Transcript زمین آمار
به نام خدا
زمین آمار
دانشگاه صنعت آب و برق
پاییز 1386
1
دانشگاه صنعت آب و برق
درونیابی مکانی یا فضایی ()spatial
• در بسیاری از حاالت یک نمونه از کل داده ها در اختیار
ما قرار میگیرد.
• بنابراین باید شکاف بین نقاط را پر نمود و یا به عبارت
دیگر بین آنها درونیابی نمود.
2
دانشگاه صنعت آب و برق
نقشه تعیین محل نقاط برداشت شده
75
45
102
104
55
50
60
88
73
70
6
80
80
75
5
66
95
90
48
75
70
64
80
52
60
75
78
71
75
70
7
90
4
60
60
80
3
55
54
105
2
70
70
51
50
66
1
60
55
25
40
65
90
45
0
9
3
8
7
6
5
4
دانشگاه صنعت آب و برق
3
2
1
0
تکنیکهای درونیابی
•
•
تکنیکهای معین
– استفاده از نقاط اندازهگیری شده
با بهکار بردن فرمولهای
ریاضی ،بدو شکل میتوان این
کار را انجام داد:
تکنیک کلی ،یعنی استفاده از همه
دادهها
تکنیک محلی ،یعنی استفاده از
یک عده از دادهها
4
تکنیک زمین آماری
– استفاده از روشهای آماری و
ایجاد خودهمبستگی بین دادههای
اندازهگیری شده
– این تکنیک عالوه بر اینکه
ظرفیت و قدرت برآورد را
دارد ،میتواند خطای برآورد را
نیز بیان نماید.
دانشگاه صنعت آب و برق
Inverse Distance Weight (IDW)
50
30
52
50 30 52
+
+
2
6
z= 4
1 1 1
+ +
4 2 6
= 34
دانشگاه صنعت آب و برق
5
روش تیسن ()Theissen
6
دانشگاه صنعت آب و برق
روش spline
•
7
این روش بر مبنای حداقل
خمیدگی در درونیابی است
( Minimum Curvature
)Surfaceکه همواریسازی
یا نرم شدن تغییرات از
ویژگیهای آن است .بدین معنا
که واریانس نمونههای تخمین
زده شده نسبت به نقاط واقعی
تغییرات کمتری دارد.
دانشگاه صنعت آب و برق
Theissen
8
دانشگاه صنعت آب و برق
Inverse Distance Weight (IDW)
دانشگاه صنعت آب و برق
9
روش kriging
10
دانشگاه صنعت آب و برق
کاربرد زمین آمار در نرم افزارها
• نرمافزارهای GIS
– Arc Gis
– Elvise
• نرمافزارهای آبهای زیرزمینی
– modflow
• نرمافزارهای مربوط به تهیه نقشه
– Surfer
• نرمافزار Rو بستههای مربوط به بحث زمین آمار
11
دانشگاه صنعت آب و برق
زمینه تاریخي زمینآمار)(Geostatistics
• پیشوند Geoبه فیزیك و شیمي اتصال پیدا كرده و اصطالحات
ژئوفیزیك و ژئوشیمي ایجاد شده است .با همین قیاس پیشوند Geoبه
كلمه آمار نیز پیوند خورد و واژه زمینآمار شكل گرفت.
• دو مقوله سريهاي زماني و زمینآمار هم به لحاظ مفهومي و هم از
منظر تاریخي داراي قرابت هستند .و هر دو از دادههاي وابسته
)(autocorrelated dataاستفاده ميكنند .اما زمینآمار بر خالف
سريهاي زماني صرفا از طریق آماردانها بسط نیافته است .و به
همین سبب واژهپردازي و مصطلحات آن با ادبیات آمار كالسیك قدري
متفاوت است.
12
دانشگاه صنعت آب و برق
زمینه تاریخي زمینآمار()2
•
•
13
در سال 1960دو نفر به نامهاي D.G. Krigeو G. Matheronكارهاي
جدي در زمینآمار انجام دادند .اولي یك مهندس معدن آفریقاي جنوبي بود كه
در معادن طال كار ميكرد و به تجربه فهمید كه از اطالعات بلوكهاي مجاور
هم ميتوان استفاده نمود .هم زمان با او نفز دوم ،ریاضيدان فرانسوي بود كه
در مدرسه معدن ،نظریه متغیرهاي ناحیهاي را ارائه نمود.
زمینآمار به غیر از معدن مورد استفاده رشتههاي دیگر نیز قرار گرفت .از
جمله مهندسي نفت ،هیدروژئولوژي ،هواشناسي ،آلودگي و حفاظت محیط
زیست
دانشگاه صنعت آب و برق
تعریف زمینآمار)(Geostatistics
• مجموعهاي از تكنیكها و مدلهاي تصادفي است كه خواص
دادههاي فضایي را تجزیه و تحلیل ميكند.
• مباحث زمینآمار حول دو محور سامان ميیابد:
– تبیین ساختار فضایي دادهها
– تعیین وزن هر یك از دادههاي مشاهده شده براي برآورد نقاط
مورد نظر
14
دانشگاه صنعت آب و برق
موارد استفاده زمينآمار
• برآورد دادههاي اندازهگیري نشده در یك میدان یا
Field
• برآورد مقدار متوسط روي یك Blockاز دادهها یا
Spatial Average
• بهینهسازي شبكه برداشت آمار و اطالعات یا
Monitoring Optimization
15
دانشگاه صنعت آب و برق
تفاوت آمار كالسیك و زمینآمار
• در آمار كالسیك برآوردها:
– نقطهاي و به صورت ( )Temporal
– مكاني ) (Spatialاست ولي وزن دادهها در مكانهاي مختلف
نقشي در برآورد ندارد.
• در برآورد زمینآماري وزن دادهها در مكانهاي گوناگون
اهمیت به سزایي دارد.
