Transcript Hull-kap13

Valuing Stock Options:The
Black-Scholes-Merton Model
Chapter 13
Black-Scholes modellen

Vi skal nå se på ”arbeidshesten” i moderne
finansiell styring, nemlig Black – Scholes modellen




Presentert i artikkel i 1973
Myron Scholes fikk Nobelprisen i 1997 for å ha utviklet
modellen (Fischer Black døde i 1995)
Det er meget komplisert å utlede modellen, men
modellen er relativt enkel å bruke
I kapitlet skal vi prise aksjeopsjoner med BlackScholes, men først skal vi se utdype drøftingen av
volatilitet
Myron S Scholes
Black-Scholes Random Walk
forutsetning

Vi må gjøre noen grunnleggende forutsetninger
om hvordan aksjekurser endres over tid



Vi ser på en aksje med kurs S
Aksjekursene følger en lognormal fordeling
Over en kort tidsperiode Dt antar vi at avkastningen på
aksjen (DS/S) er normalfordelt med gjennomsnitt mDt
og standardavvik
s
Dt
 m er forventetr avkastning og s er standardavvik
Lognormalfordelingen

Disse forutsetningene gir at ln ST er normalfordelt
med gjennomsnitt:
ln S 0  ( m  s / 2 )T
2
og standardavvik:

s T
En variabel som følger en lognormal fordeling
har den egenskap at logaritmen er normalfordelt
Lognormalfordelingen
2
2
ln S T    ln S 0  ( m  s 2 )T , s T 
eller
ln
ST
S0
2
2

   ( m  s 2 )T , s T 
hvor m,v] er en normalfordeling med
gjennomsnitt m og varians v
Lognormalfordelingen
E (ST )  S0 e
mT
var ( S T )  S 0 e
2
2 mT
2
(e
s T
 1)
Eksempel 13.1
A nta at aksjekursen er 40, forventet avk astning 16 % pr år
og standardavvik (volatilitet) 20 % pr. år. S annsynlighetsfordelingen for aksjekursen S T om 6 m nd er gitt ved
2
2

ln S T    ln S 0  ( m  s 2)T , s T 
2
2

ln S T    ln 40  (0.16  0.2 2)  0.5, 0.2  0.5 
ln S T   (3.759, 0.02)
s
0.02  0.141
Eksempel 13.1, forts.

Sannsynligheten for at en normalfordelt variabel har en verdi
innen 1.96 standardavvik fra gjennomsnitt er 95 %. Med 95 %
konfidens har vi at:
3.759  1.96  0.141  ln S T  3.759  1.96  0.141
D ette gir at
e
3.759  1.96  0.141
 ST  e
3.759  1.96  0.141
eller 32.55< S T < 56.56
D et er 95 % sannsynlighet for at aksjeku rsen om 6 m nd er m ellom
32.55 og 56.56. G jennom snitt og varians for S T er
40e
2
0.16  0.5
40 e
 43.33 og
2  0.16  0.5
(e
0.2  0.2  0.5
 1)  37.93
Forventet avkastning




Forventet aksjekurs er S0emT
Forventet avkastning med kontinuerlig
renteregning er m– s2/2
Aritmetisk avkastning over korte
tidsperioder Dt er m
Gjennomsnittlig geometrisk avkastning
er m – s2/2
Eksempel 13.2

En aksje har forventet avkastning på 17 % pr. år og
standardavvik 20 % pr. år. Sannsynlighetsfordelingen for
avkastningen over et år er normalfordelt med
gjennomsnittlig verdi


0.17 – 0.22/2 = 0.15 eller 15 % og standardavvik 20 %.
Siden sannsynligheten for at en normalfordelt variabel ligger
innen 1.96 standardavvik fra gjennomsnittlig verdi er 95 %, kan vi
med 95 % konfidens si at avkastningen vil ligge mellom – 24.2 %
og 54.2 %
Business snapshot 13.1

Aksjefond og andre presenterer ofte misvisende
opplysninger om oppnådd avkastning.





