B
Perhatikan dari pemakaian bahan :
B1: 10 bahan untuk boneka A + 5 bahan untuk boneka B = 80 B2: 2 bahan untuk boneka A + 6 bahan untuk boneka B = 36 Diperoleh model sistem persamaan linier 10 x1 + 5 x2 = 80 2 x1 + 6 x2 = 36
Contoh 1 :
metode eliminasi Gauss-Jordan Diperoleh x1 = 6 dan x2 = 4, artinya bahan yang tersedia dapat dibuat 6 boneka A dan 4 boneka B.
Contoh 2 :Penghalusan Kurva Dengan
Fungsi Pendekatan Polinomial
Perhatikan bahwa pada ke-4 titik tersebut dihubungkan dengan garis lurus, sehingga tampak kasar. Untuk menghaluskannya dilakukan pendekatan garis dengan kurva yang dibentuk dengan fungsi pendekatan polinomial. Dari fungsi polinomial yang dihasilkan kurva dapat digambarkan dengan lebih halus.
3 4 2 1
Contoh 2 :
Misalkan pada contoh diatas, 4 titik yang ditunjuk adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini dapat didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu : Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam persamaan di atas akan diperoleh model persamaan simultan sebagai berikut : Titik 1 3 = 8 a + 4 b + 2 c + d Titik 2 Titik 3 6 = 343 a + 49 b + 7 c + d 14 = 512 a + 64 b + 8 c + d Titik 4 10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d
Dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan a = -0,303 b = 6,39 c = -36,59 d = 53,04
y = -0,303 x3 + 6,39 x2 – 36,59 x + 53,04