16
دانشگاه صنعت آب و برق
زمینآمار یا آمار دادههاي فضایي
• دادههاي فضایي ) (Spatial Dataداراي دو خاصیت مهم
هستند:
– جهت
– موقعیت
• به عنوان مثال مي توان از موارد زیر یاد نمود:
– سطح ایستابي در چاههاي پیزومتریك یك دشت
– ارتفاع بارندگي در ایستگاههاي بارانسنجي در یك حوضه آبریز
17
دانشگاه صنعت آب و برق
جهت و مكان در دادهها ()1
• جهت
– شكل الف ) h=(0,1یعني به سمت شرق 0و به سمت
شمال 90( 1زوج)
– شكل ب ) h=(1,1یعني به سمت شرق 1و به سمت شمال
81( 1زوج)
18
دانشگاه صنعت آب و برق
جهت و مكان در دادهها ()2
19
دانشگاه صنعت آب و برق
جهت و مكان در دادهها ()3
• مكان
– فاصله نقاط مشاهده شده تا محل مورد نظر
– فاصله نقاط مشاهده شده نسبت به هم
20
دانشگاه صنعت آب و برق
Random function
• تاکنون مقدار نامعلوم متغیر Zبدون مالحظه زمان و مکان
در نظر گرفته میشد ،که متغیر تصادفی است.
• اکنون تغییرات نامعلوم متغیر Zدر زمان ،مکان و یا در
مکان-زمان مالحظه میگردد .بنابراین ) Z(x,y,z) ،Z(tو
یا ) Z(x,y,x,tتشکیل تابع تصادفی روی ناحیه Dرا
میدهند.
• در نظریه متغیرهای ناحیهای مفهوم تابع تصادفی نقش
مهمی را ایفا میکند.
21
دانشگاه صنعت آب و برق
متغیر ناحیهای
• متغیر ناحیهای یک حالت محقق شدهای از تابع تصادفی
است
• میتوان تابع تصادفی را با توابع توزیع چند بعدی بیان
نمود .بنابراین برای مجموعهای از نقاط x1,x2,…,xnدر
ناحیه Dمیتوان تابع توزیع Fx1,…,xnرا درنظر گرفت و
نوشتP [Z (x 1 ) < w 1, L , Z (x n ) < w n ] = .F
) (w , L , w n
رابطه زیر 1را x , L ,x
n
1
• که در آن w1,w2,…,wnمقادیر محتمل میباشند.
22
دانشگاه صنعت آب و برق
خاصیت ایستایی
• تابع تصادفی ) Z(xرا ایستا گویند اگر برای هر مجموعه
از نقاط x1,x2,…,xnدر ناحیه Dو برای هر مجموعه از
مقادیر محتمل w1,w2,…,wnو برای هر بردار hداشته
باشیم:
] P [Z (x 1 ) < w 1, L , Z (x n ) < w n ] = P [Z (x 1 + h ) < w 1, L , Z (x n + h ) < w n
23
دانشگاه صنعت آب و برق
خاصیت ایستایی در مرتبه دوم
• برای برقراری خاصیت ایستایی مرتبه دوم نیاز به
برقراری شرایط زیر است:
– امید ریاضی تابع ) Z(xمقداری ثابت است.
E [Z (x )] = m " x Î D
– کوواریانس دو متغیر تصادفی در دو نقطه ،فقط به فاصله
برداری hبستگی دارد.
) E {[Z (x ) - m ][Z (x + h ) - m ]} = C (h
– اگر h=0باشد .داریم:
]) C (0) = E {[Z (x ) - m ][Z (x ) - m ]} = Var[Z (x
24
دانشگاه صنعت آب و برق
تعییرات كواریانس بر حسب فاصله در فضا
25
دانشگاه صنعت آب و برق
فرضیات ذاتی
•
فرضیاتی که نسبت به فرضیات ایستایی مرتبه دوم ضعیفتتر
باشد را فرضیات ذاتی نامند .شرایط آن به شرح زیر است.
– امید ریاضی تابع ) Z(xمقداری ثابت است.
E [Z (x )] = m " x Î D
– واریانس بین دو نقطه و یا دو محل فقط به فاصله برداری hبستگی
1
1
دارد2.
) E [Z (x ) - Z (x + h )] = g (h
26
2
= ]) Var[Z (x ) - Z (x + h
2
که در آن ) (hفقط به بردار hبستگی دارد و نه به موقعیت xو
.x+h
تابع ) (hرا شبهتغییرنما ) (semivariogramنامند و به صورت
دانشگاه صنعت آب و برق
ساده به آن تغییرنما ) (variogramگویند.
)Variogram( چگونگي پیدایش تغییرنما
1
2
I = å m id =
d
å
i
N (h ) i
i
1
1
2
=
(
x
y
)
å
i
N (h ) i 2 i
1
2
=
(
x
y
)
å i i
2N (h ) i
2
i
دانشگاه صنعت آب و برق
27
فرمولبندي تغییرنما یا Variogram
• یكي دیگر از شاخصهاي نمایش پراكندگي دادهها ممان
اینرسي حول خط x=yكه بوسیله رابطه زیر بیان ميشود.
) 1 N (h
2
= M .I
(
x
y
)
å
i
i
2N (h ) i = 1
• رابطه فوق نصف مربع اختالف بین x,yبراي هر زوج از
نقاط ميباشد .عامل 1/2ناشي از بررسي نقاط نسبت به
نیمساز ربع اول و سوم است.
28
دانشگاه صنعت آب و برق
تعیین ساختار فضایي دادهها
• كواریانس Covariance
– این مفهوم در آمار كالسیك موجود است و در اینجا عامل فاصله
در آن درج ) (Spatial Covarianceميگردد.
• تغییرنما Variogram
– این مفهوم مختص ادبیات زمینآمار است .و در آمار كالسیك ،از
آن بحث نميشود.
• رابطهاي مشخص بین كواریانس و تغییرنما وجود دارد .
29
دانشگاه صنعت آب و برق
رابطه بین كواریانس وsemivariogram
)g(h ) = Cov(0) - Cov(h
30
دانشگاه صنعت آب و برق
چرا semivariogramبه جاي كواریانس
•
•
•
31
در محاسبه semivariogramوجود میانگین الزم نیست.
فرضیات وجود داشتن semivariogramكمتر از كواریانس
ميباشد.
برآورد semivariogramنسبت به اضافه شدن مقدار ثابت به
توابع تصادفي حساس نیست.
دانشگاه صنعت آب و برق
واریوگرام تجربی
• تابع واریوگرام را میتوان توسط دادههای تجربی برآورد
نمود.
1
است(gˆ .
تجربی بهåشرح زیر = ) h
واریوگرام[Z (x i ) -
• رابطه Z (x j )]2
2N (h ) x i - x j = h
• که در آن ) N(hتعداد زوجهای محلهایی است که دارای
فاصله hاز یکدیگر هستند.
