ZÁKLADY EKONOMETRIE

13. cvičení Modely simultánních rovnic 1

Modely simultánních rovnic

Existuje vícesměrná závislost Nejsme omezeni pouze jedním směrem Např.

počet odpracovaných hodin = f (mzdy) + u mzda = f (počet odpracovaných hodin) + u

2

Typy proměnných

Endogenní

– určené modelem

Exogenní

– určené mimo model

Predeterminované

– všechny exogenní + zpožděné endogenní proměnné Uvedeme si příklad soustavy rovnic

Y

1 =

f

(

X

1 ,

Y

2 ) +

u

1

Y

2 =

f

(

X

2 ) +

u

2 Vidíme, že proměnná

Y

2 je v roli vysvětlující proměnné v první rovnici, ale zároveň je to vysvětlovaná proměnná z druhé rovnice. Pokud dosadíme druhou rovnici do první, získáme

Y

1 =

f

(

X

1 ,

f

(

X

2 ) +

u

2 ) +

u

1 Problém :

Y

2 není exogenní proměnná, protože je určena modelem!

3

Poptávkový – Nabídkový model Jsou

P

a

Q

nezávislé proměnné?

a) Jak se změní

P

růstu poptávky?

a

Q

dojde li díky zvýšení důchodů k b) Jak se změní, dojde-li díky snížení nákladů k zvýšení nabídky?

poptávková funkce: nabídková funkce: podmínka rovnováhy:

Q t d Q t s Q t d

  1    1

t

 2

t

1

t



Q t s

, P S D Q

Příklad

4

Příklad - řešení

Cena a poptávané/nabízené množství nejsou nezávislé veličiny, protože: a) Při změně poptávky obrázek a) doje ke změně poptávaného množství i ceny komodity b) Při změně nabídky obrázek b) doje ke změně poptávaného množství i ceny komodity P P S S S´ D D´ Q a) b) D Q

5

Strukturní vs. redukovaný tvar

Strukturní je „původní“ tvar MSR, který zachycuje ekonomické vztahy

C t

  0 1

Y t



u t

,

Y t



C t



I t

Redukovaný tvar odvodíme ze strukturního tak, že endogenní proměnné budou funkcí pouze všech predeterminovaných proměnných

Y t

 11   1   0  1 1    0  1 , 1  1  1  12 

I t

1   1 

u t

 1 1  1 , ,

Y t

  11   12

I t



v t

,  1  1

C t

 21   1   1 0  1   0   1 , 1   1  1  22

I t

  1 1

u t

  1    1 1 , ,

C t

  21   22

I t



v t

,  1  1

6

Interpretace strukturních vs. redukovaných parametrů

Strukturní tvar

C t Y t

  0 1

Y t



C t



I t



u t

, Zvýší-li se

Y

o jednotku, má to přímí dopad na

C

průměru zvýší o

β

1

Redukovaný tvar

Y t C t

    11 21     12 22

I t I t

 

v t v t

, , tak, že se v Zvýší-li se investice (

I t

) o jednu jednotku, má to celkový dopad na zvýšení důchodu (

Y t

) o

π 12

jednotek.

Tato změna má dvě složky: změna

I t

ovlivňuje

Y t

přímo a nepřímo tím, že změna

I t

vyvolá změnu

Y t

. vyvolá změnu

C t

a změna

C t

7

Identifikace MSR

K tomu, abychom MSR odhadli, musíme ho nejdříve IDENTIFIKOVAT

Neidentifikovaný/Podidentifikovaný

neexistuje řešení –

Přesně identifikovaný

řešení – existuje právě jedno

Přeidentifikovaný

řešení – existuje několikanásobné Terminologie:

G

– počet endogenních proměnných v MSR,

G

1 – počet endogenních proměnných ve zkoumané rovnici,

K

– počet predeterminovaných proměnných v MSR,

K

1 – počet predeterminovaných proměnných ve zkoumané rovnici.

8

Kritéria identifikace – Hodnostní podmínka Hodnostní podmínka

nutnou a zároveň postačující právě když hodnost matice vytvořené ze strukturních koeficientů endogenních i predeterminovaných proměnných modelu, které se nevyskytují ve zkoumané rovnici, ale jsou obsaženy v ostatních rovnicích modelu, je rovna

G

– 1 hledáme nenulový determinant rovnicích

A

řádu

G –

1 , který tvoří strukturní koeficienty u proměnných, které v dané rovnici nejsou obsažené, ale jsou obsažené v jiných

9

Kritéria identifikace – Řádová podmínka

Řádová podmínka nutná, nikoli však postačující a určuje, zda se jedná o podidentifikaci, přesnou identifikaci nebo přeidentifikaci popř.



