Transcript Medidas de posición y de dispersión

MEDIDAS DE DE DISPERSIÓN
DESVIACIÓN ESTÁNDAR, VARIANZA Y COEFICIENTE DE VARIACIÓN
MEDIDAS DE DISPERSIÓN: CONCEPTUALIZACIÓN
• Variación o dispersión: Es el grado en que los datos u observaciones de una
distribución tienden a concentrarse o extenderse alrededor de un valor
central (promedio).
• Las medidas de dispersión más conocidas son: El rango, alcance, desviación
media, desviación típica o estándar, la varianza y el coeficiente de variación.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN: DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y
VARIANZA EN DATOS NO AGRUPADOS.
• La desviación estándar y la varianza son medidas que nos dan una distancia
promedio de cualquier observación de la distribución de datos, con respecto a
la media de dicha distribución.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN: DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y
VARIANZA EN DATOS NO AGRUPADOS.
• Fórmula de desviación estándar:
𝑆=
2
𝑋2
𝑛𝑋 2
−
𝑛−1 𝑛−1
Donde:
𝑠= Desviación estándar de la muestra
𝑋 2 = Sumatoria de los puntajes no procesados, elevados al cuadrado
𝑋= Puntaje no procesado
𝑛= Tamaño de la muestra
𝑋 2 = La media al cuadrado
MEDIDAS DE DISPERSIÓN: DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y
VARIANZA EN DATOS NO AGRUPADOS.
Ejemplo: Calcular la desviación estándar del conjunto de puntajes dados de una
población en la siguiente disposición: 1, 2, 4, 6, 8, 9.
Paso 1: Hacer una tabla en la que se consigne 𝑿, 𝑿𝟐 .
Paso 2: Calcular
𝑿𝟐
Paso 3: Obtener la media y elevarla al cuadrado.
Paso 4: Sustituir y operar en la fórmula.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN: DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y
VARIANZA EN DATOS NO AGRUPADOS.
• Fórmula de varianza: Es la misma que la de desviación estándar, sólo que sin la raíz cuadrada.
𝑋2
𝑛𝑋 2
𝑆 =
−
𝑛−1 𝑛−1
2
Donde:
𝑆 2 = Varianza de la muestra
𝑋 2 = Sumatoria de los puntajes no procesados, elevados al cuadrado
𝑋= Puntaje no procesado
𝑛= Tamaño de la muestra
𝑋 2 = La media al cuadrado
MEDIDAS DE DISPERSIÓN: DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y
VARIANZA EN DATOS NO AGRUPADOS.
Ejemplo: Calcular la varianza del conjunto de puntajes dados de una población
en la siguiente disposición: 1, 2, 4, 6, 8, 9.
Paso 1: Hacer una tabla en la que se consigne 𝑿, 𝑿𝟐 .
Paso 2: Calcular
𝑿𝟐
Paso 3: Obtener la media y elevarla al cuadrado.
Paso 4: Sustituir y operar en la fórmula.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN: DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y
VARIANZA EN DATOS AGRUPADOS FRECUENCIA SIMPLE.
• Fórmula de desviación estándar:
𝑆=
2
𝑓𝑋 2
𝑛𝑋 2
−
𝑛−1 𝑛−1
Donde:
𝑠= Desviación estándar de la muestra
𝑓𝑋 2 = Sumatoria del producto de la frecuencia por el respectivo valor de la observación elevada al
cuadrado.
𝑓= Frecuencia de las observaciones
𝑋= Puntaje no procesado
𝑛= Tamaño de la muestra
𝑋 2 = La media al cuadrado
MEDIDAS DE DISPERSIÓN: DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y
VARIANZA EN DATOS AGRUPADOS FRECUENCIA SIMPLE.
• Fórmula de varianza: Es la misma que la de desviación estándar, sólo que sin la raíz cuadrada.
2
2
𝑓𝑋
𝑛
𝑋
𝑆2 =
−
𝑛−1 𝑛−1
Donde:
𝑆 2 = Varianza de la muestra
𝑓𝑋 2 = Sumatoria del producto de la frecuencia por el respectivo valor de la observación elevada al
cuadrado.
𝑋= Puntaje no procesado
𝑛= Tamaño de la muestra
𝑋 2 = La media al cuadrado
MEDIDAS DE DISPERSIÓN: DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y
VARIANZA EN DATOS AGRUPADOS FRECUENCIA SIMPLE.
• Ejemplo: Determinar el valor de la desviación estándar y de la varianza, de la
siguiente distribución de frecuencia simple.
X
f
1
2
3
4
5
6
7
1
2
2
5
3
2
1
MEDIDAS DE DISPERSIÓN: DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y
VARIANZA EN DATOS AGRUPADOS DISTRIBUCIÓN DE
FRECUENCIA.