• این رابطه برای شبکه منظمی از نقاط بیان شده است .اگر
(angleقیود زیر
نباشدx i،نیاز به
منظم- x j ,
شبکه h ) £
d
داریم| x i - x j | - | h |£ :
e
• که در آن .طول بردار را نشان میدهد.
32
دانشگاه صنعت آب و برق
محاسبه یك semivariogramتجربي ()1
33
دانشگاه صنعت آب و برق
)2( تجربيsemivariogram محاسبه یك
1 é
2
2
ù
gˆ (1m ) =
(8.1
8.5)
+
(8.5
7.8)
+
...
ú
û
2(24) êë
gˆ (1m ) = 0.102
1 é
2
2
ù
gˆ (2m ) =
(8.1
7.8)
+
(8.5
8.3)
+
...
ú
û
2(16) êë
gˆ (2m ) = 0.124
دانشگاه صنعت آب و برق
34
نمایش یك واریوگرام تجربي
35
دانشگاه صنعت آب و برق
همگنی و ناهمگنی در واریوگرام
• همگنی
– در این حالت تغییر در واریوگرام فقط به مقدار hیا فاصله نقاط
از هم بستگی دارد.
• ناهمگنی
• در این حالت عالوه بر عامل فاصله ،واریوگرام تابع جهت
نیز میباشد.
36
دانشگاه صنعت آب و برق
پارامترهاي یكsemivariogram
• Sill
• Range
37
دانشگاه صنعت آب و برق
رفتار semivariogramحول مركز
• مقدار semivariogramبه ازاء h=0برابر صفر
است .اما این مطلب گاهي درست است.
38
دانشگاه صنعت آب و برق
اثر قطعهاي یا nugget effect
• رفتار واریوگرام حول مرکز ،کم و بیش مشخص کننده اندازه نظم پدیده
مورد مطالعه میباشد.
•
– در حالت مشتقپذیر ،پدیده بسیار منظم است.
– در حالت پیوسته اما مشتقناپذیر ،پدیده نسبتا ً منظم است.
– در حالتی که h=0اما (h)≠0است .نشاندهنده نامنظمی در اشل کوچک است.
مثالً اگر شاهد مورد اخیر در واریوگرام بارندگی باشیم .آنگاه میتوان نتیجه گرفت
که بارندگی به طور یکنواخت در منطقه نازل نشده است.
اثر قطعهایي از سنخ واریانس است و در موارد زیر ایجاد ميگردد.
– خطا در اندازهگیري دادهها
– كاهش ساختار یافتگي و بروز مولفه تصادفي
• بنابراین پارامترهاي یك semivariogramعبارتست از:
– sill
– range
– nugget effect
39
دانشگاه صنعت آب و برق
نگاهي دقیقتر به اجزاي Semivariogram
40
دانشگاه صنعت آب و برق
مدلهاي نظري Semivariogram
• مدلهاي نظري گوناگوني براي برازش بر Semivariogram
تجربي پیشنهاد شده است.
– نمایي
– اكسپونانسیل
– گوسین
– كروي
– مكعب
– سینوسي
– خطي
41
دانشگاه صنعت آب و برق
نظريsemivariogram روابط چند
ìï
ïï
C
ï
g (h ) = í
ïï
ïï 0
î
3ö
æ
ö
æ
çç h
h÷÷
ç
÷
÷
çç1.5 - 0.5 çç ÷
÷
èa ø ÷
÷
çè a
ø
æ
çç
g (h ) = C çç1 - e
ç
çè
æ
ç
g (h ) = C çç1 - e
çè
0£ h < a
• کروی
a £ h
æ
ö2
h÷
ç
3çç ÷
çèa ÷
÷
ø
3h
a
ö
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ø
• گوسین
ö
÷
÷
÷
÷
ø
• اکسپونانسیل
. میباشدrang برابرa وsill برابرC • که در آنها
دانشگاه صنعت آب و برق
42
برآورد پارامترهاي semivariogramبا روش سعي و خطا
•
در سعي و خطا ،موارد زیر براي تسریع در رسیدن به نتیجه مهم
است .
–
–
–
–
43
مقدار Rangeتقریبا برابر متوسط قطر تغییرات دادههاي فضایي گرفته
شود.
واریانس نمونهها تقریب خوبي براي مقدار Sillاست.
از بین مدل هایي كه بر semivariogramتجربي برازش خوبي ميیابد،
سادهترین مدل انتخاب شود.
اگر مقدار semivariogramتجربي در اولین تاخیر ،در تاخیرهاي دوم
و سوم نیز تقریبا تكرار شود .آنگاه مدل نظري متضمن اثر قطعهاي
Effect) (Nuggetاست.
دانشگاه صنعت آب و برق
معرفي اولیه از Kriging
• هر نوع ارائهاي از زمینآمار متضمن كریجینگ ميباشد .
• كریجینگ عبارتست از مجموعهاي تعمیم یافته از تكنیكهاي رگرسیون
است.
• تفاوت بین كریجینگ و رگرسیون خطي كالسیك عبارتست از:
– فرض استقالل متغیرها و توزیع احتمال آنها در كریجینگ
ضرورت ندارد.
– در كریجینگ ،نمونهگیري غیر تصادفي جانشین نمونهگیري
تصادفي در آمار كالسیك ميشود.
44
دانشگاه صنعت آب و برق
انواع Kriging
•
كریجینگ ساده)(Simple Kriging
– در این نوع كریجینگ فرض بر این است كه مقدار میانگین معلوم
است.
•
كریجینگ معمولي)(Ordinary Kriging
– در این نوع كریجینگ فرض بر این است كه میانگین ثابت است ولي
مقدار آن مشخص نیست.
•
كریجینگ جهاني یا عمومي)(Universal Kriging
– در این نوع كریجینگ مقدار میانگین متغیر و نامعلوم است.
