Transcript 2.gradspolynomier_MaB

Parabler, 2. gradspolynomier og
2.gradsligninger
NB! Diasshowet skal afspilles!
Anne Grethe Mølgaard
Sct. Knuds Gymnasium 2014
Parabler, 2. gradspolynomier og
2.gradsligninger
Anne Grethe Mølgaard
Sct. Knuds Gymnasium 2013
Grundparabler
Def.
En grundparabel Pa er
grafen for fa(x) = ax2, hvor a0
- til enhver a-værdi  0 hører altså en grundparabel
Øvelse
Tegn grafen for fa (x) = ax2
Leg med forskellige a-værdier - og noter, hvilke egenskaber
grundparablen har.
Hvilken betydning har a?
Grundparabler (fortsat)
Egenskaber ved grundparabler
1
Pa er symmetrisk om linjen x = 0 (2.aksen)
fa er en lige funktion, dvs. fa(-x) = fa(x)
2
Pa har (0,0) som toppunkt (vendepunkt) uanset værdi af a
fa(0) = a02 = 0, og iflg. 1. er dette punkt toppunkt
3
Pa har
grenene opad, når a  0


grenene nedad, når a  0
fa har samme fortegn som a, da x2 0
4
Pa bliver stejlere jo større |a| er
Parabler & 2.gradspolynomier
Def.
Et 2.gradspolynomium er en funktion med forskriften
f(x) = ax2 + bx + c,
hvor a, b og c er konstanter og a  0.
Øvelse Tegn grafen for g(x):= x2 + c i TI
Prøv jer frem med forskellige c-værdier – hvilken betydning
har c?
Øvelse Tegn grafen for h(x):= ax2 + bx + c i TI
Prøv jer frem med forskellige b-værdier – hvilken betydning
har b?
Toppunktsformlen
Sætn.
Toppunktet for parablen med ligningen y = ax2 + bx + c er
-d )
2
T( -b
,
2a 4a , d := b – 4ac
x = xT (spejlingsakse)
Bevis
y
xT er toppunktets 1.koordinat og parablen er
symmetrisk om linjen x = xT
c er værdien i 0, og linjen y = c skærer dermed parablen i (0,c).
Hvis toppunktet ikke ligger i (0,c), må der være et andet
skæringspunkt P(x,c) mellem parablen og linjen y = c.
y=c
C(0, c)
P(x,c)
(xT , y T)
(x,c) indsættes i parablens ligning, som løses mht. x.
Symmetriaksen ligger midt mellem C og P, så xT må ligge midt mellem 0 og x, dvs.
x
Eksempler
-2
Toppunkt T
5
-3
Toppunktsformlen (fortsat)
Sætn.
Toppunktet for parablen med ligningen y = ax2 + bx + c er
-d )
2
T( -b
,
2a 4a , d := b – 4ac
x = xT (spejlingsakse)
y
indsættes i parablens ligning for at
bestemme 2. koordinaten yT til toppunktet.
y=c
C(0, c)
P(x,c)
(xT , y T)
x
2.gradsligningen
ax2 + bx +c = 0, a  0
d:= b2 - 4ac
d > 0: 2 løsninger!
d = 0: netop 1 løsning!





x  -b d
2a
d<0: Ingen løsninger!
Øvelse Tegn grafen for h(x):= ax2 + bx + c i TII
Bestem nulpunkterne for h, såvel ved beregning ud fra
løsningsformlen, som ved grafisk aflæsning og brug af solve.
Prøv med forskellige a, b og c-værdier.
Stemmer det?
2.gradsligningen
ax2 + bx +c = 0
2
2
2
2
ax2 + bx +c = 0, a  0
2
4 a   a  x + b  x + c  = 0


4  a  x + 4 a b  x + 4 a c = 0
2
4  a  x + 4 a b  x + 4 a c + b - 4 a c = d
2
2
 2 a  x  + 2   2 a  x  b + b = d




