Transcript Desviación media, Varianza, Desviación Estándar

Estadística Administrativa I
Período 2014-2
Medidas de dispersión
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Medidas de dispersión
La medidas de dispersión indican la medida en que los
datos se agrupan alrededor de la media aritmética.
Una medida mientras más baja es, los datos están más
cerca de la media; al contrario, una dispersión muy alta
hace que la media aritmética ya no sea tan confiable al
momento de tomar decisiones.
2
Tipos de medidas de dispersión
› Rango
› Desviación media
› Varianza
› Desviación estándar
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Rango
› Es la medida de dispersión mas simple, es la diferencia entre
el dato mayor y el menor de una muestra.
› Esta medida es la que más se utiliza para realizar controles de
procesos estadísticos (CPE), puesto que determina en qué
parámetros nos debemos basar para la toma de decisiones.
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 = 𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝐷𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
4
Ejemplo…..
› Estamos vendiendo cámaras digitales con precios que varían
según los megapíxeles, zoom, tipo de lente, capacidad de la
Micro SD. Los precios en dólares que se han marcado para
para modelo específico son:
340
450
425
280
220
390
290
370
400
310
380
500
270
475
› Revisar cuál es el rango de precios que le ofreceremos a
nuestros clientes
Rango = 500 – 220 = 280
5
Desviación media
Es el punto medio del rango; con esta medida se puede
considerar cuál es el rango promedio de los datos de una
muestra.
Es la media aritmética de los valores absolutos de las
desviaciones con respecto a la media aritmética.
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Desviación media
𝑀𝐷 =
|𝑋 − 𝑋|
𝑛
› MD
=
Desviación media
›X
=
Dato de la muestra
›n
=
Tamaño de la muestra
›
=
Sumar todos los datos
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Ejemplo . . .
› La cantidad de capuchinos vendidos por Espresso Americano
en el aeropuesto Toncontín, entre 3 y 4 de la tarde de una
muestra de 5 días de hace dos meses fue de 20, 40, 50, 60 y
80. Calcular la desviación media
› Media aritmética
𝑋=
20+40+50+60+80
5
=
250
5
= 50
capuchinos
› Desviación Media
20 − 50 + 40 − 50 + 50 − 50 + 60 − 50 + |80 − 50|
𝐷𝑀 =
5
=
30+10+0+10+30
5
=
80
= 16
5
8
𝜎
2
Varianza
Es la media aritmética de las desviaciones de la media
elevadas al cuadrado.
Es la medida de dispersión más utilizada en los estudios
inferenciales.
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Varianza
› Poblacional
› Muestral
2
𝜎 =
𝑺2 =
(𝑥 − µ)
𝑁
(𝑥 − 𝑋)
𝑛−1
2
2
10
Ejemplo……
› El número de multas de tránsito levantadas en los últimos
cinco meses en su municipio es de 38, 26, 13, 41 y 22. Calcular
la varianza de este período de tiempo.
2
(𝑥
−
µ)
2
𝜎 =
› Primer paso:
𝜇=
5
Calcular la media aritmética poblacional
38+26+13+41+22
5
=
140
5
= 28
multas
› Segundo paso: Calcular la varianza
2
2
2
2
2
(38
−
28)
+(26
−
28)
+(13
−
28)
+(41
−
28)
+(22
−
28)
𝜎2 =
5
11
. . . ejemplo
2 +(26 − 28)2 +(13 − 28)2 +(41 − 28)2 +(22 − 28)2
(38
−
28)
𝜎2 =
5
(10)2 +(−2)2 +(−15)2 +(13)2 +(−6)2
=
=
=
5
100+4+225+169+36
5
534
5
= 106.8
multas cuadradas
Buscar una medida que elimine las unidades cuadradas.
12
𝜎
Desviación estándar
Para calcular la desviación estándar se calcula la raíz
cuadrada de la varianza.