45
دانشگاه صنعت آب و برق
كریجینگ ساده
E [Z (x )] = 0
n
Z * (x 0 ) =
å
• شرط نااریبی
l i Z (x i )
i=1
n
é
ù
*
E [Z (x 0 )] = E êå l i Z (x i ) ú=
êi = 1
ú
ë
û
n
å
l i E [Z (x i )] = 0
i=1
• حداقل نمودن واریانس
2
s x2
n
é
ù
*
é
ù
= E êZ (x 0 ) - Z (x 0 ) ú = E êZ (x 0 ) - å l i Z (x i ) ú
ê
ú
ë
û
i
=
1
ë
û
2
n
n
é
ù
é
ù
2
é
ù
êZ (x )å l Z (x ) ú+ E êå l Z (x ) ú
= E êëZ (x 0 ) ú
2
E
i ú
i ú
û
ê 0 i=1 i
êi = 1 i
ë
û
ë
û
n
n
n
éZ (x )Z (x ) ù
= Var[Z (x 0 )] - 2å l i E éêëZ (x 0 )Z (x i ) ù
+
l
l
E
å
å
ú
i j
j ú
êë i
û
û
2
0
i=1
i=1 j=1
دانشگاه صنعت آب و برق
46
دنباله كریجینگ ساده
:• بنابراین داریم
n
s
éZ (x )Z (x ) ù+
= Var éêëZ (x 0 ) ù
2
l
Cov
å
ú
êë 0
i
i ú
û
û
2
x0
i=1
n
n
l i l j Cov éêZ (x i )Z (x j ) ù
ú
ë
û
j=1
å å
i=1
. باید حداقل گرددx02 • عبارت
¶ s x2
¶l
0
= 0
k
n
éZ (x )Z (x ) ù= 0
= - 2 Cov éêëZ (x 0 )Z (x k ) ù
+
2
l
Cov
å
ú
êë i
i
k ú
û
û
k = 1, 2, L , n
i=1
دانشگاه صنعت آب و برق
47
دنباله كریجینگ ساده
.• معادله اسالید قبل را میتوان به صورت ماتریسی نوشت
éCov(x , x ) Cov(x , x )
1
1
1
2
ê
êCov(x , x ) Cov(x , x )
2
1
2
2
ê
ê
M
M
ê
êCov(x , x ) Cov(x , x )
êë
n
1
n
2
L
L
O
L
ù
Cov(x 1 , x n ) ùé
l
1
úê ú
ú
Cov(x 2 , x n ) úê
l
úê 2 ú=
úê Mú
M
úê ú
ú
Cov(x n , x n ) úê
l
úê
ûë n ú
û
éCov(x , x ) ù
0
1 ú
ê
êCov(x , x ) ú
0
2 ú
ê
ê
ú
M
ê
ú
êCov(x , x ) ú
êë
0
n ú
û
. واریانس برآورد به صورت زیر است0=-1 • با
n
s x2 =
0
n
å å
l i l j Cov(x i , x j )
i=0 j=0
دانشگاه صنعت آب و برق
48
كریجینگ معمولي)(Ordinary Kriging
• فرض کنید که mبرابر صفر نیست.
• مقدار mثابت اما مجهول است.
• برآورد در نقطه مورد نظر
• اعمال شرط نااریبی
0
éZ (x ) ù= m ¹ 0
êë 0 ú
û
n
) l i Z (x i
= 1
i
i=1
49
دانشگاه صنعت آب و برق
= ) Z (x 0
E éêZ (x 0 ) - Z * (x 0 ) ù
=
ú
ë
û
n
å
i=1
n
l
å
*
i=1
l i E éêëZ (x i ) ù
ú
û= 0
å
E
éZ (x ) ùêë 0 ú
û
n
= 0Þ
i
E
m - må l
i=1
دنباله كریجینگ معمولي
• حداقل نمودن مقدار واریانس
s
2
x0
= E éêëZ (x 0 ) - m ù
ú
û2
é
ù
= E êëZ (x 0 ) - m ú
û2
*
é
ù
+ E êZ (x 0 ) - m ú
ë
û
{
s x2 = Var éêëZ (x 0 ) ù
ú
û
0
ìï é n
+ E ïí êå l i Z (x i ) ïï êëi = 1
î
éZ
êë
2E
*
2
(x 0 ) - m ù
ú
û
éZ (x ) - m ùéZ * (x ) - m ù
êë 0
ú
0
ú
ûêë
û
}
{
}
ìï
én
ùü
ïï
ï
é
ù
ê
ú
2E í êëZ (x 0 ) - m ú
l i Z (x i ) - m ý
å
ûê
úï
ïï
i
=
1
ë
ûïþ
î
ùé n
ùü
ïï
úê
ú
m å l i Z (x i ) - m ý
úêi = 1
úï
ûë
ûïþ
دانشگاه صنعت آب و برق
50
دنباله كریجینگ معمولي
:• بنابراین داریم
n
éZ (x ) - m ùéZ (x ) - m ù
s x2 = Var éêëZ (x 0 ) ù
2
l
E
å
ú
êë 0
úê
ú
i
û
ûë i
û
0
{
}
i=1
n
+å
i=1
n
éZ (x ) - m ù
é
ù
l
l
E
Z
(
x
)
m
å i j êë i
ú
ú
ûêë j
û
j=1
{
}
n
s x2 = Var éêëZ (x 0 ) ù
- 2å l i Cov(x 0 , x i ) +
ú
û
0
i=1
A = s x2
0
æn
ö
ç
- 2m ççå l i - 1÷
÷
÷
çè i = 1
÷
ø می
.باشد
n
n
å å
l i l j Cov(x i , x j )
i=1 j=1
در آن ضریب الگرانژ • که
دانشگاه صنعت آب و برق
51
دنباله كریجینگ معمولي
• اکنون باید واریانس را حداقل نمود.
n
¶A
= 0 - 2 Cov(x 0 , x k ) + 2å l i Cov(x i , x k ) - 2m = 0
¶l k
i=1
• بنابراین میتوان دستگاه زیر را نوشت.
