Transcript Andengradsfunktioner

ANDENGRADSFUNKTIONER
DISPOSITION
SIGNE OG LEA, HH2ØA
DISPOSITION
For at kunne arbejde med andengradsfunktioner, er der nogle matematiske
begreber og regningsmetoder, som er nødvendige at kende til.
Vi vil komme ind på følgende:
Den generelle forskrift + parametrenes betydning
De 6 placeringer i koordinatsystemet
Nulpunkter + nulpunktsformlen
Toppunkt
Monotoniforhold og ekstrema
Omsætning og dækningsbidrag
Indtegning af parabel
Skæring mellem 2 parabler
DEN GENERELLE FORSKRIFT +
PARAMETRENES BETYDNING
f(x)=y=ax2+bx+c
Parametrenes betydning (a, b og c samt d)
Den generelle forskrift for en grundparabel: f(x)=y=x2
DE 6 PLACERINGER I
KOORDINATSYSTEMET
3 af de 6 mulige placeringer af parabler i koordinatsystemet er konvekse
med:
Ingen nulpunkter
Ét nulpunkt
To nulpunkter
De andre 3 parabler er konkave med:
Ingen nulpunkter
Ét nulpunkt
To nulpunkter
NULPUNKTER +
NULPUNKTSFORMLEN
Nulpunktsformel: x =
b
b  4 ac
2
2a
Diskriminanten
En parabel skærer ofte x-aksen. Der kan være 2, 1 eller ingen
skæringspunkter/nulpunkter. Dette kan ses ud fra diskriminanten
d > 0 (to løsninger)
d = 0 (en løsning)
d < 0 (ingen løsning)
Udledning af nulpunktsformel
TOPPUNKT
Maksimum eller minimum
Toppunktsformel: tpx=
b
2a
Efter beregning af tpx, beregnes tpy ved at sætte det fundne x ind i funktionen.
Tillægsspørgsmål: Redegør for, hvordan man fastlægger toppunktet for en
andengradsfunktion, idet du skal gøre brug af differentialregning:
Formel for differentialregning:
f(x) = axn
f’(x) = n*axn-1
f’(x) = 0  toppunkt
MONOTONIFORHOLD OG
EKSTREMA
Monotoniforhold  intervaller hvor funktionen er voksende og aftagende
Ekstrema  hvor på parablen der er et globalt maksimum/minimum eller
lokalt maksimum/minimum.
f(x)=2x^2-8x-3
y
f(x) er aftagende i intervallet ]-∞;2]
15
f(x) er voksende i intervallet [2; ∞ ]
10
2x2 - 8x - 3 = 0
5
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
-5
-10
(2, -11)
-15
3
4
5
6
OMSÆTNING OG
DÆKNINGSBIDRAG
Lineær sammenhæng mellem afsætning og pris  beregne den
optimale
afsætning og det største dækningsbidrag
Afsætning -
Pris pr. stk.
Eksempel:
1000
150
2000
110
y
x
Prisfunktion  a =
y 2  y1
x 2  x1
=
& b= y-ax
INDTEGNING AF PARABEL
Toppunktet er udgangspunktet - man nøjes med at se på det tal, der
står foran x2. Det tal fortæller med hvilken fart funktionen vokser.
Det er underordnet hvor toppunktet ligger. Grafen kan altid tegnes
ud fra toppunktet.
x<1 = Smal
x>1 = bred
x=1 = grundparabel
Eksempel 1: f(x) = 2x2+4x-7
Eksempel 2: f(x) = -0,2x2+4x-7
SKÆRING MELLEM 2 PARABLER
Hvis man skal finde skæringspunktet mellem to parabler, skal man
sætte dem lig med hinanden. Dette kan også udføres i Nspire.
Eksempel:
f(x) = -2x2+5x+8
f(x) = x2+2x-7
IRRATIONELLE FUNKTIONER
Tillægsspørgsmål: Redegør for hvilken sammenhæng der er mellem x2 og
x
- I forlængelse heraf redegør da for, hvordan man differentierer en af de
to
funktioner
Irrationelle funktioner
f(x) = x2, f’(x) = 2x
f(x) = 𝑥 , f’(x) = 2
1
𝑥