• Fórmula de desviación estándar:
𝑆=
2
𝑓 𝑋𝑚
𝑛−1
2
𝑛𝑋 2
−
𝑛−1
Donde:
𝑠= Desviación estándar de la muestra
𝑓 𝑋𝑚 2 = Sumatoria del producto de la frecuencia por la respectiva marca de clase elevada al cuadrado.
𝑓= Frecuencia de las observaciones
𝑋= Puntaje no procesado
𝑛= Tamaño de la muestra
𝑋 2 = La media al cuadrado
MEDIDAS DE DISPERSIÓN: DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y
VARIANZA EN DATOS AGRUPADOS DISTRIBUCIÓN DE
FRECUENCIA.
• Fórmula de varianza:
𝑆2 =
𝑓 𝑋𝑚
𝑛−1
2
𝑛𝑋 2
−
𝑛−1
Donde:
𝑠 2 = Varianza de la muestra
𝑓 𝑋𝑚 2 = Sumatoria del producto de la frecuencia por la respectiva marca de clase elevada al cuadrado.
𝑓= Frecuencia de las observaciones
𝑋= Puntaje no procesado
𝑛= Tamaño de la muestra
𝑋 2 = La media al cuadrado
MEDIDAS DE DISPERSIÓN: DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y
VARIANZA EN DATOS AGRUPADOS DISTRIBUCIÓN DE
FRECUENCIA.
Ejemplo: Vamos a Excel.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN – DESVIACIÓN RELATIVA:
COEFICIENTE DE VARIACIÓN, VARIABLE NORMALIZADA
El coeficiente de variación. Es una medida relativa que
resulta de utilidad al comparar la cantidad de variación en
grupos de datos que posean medias diferentes.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN – DESVIACIÓN RELATIVA:
COEFICIENTE DE VARIACIÓN, VARIABLE NORMALIZADA
El coeficiente de variación – Fórmula:
𝑠
𝑐𝑣 = 𝑥100%
𝑋
MEDIDAS DE DISPERSIÓN – DESVIACIÓN RELATIVA:
COEFICIENTE DE VARIACIÓN, VARIABLE NORMALIZADA
Coeficiente de variación.
Ejemplo 1: El técnico del laboratorio A en promedio realizó
40 análisis, con una 𝑠 = 5. El técnico B hace 160 análisis
diarios como promedio con una 𝒔 = 𝟏𝟓. ¿Cuál de las dos
muestra menor variabilidad?
MEDIDAS DE DISPERSIÓN – DESVIACIÓN RELATIVA:
COEFICIENTE DE VARIACIÓN, VARIABLE NORMALIZADA
Coeficiente de variación.
Ejemplo 2: Un fabricante de tubos de TV tiene dos tipos de
tubos: A y B. El A tiene una duración media de 1,495 horas
con una desviación estándar de 280 horas. El tubo B tiene
una duración media de 1,875 horas con una desviación
estándar de 310 horas. ¿Qué tipo de tubo tiene mayor
dispersión relativa?
MEDIDAS DE DISPERSIÓN – DESVIACIÓN RELATIVA:
COEFICIENTE DE VARIACIÓN, VARIABLE NORMALIZADA
La variable normalizada.
Es una medida denominada puntuación estándar o
puntuación normalizada o puntuación z, ello nos da el
número de desviaciones estándar a que está determinado
valor de la variable, por arriba o abajo del valor de la media.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN – DESVIACIÓN RELATIVA:
COEFICIENTE DE VARIACIÓN, VARIABLE NORMALIZADA
La variable normalizada.
Fórmula:
𝑿−𝑿
𝒛=
𝒔
Donde:
𝑋= Media
𝑋= Valor de la observación
𝑠= Desviación estándar
𝑧=Puntaje estandarizado
MEDIDAS DE DISPERSIÓN – DESVIACIÓN RELATIVA:
COEFICIENTE DE VARIACIÓN, VARIABLE NORMALIZADA
La variable normalizada.
Ejemplo 1. En la asignatura de Programación Estructurada I las calificaciones del
curso, tuvieron un promedio de 60% con una desviación estándar de 16. En
Contabilidad Intermedia, las calificaciones finales tuvieron una media de 58%
con una desviación estándar de 10. Si un alumno obtiene 72% en Contabilidad
Intermedia y 68% en Programación Estructurada I.
a)¿A cuántas desviaciones estándar está cada una de esas calificaciones por
arriba del promedio de la asignatura respectiva?
b)¿Qué se puede decir de esto, acerca de su desempeño en ambas asignaturas?
MEDIDAS DE DISPERSIÓN – DESVIACIÓN RELATIVA:
COEFICIENTE DE VARIACIÓN, VARIABLE NORMALIZADA
La variable normalizada.
Ejemplo 2. De un examen final de matemática la media de la muestra fue de
72% y la desviación estándar de 15. Determinar las puntuaciones Z o
normalizadas de: a) 60%, b) 93%, c) 72%.