k = 1, 2, L , n
52
ìï n
) ïï å l Cov(x , x ) - m = Cov(x , x
i
k
0
k
ï i=1 i
í n
ïï
ïï å l i = 1
ïî i = 1
دانشگاه صنعت آب و برق
دنباله كریجینگ معمولي
.• دستگاه معادالت را میتوان به صورت ماتریسی نوشت
éCov(x , x ) Cov(x , x )
1
1
1
2
ê
êCov(x , x ) Cov(x , x )
2
1
2
2
ê
ê
M
M
ê
êCov(x , x ) Cov(x , x )
ê
n
1
n
2
ê
1
1
ê
ë
L
L
O
L
L
Cov(x 1 , x n )
Cov(x 2 , x n )
M
Cov(x n , x n )
1
ù
1 ùé
l
1
úê ú
ú
1 úê
l
úê 2 ú
ú=
Múê
M
úê ú
ú
1 úê
l
úê n ú
úê ú
0úê- mú
ûë û
éCov(x , x ) ù
0
1 ú
ê
êCov(x , x ) ú
0
2 ú
ê
ê
ú
M
ê
ú
êCov(x , x ) ú
ê
0
n ú
ê
ú
1
ê
ú
ë
û
.• واریانس برآورد به صورت زیر است
s x2 = Var éêëZ (x 0 ) ù
ú
û0
n
å
l i Cov(x 0 , x i ) + m
i=1
دانشگاه صنعت آب و برق
53
بیان سیستم کریجینگ بر حسب تغییرنما
• میدانیم که بین کوواریانس و تغییرنما رابطه زیر برقرار
.است
g (h ) = Cov(0) - Cov(h )
•
é g (0)صورت زیر
ùél ù میéبنابراین
ù
به
را
معادالت
دستگاه
توان
g
(
x
x
)
L
g
(
x
x
)
1
g
(
x
x
)
1
2
1
n
1
0
1
ê
úê ú ê
ú
êg (x - x )
úêl ú êg.(نوشت
ú
g
(0)
L
g
(
x
x
)
1
x
x
)
1
2
n
2 ú
ê 2
úê 2 ú ê 0
ê
úê Mú= ê
ú
M
M
O
M
M
M
ê
úê ú ê
ú
êg (x - x ) g (x - x ) L
úêl ú êg (x - x ) ú
g
(0)
1
ê n
úê n ú ê 0
1
n
2
n ú
ê
úê ú ê
ú
1
1
L
1
0úêm ú ê
1
ê
ú
ë
ûë û ë
û
n
s
2
x0
=
å
l i g (x 0 - x i ) + m
i=1
دانشگاه صنعت آب و برق
54
مثال 1
• فرض کنید که دو نقطه روی یک خط مستقیم قرار دارد .با
استفاده از آنها میخواهیم یک نقطه برآورد کنیم.
مفروضات مساله:
– u1=1و u2=-2و u=0
– Z(u1)=2و Z(u2)=4
– ساختار همبستگی مکانی برابر (h)=hاست.
– مطلوبست )Z*(u
u2
u1
u
55
دانشگاه صنعت آب و برق
1 دنباله مثال
:• دستگاه معادالت را تشکیل میدهیم
é g (0)
ùél ù ég (u - u ) ù
g
(
u
u
)
1
ê
úê 1 ú ê
1
2
1 ú
êg (u - u )
úêl ú= êg (u - u ) ú
g
(0)
1
ê 2
úê 2 ú ê
1
2 ú
ê
úê ú ê
ú
1
1
0
m
1
êë
úê
ú
ê
ú
ûë û ë
û
é0 3 1ùél ù é1ù
ê
úê 1 ú ê ú
ê3 0 1úêl ú= ê2ú
ê
úê 2 ú ê ú
ê
úê ú ê ú
m ú ê1ú
êë1 1 0úê
ûë û ë û
دانشگاه صنعت آب و برق
56
دنباله مثال 1
• با حل معادالت داریم:
l 1 = 0.6667
l 2 = 0.3333
m= 0
Z * (u ) = 0.6667 ´ 2 + 0.3333 ´ 4
= 2.6667
n
l i g (u - u i ) + m
å
i=1
= s u2
= 0.6667 ´ 1 + 0.3333 ´ 2 + 0
= 1.3333
57
دانشگاه صنعت آب و برق
مثال 2
• اطالعات مساله اول را عینا ً حفظ نموده و فقط آرایش
مکانی را مطابق شکل زیر عوض میکنیم:
u2
u1
é0 1 1ùél ù é1ù
ê
úê 1 ú ê ú
ê1 0 1úêl ú= ê2ú
ê
úê 2 ú ê ú
ê
úê ú ê ú
1
1
0
m ú ê1ú
êë
úê
ûë û ë û
58
دانشگاه صنعت آب و برق
u
دنباله مثال 2
• با حل معادالت داریم:
l1= 1
l 2 = 0
m= 1
Z * (u ) = 1 ´ 2 + 0 ´ 4
= 2
n
l i g (u - u i ) + m
å
i=1
= s u2
= 1´ 1 + 0 ´ 2 + 1
= 2
59
دانشگاه صنعت آب و برق
نتیجهگیری از مقایسه مثال 1و 2
• از مقایسه مثال 1و 2میتوان به نتایج دست یافت:
– اگر این دو مثال را با استفاده از روش فاصله معکوس حل می
کردیم ،هیچ تفاوتی بین پاسخها وجود نداشت .اما در روش زمین
آمار آرایش مکانی کامالً اثر گذار است.
– با تغییر آرایش مکانی ،واریانس برآورد تغییر (زیاد) کرد.
بنابراین برآورد در حالت دوم دارای عدم قطعیت بیشتری است.
