Transcript Kap 11

Corporate Finance
Kap 11
Portfolio theory
Flere uavhengige usikre alternativer
• Vi har hittil brukt standardavvik som mål på
usikkerhet.
• Dette kan være relevant som mål på
usikkerhetene totalt sett, men gir et ufullstendig
bilde av den usikkerhet et enkelt prosjekt totalt
sett bidrar med.
• Når vi skal vurdere usikkerheten til en investering
må vi forsøke å få en oversikt over hvordan
usikkerheten for foretaket som helhet vil endre
seg dersom prosjektet gjennomføres.
Regntøyproduksjon
Tilstand sj Sanns Pj
Pent vær
0,5
Stygt vær
0,5
Forventning
Standardavvik
Regntøy
Overskudd Xj
X2
-200000 4,00E+10
400000 1,60E+11
100000
1E+11
300000
Paraply
Overskudd Xj
X2
-200000 4,00E+10
400000 1,60E+11
100000
1E+11
300000
Iskrem
Overskudd Xj
X2
400000 1,60E+11
-200000 4,00E+10
100000
1E+11
300000
Skal bedriften i tillegg til regntøy starte med paraply- eller iskrem -produksjon?
Eller skal den satse på et sikkert prosjekt som gir 100000 i overskudd uansett vær?
Tilstand sj Sanns Pj
Pent vær
0,5
Stygt vær
0,5
Forventning
Standardavvik
Regntøy + Paraply
Overskudd Xj
X2
-400000 1,60E+11
800000 6,40E+11
200000
4E+11
600000
Regntøy + Iskrem
Overskudd Xj
X2
200000 4,00E+10
200000 4,00E+10
200000
4E+10
0
Regntøy + Sikkert
Overskudd Xj
X2
-100000 1,00E+10
500000 2,50E+11
200000 1,3E+11
300000
Vi ser at forventet verdi er den samme for de tre alternativene. Men risikoen er svært ulik.
m
• Det sikre alternativet medfører uendret standardavvik.
2
2
 i   p j   xij    E  x i  
• Paraplyproduksjon i tillegg til regntøy dobler standardavviket.
j 1
• Iskremproduksjonen har fjernet risikoen totalt.
2
11
 R  10  100000  300000
Porteføljeteori
Aktivum 1
Aktivum 2
Portefølje
Avkastning
𝑅1
𝑅2
𝑅𝑃
𝑅𝑃 = 𝑤 ∙ 𝑅1 + 1 − 𝑤 ∙ 𝑅2
Forventning
𝜇1 = 𝐸 𝑅1
𝜇2 = 𝐸 𝑅2
𝜇𝑃 = 𝐸 𝑅𝑃
𝜇𝑃 = 𝑤 ∙ 𝜇1 + 1 − 𝑤 ∙ 𝜇2
Varians
𝜎 21 = 𝑉𝐴𝑅 𝑅1
Kovarians
𝜎 1,2 = 𝐶𝑂𝑉 𝑅1 , 𝑅2 = 𝑟 ∙ 𝜎 1∙ 𝜎
𝑤
Vektandel
𝜎 22 = 𝑉𝐴𝑅 𝑅2
𝜎 𝑃2 = 𝑉𝐴𝑅 𝑅𝑃
𝜎 𝑃2 = 𝑤 2 ∙ 𝜎 21 + 1 − 𝑤 2 ∙ 𝜎 22
+2 ∙ 𝑤 ∙ 1 − 𝑤 ∙ 𝑟1,2 ∙ 𝜎
∙𝜎 2
1
2
1−𝑤
1
Kovariansen beregnes generelt som følger: (Varians er kovarians med seg selv)
COV  Rk , Rl    p j   R j ,k  k  R j ,l  l 
COV  Rk , Rl    p j   R j ,k  E  Rk    R j ,l  E  Rl  
Korrelasjonskoeffisienten beregnes slik:
rk ,l 
m
j 1
m
j 1
COV  Rk , Rl 
 k  l
 k   k2
 l   l2
Korrelasjonskoeffisienten vil ha en verdi mellom -1 og +1. Verdien 0 angir ingen
korrelasjon, mens +1 angir perfekt korrelasjon og -1 er perfekt negativ korrelasjon.
w angir %-vis andel investert i aktivum 1, sett i forhold til totalinvesteringen i porteføljen.