Con este simple método, se garantiza que las unidades
se conviertan en unidades simples.
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Ejemplo……
› El número de multas de tránsito levantadas en los últimos
cinco meses en su municipio es de 38, 26, 13, 41 y 22.
Calcular la desviación estándar de este período de tiempo.
(𝑥 − µ)2
5
2
𝜎 =
𝜇=
𝜎=
2
𝑥
𝑁
= 106.8 multas cuadradas
= 28
106.8
5
multas
= 10.3344
multas
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Varianza y desviación estándar de muestras
› Ejemplo:
Los salarios por hora de una muestra de
empleados de medio tiempo de Home Depot son: $12,
$20, $16, $18 y $19. Calcular la desviación estándar de la
muestra.
› Proceso:
1.Calcular la media aritmética
2.Calcular la varianza
3.Calcular la desviación estándar
15
. . . Ejemplo
Datos: 12, 20, 16, 18, 19
𝑋=
12+20+16+18+19
5
=
85
5
= 17
dólares
2 +(20 − 17)2 +(16 − 17)2 +(18 − 17)2 +(19 − 17)2
(12
−
17)
𝑠2 =
5
(−5)2 +(3)2 +(−1)2 +(1)2 +(2)2
25+9+1+1+4
40
=
=
=
5
5
5
= 10
s
=
10 = 3.16
dólares
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Teorema de Chebyshev
En cualquier conjunto de observaciones de una
muestra o una población, la proporción de valores
que se encuentran a k desviaciones estándar de la
media es de por lo menos 1± 1/k2, siendo k
cualquier constante mayor que 1.
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Teorema de Chebyshev
› Una desviación estándar pequeña para una muestra, indica
que estos valores se localizan cerca de la media; por el
contrario, una desviación grande revela que las
observaciones se encuentran muy dispersas con respecto a
la media.
› Según el teorema de Chebyshev para una medida de
dispersión sea confiable, el 75% de los datos deben
encontrarse a cierta cantidad de desviaciones estándares
de la media, ya sea antes o después de ella.
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Teorema de Chevyshev
Desviación grande
Desviación pequeña
19
Ejemplo…
› La media aritmética de la suma quincenal que
aportan los empleados de Officen Depot para el
plan de reparto de utilidades de la compañía es de
$51.54 y la desviación estándar de $7.51. ¿Qué
porcentaje de las aportaciones se encuentra en más
o menos de 3.5 desviaciones estándares?
›𝑘
:
cantidad de desviaciones estándares
› % desviaciones = 1 −
1
𝑘2
20
Ejemplo…
% desviaciones = 1 −
= 1−
1
𝑘2
= 1−
1
12.25
= 0.91836735
1
3.52
=
1 − 0.0816
=
0.92
El 92% de los datos de la muestra están alrededor de las
3.5 desviaciones a ambos lados de la media aritmética.
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La regla empírica o normal
En cualquier distribución de frecuencias simétrica,
aproximadamente el 68% de los datos se encuentran entre más y
menos 1 desviación estándar; cerca del 95% se encuentran entre
más y menos 2 desviaciones estándar y el 99.7% (casi todas)
estarán entre más y menos 3 desviaciones estándar.
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Ejemplo . . .
› En una empresa de bienes y raíces, los precios de la renta
tienen una distribución de frecuencias simétrica. La media de
la muestra es de $500 y la desviación estándar de $20. ¿entre
qué cantidades se encuentra el 95% de los datos?.
› El 95% equivale a 2 desviaciones estándar a cada lado de la
muestra.
› Primera:
𝜇 − 2𝜎 = 500 – 2(20) = 500 – 40 = 460
› Segunda: 𝜇 + 2𝜎 = 500 + 2 20 = 500 + 40 = 540
› El 95% de los precios oscilan entre 460 y 540 dólares.
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TAREA
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35 - 40
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82
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41, 43, 45
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85
Ejercicios:
49, 50, 51
24
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