60
دانشگاه صنعت آب و برق
محاسبه وزنها با استفاده از كریجینگ
2
1
h £ 2.5
h > 2.5
61
1
1
3
)East (km
)North (km
2
12.4 ppm
13.7 ppm
2
16.3 ppm
A
1
0
-1
ìï 2.4h - 0.128h 3
g(h ) = ïí
ïï 4
ïî
دانشگاه صنعت آب و برق
نحوه محاسبه ضرایب
ég(d ) ù
ê A1 ú
êg(d )ú
ê A2 ú
êg(d )ú
ê A3 ú
ê 1 ú
êë
ú
û
ù
1ùé
l
úê 1 ú
ú
1úê
l
=úê 2 ú
ú
1úê
l
úê 3 ú
úê
ú
0úêm ú
ûë û
ارتباط نقاط با
نقطه مورد نظر
از طریق
واریوگرام مدل
شده
62
) é g(0) g(d ) g(d
12
13
ê
) êg(d ) g(0) g(d
23
ê 21
)êg(d ) g(d ) g(0
ê 31
32
ê 1
1
1
êë
وزنها
دانشگاه صنعت آب و برق
ارتباط نقاط از طریق
واریوگرام مدل شده
بین نقاط مشاهده
شده
جداول فواصل و ضرایب تغییرنما
Interval of points
Points
A
1
2
3
A
0
-
-
-
1
1
0
-
-
2
2(2)0.5
130.5
0
-
3
2
3
2
0
Variogram coefficients
Points
A
1
2
3
A
0
-
-
-
1
2.272
0
-
-
2
4
4
0
-
3
3.776
4
3.776
0
دانشگاه صنعت آب و برق
63
ماتریس ضرایب و دستگاه معادالت
é0
ùél ù
4
4
1
ê
úê 1 ú
ê4
úêl ú
0
3.776
1
ê
úê 2 ú=
ê4 3.776
úêl ú
0
1
ê
úê 3 ú
ê1
úêm ú
1
1
0
êë
úê
ûë ú
û
é2.272 ù
ê
ú
ê 4 ú
ê
ú
ê3.776 ú
ê
ú
ê 1 ú
êë
ú
û
ìï
0´ l 1 + 4´ l 2 + 4´ l 3 + m =
ïï
ïï 4 ´ l 1 + 0 ´ l 2 + 3.776 ´ l 3 + m =
í
ïï 4 ´ l 1 + 3.776 ´ l 2 + 0 ´ l 3 + m =
ïï
l1+l 2+l 3 =
ïïî
دانشگاه صنعت آب و برق
2.272
4
3.776
1
64
ضرایب و برآوردها
)Zˆ A = 0.61(16.3) + 0.165(13.7
+ 0.225(12.4) = 15 ppm
1
ˆ
)Z A = (16.3 + 13.7 + 12.4
3
= 14.1ppm
l 1 = 0.610
l 2 = 0.165
l 3 = 0.225
m = 0.712
S e2 = 0.61 ´ 2.272 + 0.165 ´ 4 + 0.225 ´ 3.776 + 0.712
= 3.607
65
دانشگاه صنعت آب و برق
کریجینگ روی یک ناحیه )(Block Kriging
• در مواردی ما نیاز داریم که مقدار متوسط یک پارامتر را
روی یک ناحیه برآورد کنیم.
• این متوسط ،توسط کریجینگ نقطهای بر روی نقاط متفاوت
آن ناحیه محاسبه گردیده و از متوسط آنها نتیجه حاصل
میگردد.
• فرض کنید که متوسط پارامتری روی بلوک ) (Bبه
صورت زیر است.
1
= ) Z (B
Z (x ) dx
ò
|B | B
66
دانشگاه صنعت آب و برق
دنباله کریجینگ روی یک ناحیه )(Block Kriging
• فرم برآورد خطی آن عبارتست
• اگر شرایط نااریبی را اعمال کنیم ،داریم:
n
å
ازl i Z (x i ):
= ) Z * (B
i=1
n
= 1
i
l
å
i=1
• واریانس برآورد در این حالت عبارتست از:
2
2
*
*
é
ù
é
ù
*
*
Var êZ (B ) ú= E êZ (B ) - Z (B ) ú
ë
û
ë
û
n
n
) = å l i g (x i , B ) + m - g ( B , B
i
i
= ii
=1
1
67
دانشگاه صنعت آب و برق
دنباله کریجینگ روی یک ناحیه )(Block Kriging
•
روابط متوسط واریوگرامها به شرح زیر است.
1
= ) g (x i , B
g (x i - x ) dx
ò
|B | B
1
¢) dx dx ¢
= ) g (B , B
g
(
x
x
ò
ò
| B |2 B B
•
اگر واریانس برآورد را تحت شرایط نااریبی ،حداقل کنیم .نتیجه میشود که:
68
ìï n
) ïï å l g (x - x ) + m = g (x , B
i
j
i
ïï j = 1 j
í n
ïï
ïï å l j = 1
دانشگاه صنعت آب و برق
ïî j = 1
i = 1, 2, L , n
دستگاه معادالت روی ناحیه به فرم ماتریسی
é g (0)
g (x 1 - x 2 )
ê
êg (x - x )
g (0)
1
ê 2
ê
M
M
ê
êg (x - x ) g (x - x )
ê n
1
n
2
ê
1
1
ê
ë
L
L
O
L
L
g (x 1 - x n )
g (x 2 - x n )
M
g (0)
1
دانشگاه صنعت آب و برق
ù
1 ùé
l
1
úê ú
ú
1 úê
l
úê 2 ú
ú=
Múê
M
úê ú
úê
ú
1úêl n ú
úê ú
0úêm ú
ûë û
ég (x , B ) ù
ê 1
ú
êg (x , B ) ú
ê 2
ú
ê M ú
ê
ú
êg (x , B ) ú
ê n
ú
ê
ú
ê 1
ú
ë
û
69
مثال روی ناحیه
• فرض کنید که در قسمت اول مثال ،1بجای این که روی
نقطه u=0عمل انجام شود .کریجینگ روی فاصله [-
] 0.5, 0.5صورت گیرد.
• برای این کار باید روش block krigingرا اعمال نمود.
+ 0.5
1 | dt = 1
ò |t -
= ) g (u 1 , B
- 0.5
+ 0.5
= 2
ò | t + 2 | dt
- 0.5
70
دانشگاه صنعت آب و برق
= ) g (u 2 , B
دنباله مثال روی ناحیه
.• اکنون دستگاه معادالت را مینویسیم
é g (0)
ùél ù ég (u , B ) ù
g
(
u
u
)
1
ê
úê 1 ú ê 1
ú
1
2
êg (u - u )
úêl ú= êg (u , B ) ú
g
(0)
1
ê 2
úê 2 ú ê 2
ú
1
ê
úê ú ê
ú
1
1
0úêm ú ê 1
êë
ú
ûë û ë
û
é0 3 1ùél ù é1ù
ê
úê 1 ú ê ú
ê3 0 1úêl ú= ê2ú
ê
úê 2 ú ê ú
ê
úê ú ê ú
1
1
0
m ú ê1ú
êë
úê
ûë û ë û
دانشگاه صنعت آب و برق
71
دنباله مثال روی ناحیه
• با حل معادالت داریم:
– ضرایب به صورت زیر است.
l 1 = 0.6667
l 2 = 0.3333
m= 0
• مقدار برآورد شده عبارتست از:
Z * (u ) = 0.6667 ´ 2 + 0.3333 ´ 4
= 2.6667
72
دانشگاه صنعت آب و برق
دنباله مثال روی ناحیه
• برآورد واریانس تخمین نیاز به محاسبه زیر است
s
t ) dt ds
ò (s -
+ 0.5 + 0.5
+ 0.5
s | dt ds = 2 ò
ò ò |t -
- 0.5 - 0.5
= ) g (B , B
- 0.5 - 0.5
1
=
3
2
*
*
é
ù
é
ù
Var êZ (B ) ú= E êZ (B ) - Z (B ) ú
ë
û
ë
û
n
) l i g (x i , B ) + m - g ( B , B
å
=
i=1
1
= 0.6667 ´ 1 + 0.3333 ´ 2 + 03
= 1
73
دانشگاه صنعت آب و برق
دنباله مثال روی ناحیه
• در این حالت همانطور که مالحظه شد ،وزنهای حاصل
مانند کریجینگ نقطهای است ،اما واریانس تخمین کوچکتر
میباشد .زیرا وزنهای محاسبه شده برای مرکز بلوک با
استفاده از کریجینگ نقطهای لزوما ً برابر وزنهای مربوط
به بلوک نیست.