2
 2 a  x + b  = d







d<0: Ingen løsninger! da (.....)2  0
d0: 2 a  x + b =  d
Overvej at der heraf fås
2 a  x = - b 





d
x  -b d
2a
2 løsninger! for d > 0
netop 1 løsning! for d = 0
Øvelse
Løs nogle af de 2.gradsligninger, der optræder her – kontroller
med grafværktøjet og solve.
Faktorisering af 2.gradspolynomium
Def.
r er rod i 2. gradspolynomiet p(x) = ax2 + bx + c  p(r) = 0,
altså når r er løsning til 2.gradsligningen p(x) = ax2 + bx + c =0
Sætn. 3
r1 og r2 er rødder i 2.gradspolynomiet p(x) = ax2 + bx + c 
p(x) = a(x –r1)(x-r2)
Bevis for sætn.3
Faktorisering af 2.gradspolynomium 
 Vides r1 og r2 er rødder i 2.gradspolynomiet p(x) = ax2 + bx + c
Skal vises: p(x) = a(x –r1)(x-r2)
Benyt definition af rødder og løsningsformlen til 2.gradsligningen
d
b
r 

1
2a
4a
d
og r2   b 
2
2a
4a
Kvadratsætning
2
2
2
(x
– q)(xd += q)
Kvadratsætning
Indsæt
b2 =– x4ac– q
2 + 2xq
Sæt
påa2 fælles
brøkstreg
Gang
ind
(x + q)
=
x2 i+parentesen
q
Indsæt i højresiden af p(x) = a(x –r1)(x-r2)
a ( x  (
d
b

2a
b
a (x 

2a
4a
d
4a
2
2
))  ( x  ( 
b
) (x 

2a
2
b

2a
d
4a
2
d
2
4a
)
)) 

a (  x

2
b

2a
bx




2

d
4a
2
)
2
b
d
 b 
b
d
b
d
2
2
a (x  

)

  2x 
a
(
x



)

ax


bx


2
2
2
2a 4a
 2a 
4a
a
4a
4a
4a
2
b d
2
ax  bx 
2
4a
b  ( b  4 ac )
2
 ax  bx 
2
2
4a
 ax  bx 
2
4 ac
4a

ax  bx  c  p ( x )
2
Bevis for sætn.3
Faktorisering af 2.gradspolynomium 
 Vides p(x) = a(x –r1)(x-r2)
Skal vises:
r1 og r2 er rødder i 2.gradspolynomiet p(x) = ax2 + bx + c ,
dvs. at
p(r1) = p(r2) = 0
Bestem hhv. p(r1) og p(r2) ved indsættelse i forskriften for p(x)
p(r1) = a(r1-r1)(r1-r2) = a0(r1-r2) = 0
p(r2) = a(r2 -r1)(r2-r2) = a(r2-r1)0 = 0
r1 og r2 er altså rødder i p(x)
”Gætning” af rødder i en normeret
2.gradsligning
Def. En normeret 2.gradsligning er en 2.gradsligning, hvor a = 1
Sætn. 4
r1 og r2 er rødder i en normeret 2.gradspolynomiet p(x) = x2 + bx + c 
r1 + r2 = -b og r1r2 = c
Bevis:
Iflg. Sætn. 3 gælder at p(x) = (x –r1)(x-r2), da a = 1
p(x) = (x –r1)(x-r2)  x2 + bx + c = (x –r1)(x-r2) 
x2 + bx + c = x2 – r2x – r1x + r1r2 
x2 + bx + c = x2 – (r1+ r2)x + r1r2 
x2 + bx + c = x2 – (r1+ r2)x + r1r2  b = – (r1+ r2) og c = r1r2
Tegning af parabler
Sætn. 2
For en parabel gælder, at hvis man går 1 til højre fra
toppunktet, skal man gå a op, derfra 1 til højre og 3a op,
derfra 1 til højre og 5a op osv.
Bevis:
Da en parabel med ligningen y = ax2 + bx + c er en
parallelforskydning af grundparablen y = ax2, er det nok at vise,
at tegneanvisningen gælder for denne, idet punktet (0,0) i
grundparablen forskydes over i toppunktet for den almene
parabel.
Fortsættes
De ulige tal
1, 3, 5 osv.
y = ax2
10
a(n+1)2
8
6
an2
4





Vi skal vise, at y = (2n +1)a
y = a(n+1)2 – an2 =
y
a(n2 + 2n+1) – an2 =
2
-4
-2
O
0
2
n
4
6
n+1
a(2n+1)
n
0
1
2
3
4
y
a
3a
5a
7a
9a