Anta at avkastningen de siste 5 år har vært 15 %, 20 %, 30 %, 20 %, 25 %
Aritmetisk gjennomsnitt er (15 + 20 + 30 – 20 + 25)/5 =14 %
En investor som har plassert penger i 5 år har ikke oppnådd slik
avkastning
100 kr plassert 5 år ville vokst til 100 ∙1.15 ∙ 1.2 ∙ 1.3 ∙ 0.8 ∙1.25 =
179.40.
Dette er en årlig avkastning på 1.7940.2 – 1 = 12.4%
Volatilitet (standardavvik)


Volatilitet er standardavviket til kontinuerlig
beregnet avkastning i løpet av et år
Standardavviket over tid Dt er
s Dt

Hvis en aksjekurs er $50 og volatiliteten er
25% årlig, hva er standardavviket for daglige
prisendringer?
Estimering av volatilitet fra
historiske data (page 295-297)
1. Registrer aksjekurser S0, S1, . . . , Sn med intervall
på t år
2. Vi definerer kontinuerlig avkastning som
 Si 

u i  ln 
 S i 1 
3. Beregn standardavvik, s , til ui ene
4. Estimatet for historisk volatilitet er
sˆ 
s
t
Standardavvik
s
1
n
(m

n 1
i
 u)
2
i 1
eller
s
1
n

n 1
i 1


u 
  ui 
n (n  1)  i 1 
2
i
1
n
2
Eksempel 13.3
Dag
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Sum u
Sum u^2
n-1
n(n-1)
Aksjekurs
20,00
20,10
19,90
20,00
20,50
20,25
20,90
20,90
20,90
20,75
20,75
21,00
21,10
20,90
20,90
21,25
21,40
21,40
21,25
21,75
22,00
Daglig avk
Avk ^2
0,00498754
-0,01000008
0,00501254
0,02469261
-0,01227009
0,03159437
0,00000000
0,00000000
-0,00720291
0,00000000
0,01197619
0,00475060
-0,00952388
0,00000000
0,01660774
0,00703403
0,00000000
-0,00703403
0,02325686
0,01142870
0,09531018
0,00002488
0,00010000
0,00002513
0,00060973
0,00015056
0,00099820
0,00000000
0,00000000
0,00005188
0,00000000
0,00014343
0,00002257
0,00009070
0,00000000
0,00027582
0,00004948
0,00000000
0,00004948
0,00054088
0,00013062
0,00323846
19,00
380
s
0.00323846

0.09531018
19
2
 0.01216
380
Å rlig standardavvik blir
0.01216 
252  0.193
S tandardfeilen til dette anslaget er
0.193
2  20
 0.031
Vi kan også bruke STDAV i Excel
Dag
Aksjekurs
0
20,00
1
20,10
2
19,90
3
20,00
4
20,50
5
20,25
6
20,90
7
20,90
8
20,90
9
20,75
10
20,75
11
21,00
12
21,10
13
20,90
14
20,90
15
21,25
16
21,40
17
21,40
18
21,25
19
21,75
20
22,00
Standardavvik
Daglig avk
0,00498754
-0,01000008
0,00501254
0,02469261
-0,01227009
0,03159437
0,00000000
0,00000000
-0,00720291
0,00000000
0,01197619
0,00475060
-0,00952388
0,00000000
0,01660774
0,00703403
0,00000000
-0,00703403
0,02325686
0,01142870
0,01215933
Forutsetninger i Black-Scholes







Aksjekurser følger en lognormal fordeling
Ingen transaksjonskostnader eller skatter. Aksjene er
delbare
Ingen dividende i løpet av opsjonens levetid
Ingen risikofrie arbitrasjemuligheter
Kontinuerlig omsetning av verdipapirer
Investorer kan låne eller plassere til samme risikofrie
rente
Risikofri rente r er konstant
Resonnementer i Black-Scholes



Opsjonspris og aksjekurs avhenger av den
samme grunnleggende risikokilde
Vi kan konstruere en portefølje bestående av
aksjen og opsjonen som eliminerer risikoen
Denne porteføljen er risikofri og gir risikofri
avkastning
Black-Scholes uttrykkene (See page 299)
c  S 0 N (d 1 )  K e
pK e
 rT
hvor d 1 
d2 
 rT
N (d 2 )
N (d 2 )  S0 N (d1)
ln(S 0 / K )  (r  s
2
/ 2)T
s T
ln(S 0 / K )  (r  s
s T
2
/ 2)T
 d1  s T
N(x) funksjonen


N(x) er den standardiserte normalfordelingen og
angir sannsynligheten for at en normalfordelt
variabel med forventet verdi 0 og standardavvik
1 har en verdi mindre enn x
Vi bruker tabell (side 586 og 587 i Hull) eller
Excel sin NORMSFORDELING
Egenskaper ved Black-Scholes