74
دانشگاه صنعت آب و برق
حاالت خاص در کریجینگ (حالت اثر قطعهای)
• همانطور که گفته شد ،در پارهای از موارد به ازاء h=0
مقدار (h)≠0است.
• تابع ) Z(x)=Y(x)+(xرا در نظر بگیرید .در واقع
) Y(xیک تابع تصادفی و ) (xمولفه تصادفی است.
)Z(h
2
75
دانشگاه صنعت آب و برق
تحلیل معادالت
• میانگین و واریانس مولفه تصادفی )(x
– میانگین E[(x)]=0
– واریانس 2
• دو مولفه ) (xو ) Y(xاز یکدیگر مستقل میباشند .لذا
داریم:
E [Y (x )b (x )] = E [Y (x )]E [b (x )] = 0
:
داریم
تصادفی
مولفه
تعریف
از
استفاده
با
•
2
¢
¢
) E [b (x ) b (x )] = s d(x - x
b
• که در آن
76
دانشگاه صنعت آب و برق
x ¹ x¢
x = x¢
ìï 0
d(x - x ¢) = ïí
ïï 1
î
کوواریانس تابع ) Z(xبر حسب تابع )Y(x
• فرض کنید که E[Z(x)]=mکه در آن mمقداری ثابت
است .بنابراین میانگین ) Y(xبه شرح زیر است.
]) E [Z (x )] = E [Y (x ) + b (x )] = E [Y (x )] + E [b (x
= E [Y (x )] + 0
تابع کواریانس عبارتست از:
= m = cte
]) C Z (x , x ¢) = E [(Z (x ) - m )(Z (x ¢) - m
]))= E [(Y (x ) - m + b (x ))(Y (x ¢) - m + b (x ¢
])= E [(Y (x ) - m )(Y (x ¢) - m )] + E [(Y (x ) - m ) b (x ¢
]) + E [b (x )(Y (x ¢) - m
77
دانشگاه صنعت آب و برق
دنباله کوواریانس تابع ) Z(xبر حسب تابع )Y(x
• بنابراین داریم:
)C Z (x , x ¢) = C Y (x , x ¢) + C b (x , x ¢
)= C Y (x , x ¢) + s b2 d(x - x ¢
• در حالت ایستایی داریم:
• اگر مقدار Zدر نقطه x0به کمک مقادیر مشاهده شده
) Z(xiبرآورد شود .میتوان نوشت.
) C Z (h ) = C Y (h ) + s b2 d(h
n
) l i Z (x i
å
i=1
78
دانشگاه صنعت آب و برق
= ) Z * (x 0
سیستم معادالت بر حسب تابع کوواریانس
és 2 + C (0) C (x , x )
Y
Y
1
2
ê b
êC (x , x ) s 2 + C (0)
ê Y 2 1
b
Y
ê
M
M
ê
ê
êC Y (x n , x 1 ) C Y (x n , x 2 )
ê
ê
1
1
ë
L
L
O
L
L
é ù
1ù
úêl 1 ú
êl ú
C Y (x 2 , x n ) 1 ú
úê 2 ú
ú
M
Múêê Mú
ú=
úê ú
2
s b + C Y (0) 1 úêl n ú
úê ú
1
0 úê- mú
ûë û
C Y (x 1 , x n )
دانشگاه صنعت آب و برق
éC (x , x ) ù
ê Z 0 1 ú
êC (x , x ) ú
ê Z 0 2 ú
ê
ú
M
ê
ú
êC (x , x ) ú
ê Z 0 n ú
ê
ú
1
ê
ú
ë
û
79
سیستم معادالت بر حسب تابع واریوگرام
• اگر سیستم را بر حسب واریوگرام بنویسیم ،خواهیم داشت:
g Z (h ) = E [Z (x ) - Z (x + h )]2
) = C Z (0) - C Z (h
• که در آن
ìï C (0) = C (0) + s 2
Y
b
ï Z
í
) ïï C Z (h ) = C Y (h ) + s b2 d(h
î
• در مورد واریوگرام داریم:
•
) - C Y (h ) - s b2 d(h
2
b
g Z (h ) = C Y (0) + s
]) = C Y (0) - C Y (h ) + s b2 [1 - d(h
80
دانشگاه صنعت آب و برق
سیستم معادالت به شکل ماتریس
é
0
ê
êg (x - x ) + s 2
êY 2
1
b
ê
M
ê
ê
êgY (x n - x 1 ) + s b2
ê
ê
1
ë
ég (x - x ) ù
1 ú
ê Z 0
êg (x - x ) ú
2 ú
ê Z 0
ú
M
= êê
ú
êg (x - x ) ú
êZ 0
n ú
ê
ú
1
ê
ú
ë
û
g Y (x 1 - x 2 ) + s
2
b
0
M
g Y (x n - x 2 ) + s
1
2
b
L
g Y (x 1 - x n ) + s
L
O
g Y (x 2 - x n ) + s
M
L
0
L
1
دانشگاه صنعت آب و برق
2
b
2
b
é ù
1ù
úêl 1 ú
êl ú
1ú
úê 2 ú
ú
Múêê Mú
ú
úê ú
1 úêl n ú
úê ú
0 úêm ú
ûë û
81
مثال
• به سیستم شکل زیر توجه کنید.
x0
x2
x1
L
• سیستم معادالت بر حسب واریوگرام به صورت زیر است:
]) g Z (h ) = gY (h ) + s b2 [1 - d(h
ég ( L ) + s 2 ù
b ú
êY 2
êg ( L ) + s 2 ú
êY 2
b ú
ê
ú
1
êë
ú
û
82
ù
1ùé
l
úê 1 ú
=ú
1úê
l
úê 2 ú
úê ú
0úêm ú
ûë û
2
b
gY ( L ) + s
0
1
دانشگاه صنعت آب و برق
2
b
é
0
ê
êg (L ) + s
êY
ê
1
êë
دنباله مثال
• در ادامه داریم:
2
b
2
b
ìï l ´ 0 + l [g (L ) + s 2 ] + m = g ( L ) + s
2
Y
b
Y 2
ïï 1
ï l [g (L ) + s 2 ] + l ´ 0 + m = g ( L ) + s
í 1 Y
b
2
Y 2
ïï
l 1+l 2= 1
ïï
î
• با حل دستگاه فوق میتوان ضرایب مورد نظر را بدست
آورد.