K K



K

1 

G

1 

K

1  

G

  1

G

1  

G

 1 splněna jako rovnice, jedná se o přesnou identifikaci, splněna jako nerovnice, jedná se o přeidentifikaci, nesplněna, jedná se o podidentifikaci.

Kritéria identifikace

Neexistuje nenulový determinant

A

řádu

G –

1 Podidentifikovaná

Rovnice MSR

Existuje nenulový determinant

A

řádu

G –

1 Identifikovaná

K



K

1 

G

1  1

K



K

1 

G

1  1 Přesně identifikovaná Přeidentifikovaná

11

Příklad - Identifikace

Uvažujte fiktivní MSR, kde

Y

proměnné a

X

značí endogenní exogenní proměnné Ověřte, zda rovnice splňují hodnostní a řádovou podmínku.

Y

1

t Y

2

t Y

3

t

    10  20  30    

Y

12 2

t



Y

23 3

t



Y

31 1

t

    11

X

1

t

21

X

1

t

  32

X

2

t

 

u

1

t

 22 , 

u

3

t

.

X

2

t



u

2

t

,

12

Příklad identifikace – řešení – 1. rovnice

1. rovnice 2. rovnice 3. rovnice



1

 10   20   30

Y

1t

1 0   31 

Y

2t

 12 1 0

Y

3t

0   23 1 

X

1t

 11   21 0

X

2t

0   22   32 Model obsahuje 3 endogenní proměnné 1 = 2.

G

= 3 a dvě exogenní proměnné

K

= 2. Při ověření splnění hodnostní podmínky budeme hledat nenulový determinant řádu 3 – V první rovnici hledáme determinant řádu 2 pod proměnnými, které nejsou obsaženy v první rovnici, ale jsou v nějaké jiné rovnici v modelu. Takové proměnné jsou

Y

3

t X

2

t

(Protože v prvním řádku, je v jejich sloupci hodnota 0.) Determinant můžeme určit jako

A

   1 23     22 32 .

a Pokud nejsou strukturní koeficienty nulové, pak existuje pro první rovnici nenulový determinant řádu dva, rovnice tedy splňuje hodnostní podmínku.

Nyní ověříme platnost řádové podmínky z nerovnosti, pro první rovnici platí

K

1 = 1 a

G

1 = 2, tudíž

K



K

1 

G

1 2 1  1 řádová podmínka je splněna jako rovnice, proto je první rovnice přesně identifikovaná.

Odhad MSR

S omezenou informací

nezohledňují informace z ostatních rovnic, odhaduji každou rovnici zvlášť, nejsou tak náročné na počet pozorování, nejsou výpočetně složité, jsou v praxi rozšířenější, metody vycházející z MNČ: např. metoda nepřímých nejmenších čtverců (MNNČ), metoda dvoustupňových nejmenších čtverců (M2NČ).

S úplnou informací

odhadují všechny rovnice najednou, berou tedy v potaz všechny informace obsažené ve všech rovnicích, vyžadují větší počet pozorování, z logiky věci se zdají být vhodnější pro MSR, jsou výpočetně náročnější, jsou velmi citlivé na specifikační chyby, pokud špatně specifikujeme jednu rovnici, chyba se rozšíří do všech rovnic, metody vycházející z MNČ: např. metoda třístupňových nejmenších čtverců (M3NČ).

14

Metoda dvoustupňových nejmenších čtverců (M2NČ)

je vhodná pro MSR, ve kterých jsou všechny rovnice přesně identifikované nebo přeidentifikované.

Y

1

t Y

2

t

    0    0

t



Y

1 2

t Y

1 1

t

   2  2

X X

1

t

2

t

 

u

1

t u

2

t

Hlavním problémem při odhadu závislá na náhodné složce.

Y

1 je, že

Y

2 je v roli vysvětlující proměnné, ale zároveň je to vysvětlovaná proměnná z druhé rovnice, což znamená, že není pevně determinovaná, ale je Princip M2NČ spočívá v tom, že se snažíme najít vhodnou proměnnou, která bude velmi podobná

Y

2 (bude s ní silně korelovaná) a zároveň bude nezávislá na náhodné složce. Jako vhodná pomocná proměnná se hodí odhad odhad

Y

2 je nezávislý na náhodných složkách.

Y

2 pomocí redukovaného tvaru. Tento odhad poté dosadíme zpátky do strukturního tvaru. Ten již můžeme odhadnout MNČ, protože

M2NČ

Možná otázka do závěrečného testu

MSR Co to je?

Identifikace, kriteria Metody Princip odhadu pomocí MZNČ…

16