Hvis S0 blir veldig høy c går mot
S0 – Ke-rT og p går mot 0

Hvis S0 blir veldig liten går c mot 0 og p
mot Ke-rT – S0
Eksempel Black-Scholes


Anta at aksjekurs er 42, innløsningskurs 40, risikofri
rente 10 % årlig, standardavvik 20 % årlig og det er 6
mnd til bortfall.
Hva er henholdsvis en kjøpsopsjon og en salgsopsjon på
aksjen verdt?
Eksempel Black-Scholes
c  4 2  0 .7 7 9 1  4 0 e
p  40 e
 0 .1 0 .5
 0 .1 0 .5
 0 .7 3 4 9  4 .7 6
 (1  0 .7 3 4 9 )  4 2  (1  0 .7 7 9 1) = 0 .8 1
ln ( 4 2 / 4 0 )  (0 .1  0 .2 / 2 )  0 .5
2
h vo r
d1 
0 .2 0 .5
d 2  0 .7 6 9 3  0 .2 0 .5  0 .6 2 7 8
N (d 1 )  0 .7 7 9 1
N (d 2 )  0 .7 3 4 9
 0 .7 6 9 3
Eksempel Black-Scholes
Aksjekurs nå
Innløsningskurs
Risikofri rente
Standardavvik
Tid til bortfall (dager)
Tid til bortfall (år)
d1
d2
N(d1)
N(d2)
Verdi kjøpsopsjon
Verdi salgsopsjon
42,00
40,00
10,00 %
20,00 %
183
0,5
0,7693
0,6278
0,7791
0,7349
4,76
0,81
http://www.oslobors.no/ob/opsjons
kalkulator?menu2show=1.3.1.5.
Risikonøytral verdsetting



Variabelen m inngår ikke i Black-Scholes
ligningen
Ligningen påvirkes ikke av noen variabler
som er avhengig av holdning til risiko
Dette er konsistent med risikonøytral
verdsetting
Risikonøytral verdsetting
1.
2.
3.
Anta at forventet avkastning fra et
papir er lik risikofri rente
Beregn forventet pay off fra
derivatet
Finn nåverdi diskontert med
risikofri rente
Risikofri verdsetting av en
terminkontrakt



Payoff er ST – K
Forventet pay off i en risikonøytral verden
er S0erT – K
Nåverdi av forventet pay off er
f = e-rT[S0erT – K]= S0 – Ke-rT
Implisitt volatilitet



Implisitt volatilitet er den volatilitet som gir
at verdi kalkulert med Black-Scholes
tilsvarer markedsverdien
Vi kan finne implisitt volatilitet ved å
“backe” ut av Black-Scholes siden alle
andre inputs en standardavvik er kjent
Målsøkeren i Excel kan brukes
Eksempel Black-Scholes
Aksjekurs nå
Innløsningskurs
Risikofri rente
Standardavvik
Tid til bortfall (dager)
Tid til bortfall (år)
d1
d2
N(d1)
N(d2)
Verdi kjøpsopsjon
Verdi salgsopsjon
42,00
40,00
10,00 %
20,00 %
183
0,5
0,7693
0,6278
0,7791
0,7349
4,76
0,81
Hva måtte standardavviket
være for at verdien på en
kjøpsopsjon skulle bli 5?
Dividender



Vi finner verdi på europeiske opsjoner
hvor aksjen betaler dividende ved å
trekke fra nåverdien av dividenden fra
aksjekursen, og legge denne verdien
inn i Black-Scholes
Dagen en aksje går “ex-dividend” faller
kursen med utbetalt dividende
Bare dividender som betales i løpet av
opsjonens levetid skal med
Eksempel Black-Scholes med
dividende




Anta at aksjekurs er 40, innløsningskurs 40, risikofri
rente 9 % årlig, standardavvik 30 % årlig og det er 6 mnd
til bortfall.
Det betales dividende på 0.5 om 2 mnd og om 5 mnd
Hva er en kjøpsopsjon og en salgsopsjonpå aksjen
verdt?
Nåverdi av dividende:
0.5  e
 0.09  2 /12
 0.5e
 0.09  5 /12
 0.9741
S 0  0.9741  40  0.9741  39.0259
Eksempel Black-Scholes
Aksjekurs nå
Innløsningskurs
Risikofri rente
Standardavvik
Tid til bortfall (dager)
Tid til bortfall (år)
39,03
40,00
9,00 %
30,00 %
183
0,5
d1
d2
N(d1)
N(d2)
0,2020
-0,0102
0,5800
0,4959
Verdi kjøpsopsjon
Verdi salgsopsjon
3,67
2,89
American Calls


En amerikansk call på en aksje som ikke
betaler dividende bør aldri utøves tidlig
En amerikansk call på en aksje som betaler
dividende kan eventuelt utøves umiddelbart
forut for ex-dividend date