Analyse via et eksempel
Vi vurderer å investere i to aktiva, men kjenner kun forventet avkastning og varians:
Anta r = -1:
E(Ri)
VAR(Ri)
E  RP   w  0, 06  1  w   0,1 0,1  0, 04 w
Aktivum 1
0,06
0,02
Aktivum 2
0,1
0,08
VAR  RP   w2  0, 02  1  w   0, 08  2  w  1  w    1  0, 02  0, 08  0,18w2  0, 24 w  0, 08
2
Anta r = +1:
E  RP   w  0, 06  1  w   0,1 0,1  0, 04 w
VAR  RP   w2  0, 02  1  w   0, 08  2  w  1  w    1  0, 02  0, 08  0, 02 w2  0, 08w  0, 08
2
0.11
2
P
w
0.1
0
Alt i aktivum 2
1
Alt i aktivum 1
0.09
0.08
r  1
r  1
0.07
1 0.06
0.05
0
0.05
0.1
0.15
1
0.2
0.25
2
0.3
P
Korrelasjonskoeffisienten
Korrelasjonskoeffisienten har den egenskapen at: −1 ≤ 𝑟 ≤ +1. Vi har følgende
sammenheng mellom forventning og standardavvik til porteføljen:
𝜇𝑃
𝑤
0
Andel w som gir minst
varians for porteføljen:
𝜇2
 22  r   1   2
w  2
 1   22  2  r   1   2

r 1
2
1
*
Finnes ved å sette den
deriverte av porteføljens
varians m.h.p. w lik 0.
1
 r 1
2
𝜇1
𝜎1
𝜎
Hvis 𝑟 < 𝜎1 =
2
0,02
0,08
𝜎2
𝜎𝑃
= 0,5 vil vi altså her kunne redusere usikkerheten for porteføljen
som helhet til å bli mindre enn usikkerheten til det minst usikre aktivum.
Risikofritt aktivum
Aktivum 1
Aktivum 2
Risikofritt
Portefølje
Avkastning
𝑅1
𝑅2
𝑅𝐹
𝑅𝑃
Forventning
𝜇1 = 𝐸 𝑅1
𝜇2 = 𝐸 𝑅2
𝑅𝐹
𝜇𝑃 = 𝐸 𝑅𝑃
Varians
𝜎 21 = 𝑉𝐴𝑅 𝑅1
𝜎 22 = 𝑉𝐴𝑅 𝑅2
0
𝜎 𝑃2 = 𝑉𝐴𝑅 𝑅𝑃
Kovarians
𝜎 1,2 = 𝐶𝑂𝑉 𝑅1 , 𝑅2 = 𝑟 ∙ 𝜎 1∙ 𝜎
1 − 𝑤1 − 𝑤2
1
Vektandel
𝑤1
2
𝑤2
RP  w1  R1  w2  R2  1  w1  w2   RF
 P  w1  1  w2  2  1  w1  w2   RF
 P2  w12   12  w22   22  2  w1  w2  r   1   2
Merk at kovariansen til porteføljen ikke er påvirket av det risikofrie aktivum, siden
kovariansen mellom en konstant (det risikofrie aktivum) og en stokastisk variabel er lik
null.
Investering bare i risikable aktiva
𝜇𝑃
𝜇2
2
𝑎
Formen på kurven avhenger
av størrelsen på
korrelasjonskoeffisienten r.
w1  w2  1
𝜇1
1
𝜎1
𝜎2
𝜎𝑃
Om investor foretrekker mer framfor mindre avkastning (positive preferanser), og
har risikoaversjon (ønsker minst mulig risiko), så vil han aldri velge å tilpasse seg
langs linjestykket mellom punktene 1 – a.
Det finnes nemlig punkter på linjestykket 2 – a som har samme risiko men større
avkastning.
Investerer delvis i risikofritt aktivum
𝜇𝑃
Porteføljer som består av
forskjellige blandinger av
en risikabel portefølje og
en risikofri investering er
perfekt positivt
korrelerte. Alle slike
blandinger må derfor
ligge på en rett linje.
𝜇2
w1  w2  1
𝑅𝐹
𝑀
𝑎
𝜇1
𝜎1
𝜎2
𝜎𝑃
Hvis en del investeres risikofritt, så vil tilpasningen for de risikable aktivaene uansett
være i tangeringspunktet M.
Vi ser for eksempel at vi ikke vil tilpasse oss i punktet som minimerer variansen om
porteføljen bare består av de usikre aktivaene, dvs. punkt a. Det finnes nemlig et
punkt på linjestykket RF – M som gir større avkastning til samme risiko som punkt a.
Tar opp lån for å investere i usikre
𝜇
aktiva
𝑃
w1  w2  1
𝜇2
2
𝑋
𝑀
𝑅𝐹
𝜇1
𝜎1
𝜎2
𝜎𝑃
Hvis en del lånes risikofritt, så vil tilpasningen for de risikable aktivaene uansett være i
tangeringspunktet M. Merk at totalinvesteringen i punktet M nå er mer enn 100%.
Vi ser for eksempel at vi ikke vil tilpasse oss i punktet 2 som maksimerer avkastningen
om porteføljen bare består av de usikre aktivaene. Det finnes nemlig et punkt på
linjestykket M– X som gir større avkastning til samme risiko som punkt 2.