1
=
2
83
2
= l
1
l
دانشگاه صنعت آب و برق
کریجینگ با دادههای غیر قطعی
• در پارهای از اوقات یک پارامتر را با روشهای مختلف
اندازهگیری و یا برآورد مینمایند .واضح است که این
روشها نتایج یکسانی را نشان نمیدهد .لذا عنوان باال شکل
میگیرد.
• بنابراین ) Z(xاندازهای است که توام با خطا است نسبت
به مقدار اندازهگیری شده یعنی ) Y(xو مقدار خطا )(x
فرض میشودY(x)=Z(x)+ (x) .
E [e(x )] = 0
• میدانیم که
84
دانشگاه صنعت آب و برق
دنباله کریجینگ با دادههای غیر قطعی
• خطای نقاط نسبت به یکدیگر عبارتست از:
ìï 0
x ¹ x¢
ï
E [e(x )e(x ¢)] = í 2
ïï s e (x ) x = x ¢
î
• برای برآورد ) Z(x0میتوان از ) Y(xiکه همراه با خطا
n
است:
*
) l iY (x i
å
= ) Z (x 0
i=1
85
دانشگاه صنعت آب و برق
دنباله کریجینگ با دادههای غیر قطعی
• با توجه به میانگین ثابت و نامعلوم داریم:
]) E [Z (x ) + e(x )] = E [Z (x )] + E [e(x
= E [Z (x )] + 0 = m
• کوواریانس Yبه شرح زیر است:
]) C Y (x , x ¢) = E [(Y (x ) - m )(Y (x ¢) - m
]))= E [(Z (x ) - m + e(x ))(Z (x ¢) - m + e(x ¢
])C Y (x , x ¢) = E [(Z (x ) - m )(Z (x ¢) - m )] + E [e(x )e(x ¢
86
دانشگاه صنعت آب و برق
دنباله کریجینگ با دادههای غیر قطعی
• بنابراین داریم:
)C Y (x , x ¢) = C Z (x , x ¢) + C e (x , x ¢
)C Y (x , x ¢) = C Z (x , x ¢) + s e2 (x )d(x - x ¢
• کوواریانس متقابل:
]) C Y Z (x , x ¢) = E [(Y (x ) - m )(Z (x ¢) - m
]) = E [(Z (x ) - m + e(x ))(Z (x ¢) - m
]) = E [(Z (x ) - m )(Z (x ¢) - m )] + E [e(x )(Z (x ¢) - m
= E [(Z (x ) - m )(Z (x ¢) - m )] + 0
)= C Z (x , x ¢
87
دانشگاه صنعت آب و برق
دنباله کریجینگ با دادههای غیر قطعی
• محاسبه ضرایب کریجینگ
n
= 1
– شرط نااریبی
– معادله زیر باید حداقل گرددl i - 1) .
i
å
l
i=1
n
A = s e2 - 2m( å
i=1
– واریانس برابر است با:
s e2 = E [Z (x 0 ) - Z * (x 0 )]2
n
] = E [(Z (x 0 ) - m )( å l i (Y (x i ) - m ))2
i=1
n
]) = E [(Z (x 0 ) - m ) ] - 2å l i E [(Z (x 0 ) - m )(Y (x i ) - m
2
i=1
n
]) l i l j E [(Y (x i ) - m )(Y (x j ) - m
å
j=1
88
دانشگاه صنعت آب و برق
n
+å
=i
دنباله کریجینگ با دادههای غیر قطعی
• واریانس برآورد
n
s e2 = var[Z (x 0 )] - 2å l iC Y Z (x 0, x i ) +
i=1
n
n
n
å å
l i l jC Y ( x i , x j )
i=1 j=1
= var[Z (x 0 )] - 2å l iC Z (x 0, x i )
i=1
n
+å
n
å
l i l j [C Z (x i , x j ) + s e2 (x i )d(x i - x j )]
i=1 j=1
¶A
= 0Þ
¶m
¶A
= 0
¶l k
n
å
l
i
• شرط حداقل شدن
= 1
i=1
دانشگاه صنعت آب و برق
89
دنباله کریجینگ با دادههای غیر قطعی
• از معادله دوم نتیجه میشود که:
n
) l i [C Z (x i , x k ) + s e2 (x i )d(x i - x k )] - m = C Z (x 0, x k
å
i=1
• به فرم ماتریسی
90
دانشگاه صنعت آب و برق
دنباله کریجینگ با دادههای غیر قطعی
éC (0) + s 2 (x )
C Z (x 1 , x 2 )
e
1
ê Z
ê C (x , x )
2
C
(0)
+
s
(x 2 )
ê
Z
2
1
Z
e
ê
M
M
ê
ê
C Z (x n , x 2 )
ê C Z (x n , x 1 )
ê
ê
1
1
ë
éC (x , x ) ù
ê Z 0 1 ú
êC (x , x ) ú
ê Z 0 2 ú
M ú
= êê
ú
êC (x , x ) ú
ê Z 0 n ú
ê
ú
1
ê
ú
ë
û
é ù
1ù
úêl 1 ú
êl ú
L
C Z (x 2 , x n )
1ú
úê 2 ú
ú
O
M
Múêê Mú
ú
ú
ê ú
L C Z (0) + s e2 (x n ) 1 úêl n ú
úê ú
L
1
0 úê- mú
ûë û
L
دانشگاه صنعت آب و برق
C Z ( x 1, x n )
91
سیستم معادالت بر حسب تابع واریوگرام (دادههای غیر قطعی)
92
دانشگاه صنعت آب و برق
93
دانشگاه صنعت آب و برق