Transcript eks2 - jyttemelin.dk

DIFFERENTIERING OG FUNKTIONER
GENERELT
SONNY SINGH & JULIE MELDGAARD
DISPOSITION
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Udledning af f’(x)
Kontinuert
Tangentligningen
Vendetangent
Monotoniforhold og ekstremaer
Nulpunkter
Værdimængde
Sammensatte funktioner
Irrationelle funktioner
UDLEDNING AF F’(X)
• defineret som hældningskoefficienten for en tangent i et bestemt punkt på
grafen for en funktion
• f(x)=axn & f’(x)=naxn-1
Eksempel:
f(x)=2x2+4x+5
f’(x)=2*2x2-1+1*4x1-1+0*5
f’(x)=4x+4
KONTINUERT
Sammenhængende funktion
Kontinuert
Ikke kontinuert
x
x
UDLEDNING AF
TANGENTLIGNINGEN
TANGENTLIGNINGEN
Ligningen for en ret linje er y=ax+b
a=
EKSEMPEL
Tx0 : y=f’(x0)(x-x0)+f(xo)
f(x)= x3 - 6x2 + 5x
f’(x)= 3x2 - 12x + 5
f’(1) = 3*12 – 12*1 + 5 = 3 – 12 + 5 =
-4
f(1)= 13 -6*12 +5*1=0
T1:y = f’(1)(x-1)+f(1) 
y = -4(x-1) + 0 -4x + 4
Hermed har man: y= -4x + 4
VENDETANGENT
• Der hvor en funktion er ens på begge sider af tangenten (ekstrema)
• Skifter fra konkav til konveks og omvendt.
• Differentieres to gange – det vil altså sige F’’(x) findes.
EKSEMPEL:
Bestemmelse af punktet med vendetangent for funktionen: f(x)=x3+12x2-5x-12
f’’’(x)=0  vendetangent
3x2+24x-5
6x+24
6x+24=0  6x=-24x=-4  x-værdien
(-4)3+12*(-4)2-5*(-4)-12 = -64+192+20-12=200  y-værdien
Punktet hedder: (-4,200)
MONOTONIFORHOLD
OG EKSTREMER
• Hvornår er funktionen voksende og
aftagende?
• Ekstrema f’(x)=0 (vandret tangent)
EKSEMPEL
f(x)= 13x3-3x2+8x+2
f’(x)= x2-6x+8
f’(x)=0
x2-6x+8=0
Sættes ind i nulpunktsformlen. Resultat:
x=2 v x=4
3’grads funktion, og den har en positiv a
værdi. Derfor er den voksende til at starte
med. Derfor er det første ekstrema et max
og det næste et minimum.
For at finde y-værdiener sætter vi xværdierne ind i den oprindelige funktion
F(2)= 13(2)3-3(2)2+8(2)+2= 8,66
F(4)= 13(4)3-3(4)2+8(4)+2= 7,33
Lokalt maksimum i (2,86)
Lokalt minimum i (4,73)
grafen starter med at vokse,
frem til første ekstrema, og så
aftager den, og så vokser den
igen.
Monotoniforholdene kan derfor
nu let findes.
Funktionen er voksende i
intervallet ]-∞;2]
Funktionen er aftagende i
intervallet [2;4]
Funktionen er voksende i
intervallet [4;∞[
NULPUNKTER
•
Der hvor F(x) rammer x aksen
• Nulpunktsformel: 𝑥 =
Eksempel
F(x)=x2+2x.
−𝑏± 𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
(Nulregel kan benyttes)
−2± 22 −4∗1∗0
x=
2∗1
−2± 4
x= 2
4 =2
x=
−2±2
2
x= -2 V x=0
Parablen rammer altså x-aksen ved -2 og 0
L = {-2;0}
VÆRDIMÆNGDE
Dm(f)= alle de x-værdier, som kan benyttes
Vm(f)= alle de y-værdier, som kan benyttes
Løsning skrives i intervaller
Eksempel:
F(x)=x: Dm(f)=[-8;7[ & Vm(f)=[8;7[
Når klammen er lukket indgår tallet i intervallet (Omvendt hvis åben)
I dette tilfælde er 8 altså med og 7 er ikke
Koordinatsystem:
Lukket bolle = punktet inkluderes
Åben bolle = punktet inkluderes ikke
SAMMENSATTE
FUNKTIONER
• To funktioner ”regnes” ind i hinanden
• g(f(x))
Den indre funktion (den der virker først) kaldes f
Den ydre funktion (den der virker sidst) kaldes g
EKSEMPEL:
f(x) = 3x - 6
g(x) = -2x + 4
g(f(x)) = g(3x-6) = -2(3x-6) + 4 = -6x + 12 + 4 = -6x + 16
g(f(x))= -6x + 16
IRRATIONELLE
FUNKTIONER
Nulreglen benyttes
TILLÆGSSPØRGSMÅL
1. Redegør for hvordan man bestemmer vendetangentpunktet på en funktion
2. Redegør for begrebet omvendt funktion – og hvilken sammenhæng der er
mellem en funktion og dens omvendte funktion.
Du må gerne tage udgangspunkt i en eller flere konkrete funktioner
TILLÆGSSPØRGSMÅL
1
•
•
•
F’’(x) (Funktionen differentieres 2 gange)
For at finde røringspunkt: F‘‘(x)=0
Sætter punktets x koordinat ind i den oprindelige funktion
Eksempel
f(x) = x3 – 6x2 + 5x
f'(x) = 3x2 -12 x + 5
f ''(x) = 6x -12
f''(x) = 0
6x -12 = 0 6x = 12 x = 2
X værdi sættes ind i f(x)
f(2) = 23 – 6*22 + 5*2 = 8 – 24 + 10 = -6
røringspunkt = (2,-6)
TILLÆGSSPØRGSMÅL
2
F-1(x): Formel: f-1(x)=
𝑥−𝑏
𝑎
(Modsat lineær)
”Én - til - én” funktion (Invertibel)
F-1(x) kan spejles i y=x, Punkt (x,y) på f(x) vil hedde (y,x) på f-1(x).
Eksempel:
F(x)=2x+12
F-1(x)=
𝑥−12
=
2
F(x) = blå
F-1(x) = rød
½x-6