𝜇𝑃
Kapitalmarkedslinjen
Hvis lånerenten er
den samme som
sparerenten, vil
tangeringspunktet M
være det samme for
låntakere som for
sparere.
𝑀
𝑅𝐹
𝜎𝑃
Alle investorer vil nå velge porteføljen M. Sparere vil i tillegg sette av en del til sparing.
Låntakere vil investere alt i M, også det de låner.
For at markedet av risikable aktiva skal være i likevekt, må porteføljen M bestå av
samtlige usikre aktiva.
S e p a r a s j o n s t e o r e m e t : Vi kan nå bestemme investeringen i risikable aktiva
uavhengig av personlige preferanser – alle vil velge portefølje M.
Personlige preferanser avgjør bare graden av sparing/låning.
Markedsporteføljen
• Alle investorer ønsker å tilpasse seg
markedsporteføljen.
• Siden hvert usikkert aktivum eies av noen, må følgelig
alle eie litt av hvert.
• Markedsporteføljen må altså bestå av samtlige
risikofylte verdipapirer som er tilgjengelig.
• Enkeltinvestorer vil investere i et aktivum proporsjonalt
med aktivumets verdi i forhold til totalverdien av alle
aktiva.
• Prisene må være i likevekt, dvs. avkastningen må gi
akkurat kompensasjon for den risikoen verdipapiret
medfører.
Diversifisering
• Markedsporteføljen består av en investering i absolutt alle
usikre aktiva. Det er altså ikke mulig å spre risikoen
ytterligere (diversifisering).
• All diversifiserbar risiko er altså fjernet i
markedsporteføljen.
• I praksis er det umulig å sitte med alle aktiva i riktige
proporsjoner til enhver tid.
• Men om man sitter med en portefølje med 15-20 usikre
aktiva fra ulike bransjer, så er nær 90% av diversifiserbar
risiko fjernet.
• Det er derfor overkommelig å sitte med en portefølje som
ligger nær opp til egenskapene til markedsporteføljen mhp.
avkastning og risiko (sporingsportefølje).
Ikke alle egg i samme kurv?
Risiko
Diversifiserbar
Risiko
Ikke all risiko kan dermed
diversifiseres bort.
Ikke Diversifiserbar
Risiko
Antall papir
Ca. 20-25 verdi papir
Diversifisering i aksjeporteføljer gjøres av aksjonærene.
Men bør selskapene benytte samme strategi, dvs. spre risikoen?
Det spiller ingen rolle, for aksjonærene vil uansett investere i markedsporteføljen.
Ettersom det ikke er noe poeng for selskapene å drive diversifisering, er nok det
mest fornuftige at de satser på det de er gode til:
Skomaker – bli ved din lest.
Eksempel - kovarians
C2
0,0576
0,0144
0
0,02016
Tilstand Sannsynlighet Avkastning C Avkastning D
Vekst
0,2
24 %
5%
Stabilt
0,6
12 %
30 %
Depresjon
0,2
0%
-5 %
Forventning
0,12
0,18
Kovarians
0,0024
0,00576
0,0226
Korrelasjon
0,210351
m
E  R   p j  Rj
j 1
E  RC   0, 2  24  0, 6 12  0, 2  0  12
2
j 1
m
C*D
0,012
0,036
0
0,024
E  RD   0, 2  5  0, 6  30  0, 2   5   18
VAR  R    p j   R j  E  R     p j  R 2j   E  R    E  R 2   E  R 
m
D2
0,0025
0,09
0,0025
0,055
2
2
j 1
VAR  RC   0, 2  0, 242  0, 6  0,122  0, 2  0, 0 2  0,12 2  0, 02016  0,12 2  0, 00576
VAR  RD   0, 2  0, 052  0, 6  0,302  0, 2   0, 05   0,182  0, 055  0,182  0, 0226
2
COV  Rk , Rl    p j   R j ,k  E  Rk    R j ,l  E  Rl    E  Rk  Rl   E  Rk2   E  Rl2 
m
j 1
COV  RC , RD   0, 2  0, 012  0, 6  0, 036  0, 2  0   0,12    0,18   0, 024   0,12    0,18   0, 0024
2
rk ,l 
COV  Rk , Rl 
 k  l
rC , D 
0, 0024
 0, 21035
0, 00576  0, 0226
2
2
2
Eksempel - Porteføljesammensetning
0.19
0
W
D
0.18
0.17
 22  r  1   2
w  2
1   22  2  r  1   2
*
Forventning
0.16
0.15
0.14
w* 
0.13
1
0.12
0, 0226  0, 21035  0, 00576  0, 0226
0, 00576  0, 0226  2  0, 21035  0, 00576  0, 0226
C
w*  0,857
0.11
0.1
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
Standardavvik
Beregn porteføljens forventning og standardavvik når w = 0, w = 1 og w = w*.
Disse tre punktene er nok til å tegne kurven rimelig nøyaktig.